|
beat
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.09.2006
|
|
Сообщений: 186
|
|
|
|
Рейтинг: -17
|
|
Задача из пробного варианта ЕГЭ
12.04.2011 20:02
|
|
|
Задача C6:
Решить в натуральных числах
m(squared)+n(squared)+p(squared) = 2mnp
Потратил вчера 4 часа - не решил.
|
|
|
PhysRev
|
|
серия B
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.09.2006
|
|
Сообщений: 845
|
|
Из: бомж
|
|
Рейтинг: 812
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: beat]
12.04.2011 20:20
|
|
|
Ну например видно, что правая часть четная, значит, левая тоже четная.
Отсюда следует, что m, n и p - все четные.
Заменяем m -> 2m', n -> 2n', p -> 2p'.
Получаем m'^2 + n'^2 + p'^2 = 4 m' n' p'
Видно, что m', n' и p' - тоже четные.
Повторяем процедуру...
Получаем, что a^2 + b^2 + c^2 = 2^k a b c
где k - сколь угодно большое число.
Не знаю, к чему это дальше приведет...
Редактировал PhysRev (12.04.2011 20:23)
|
|
|
Flooderast
|
|
дончанин виртуальный
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 19.02.2004
|
|
Сообщений: 29194
|
|
Из: ДНР
|
|
Рейтинг: 3391
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: PhysRev]
12.04.2011 20:22
|
|
|
Дошел до этого же.
Сейчас в Матлпбе поищу...
|
Хто ни скаче - то холландиц чи москаль! |
|
|
Flooderast
|
|
дончанин виртуальный
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 19.02.2004
|
|
Сообщений: 29194
|
|
Из: ДНР
|
|
Рейтинг: 3391
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: beat]
12.04.2011 20:26
|
|
|
Мне кажется почему-то, что корней не будет...
В приделах сотни Матлаб не нашел...
|
Хто ни скаче - то холландиц чи москаль! |
|
|
PhysRev
|
|
серия B
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.09.2006
|
|
Сообщений: 845
|
|
Из: бомж
|
|
Рейтинг: 812
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: PhysRev]
12.04.2011 20:30
|
|
|
Короче, на каком-то этапе одно из чисел будет 1.
Допустим, что p - меньшее из трех чисел.
Тогда p = 2^k, m = a*2^k, n = b*2^k
a^2 + b^2 = 2^k a b
Повторяем даление на 2 уже только для a и b
При этом множитель в правой части меняться не будет
На каком-то этапе одно из этих двух чисел обратится в 1
Будет с^2 + 1 = 2^k c
Это уже квадратное уравнение, целые корни, если 2^(2k) - 1 - квадрат и т.д.
|
|
|
Denis_mm
|
|
Carpal Tunnel
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 27.04.2007
|
|
Сообщений: 3323
|
|
|
|
Рейтинг: 4760
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: PhysRev]
12.04.2011 20:32
|
|
|
В ответ на:
значит, левая тоже четная.Отсюда следует, что m, n и p - все четные.
хмммммм 
1+1+4=6
н+н+ч=ч
|
|
|
beat
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.09.2006
|
|
Сообщений: 186
|
|
|
|
Рейтинг: -17
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: beat]
12.04.2011 20:33
|
|
|
Если по-честному, то я сделал, но очень сложно для школьников. Через производную и неочевидные неравенства.
Получилось, что корней нет. Идея такая:
Решаем квадратное уравнение относительно среднего по величине числа.
Доказываем, что наибольшее из чисел < 8.
Доказываем, что все числа делятся на 3.
Остается проверить только тройки, состоящие из 3 и 6.
Но думаю, что должно быть какое-то легкое решение, потому что в другом варианте была такая задача:
mnp = m + n + p, которая решается в уме.
|
|
|
horror
|
|
гонобобель
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.09.2002
|
|
Сообщений: 3784
|
|
|
|
Рейтинг: 2137
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: beat]
12.04.2011 20:33
|
|
|
Quote:
Потратил вчера 4 часа - не решил.
это могло подтолкнуть вас к доказательству того, что решений нет 
1) искать решение среди четных - дело гиблое
если каждую переменную заменить на 2*x, то получим аналогичную задачу, но справа будет коэффициент 4 или 8 или 2^k, k - натуральное
2) попробуем для всех задач из пункта 1 взять нечетные решения
очевидно, два нечетных + 1 четное число должно быть (т.к. справа всегда четное число)
берем m = 2x, n = 2y + 1, p = 2z+1
4x^2 + (2y+1)^2 + (2z+1)^2 = 2^k * 2x * (2y+1) * (2z+1)
что мы здесь видим?
видим, что справа число делится на 4, а слева дает остаток 2
в итоге, натуральных решений нет
целые решения есть: (0, 0, 0)
подскажите, не ошибся ли я в рассуждениях
|
|
|
DizzyDen
|
|
достаточно добр
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 04.03.2003
|
|
Сообщений: 51430
|
|
Из: http://лакалхвост
|
|
Рейтинг: 13545
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: PhysRev]
12.04.2011 20:36
|
|
|
Quote:
Отсюда следует, что m, n и p - все четные.
Как следует?
|
If stateless paradigm is good for your code, why shouldn't it be for your country? |
|
|
Flooderast
|
|
дончанин виртуальный
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 19.02.2004
|
|
Сообщений: 29194
|
|
Из: ДНР
|
|
Рейтинг: 3391
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: PhysRev]
12.04.2011 20:40
|
|
|
В ответ на:
a^2 + b^2 + c^2 = 2^k a b c
Дальше это можно прологарифмировать по основанию 2 и получить
k + log a + log b + log c = log(a^2 + b^2 + c^2)
|
Хто ни скаче - то холландиц чи москаль! |
|
|
Flooderast
|
|
дончанин виртуальный
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 19.02.2004
|
|
Сообщений: 29194
|
|
Из: ДНР
|
|
Рейтинг: 3391
|
|
|
В пределах 1000 корней нет.
|
Хто ни скаче - то холландиц чи москаль! |
|
|
horror
|
|
гонобобель
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 30.09.2002
|
|
Сообщений: 3784
|
|
|
|
Рейтинг: 2137
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: horror]
12.04.2011 20:49
|
|
|
следует так же пояснить, что пункт 1 можно применять к исходным числам ограниченное число раз, если они положительные (вот отсюда как раз вылазит нулевое решение)
можно переформулировать решение так: вытаскиваем из всех чисел наибольший общий делитель, являющийся степенью 2. пусть m = 2^r * (2s+1) и r - максимально для всех трех чисел
4^r (2s+1)^2 + 4^r t^2 + 4^r v^2 = 2 * 2^(3r)*(2s+1)*t*v = 2*4^r*2*w (дополнительная двойка из-за того, что либо t либо v должно быть четно)
=> (2s+1)^2 + t^2 + v^2 = 4w
а это невозможно (смотрим остатки от деления на 4)
|
|
|
FMX
|
|
Математег
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.05.2006
|
|
Сообщений: 3744
|
|
|
|
Рейтинг: 1502
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: DizzyDen]
12.04.2011 21:21
|
|
|
В ответ на:
Как следует?
Ну очевидно, что все три числа одновременно нечетными быть не могут. Значит, правая часть делится на 4. Но тогда если бы ровно два из {m, n, p} были нечетными, то левая часть давала бы остаток 2 при делении на 4.
Ответ к задаче: решений нет. Решение написал PhysRev
|
|
|
FMX
|
|
Математег
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.05.2006
|
|
Сообщений: 3744
|
|
|
|
Рейтинг: 1502
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: horror]
12.04.2011 21:33
|
|
|
не ошибся 
|
|
|
ABC47
|
|
русский
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2005
|
|
Сообщений: 28318
|
|
Из: Волгоградской области
|
|
Рейтинг: -676
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: beat]
12.04.2011 21:54
|
|
|
2mnp=m^2+n^2+p^2>=mn+np+pm, значит надо перебрать все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству
![[math] $$ \frac1m+\frac1n+\frac1p\leqslant2 $$ [/math]](mathimg.php?math=%0D%0A%24%24%0D%0A%5Cfrac1m%2B%5Cfrac1n%2B%5Cfrac1p%5Cleqslant2%0D%0A%24%24%0D%0A)
Основная идея решения --- что одна часть имеет степень третью, другая --- вторую, поэтому не может быть много решений.
|
Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ |
|
|
FMX
|
|
Математег
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.05.2006
|
|
Сообщений: 3744
|
|
|
|
Рейтинг: 1502
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: ABC47]
12.04.2011 21:58
|
|
|
В ответ на:
2mnp=m^2+n^2+p^2>=mn+np+pm, значит надо перебрать все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству
![[math] $$ \frac1m+\frac1n+\frac1p\leqslant2 $$ [/math]](mathimg.php?math=%20%24%24%20%5Cfrac1m%2B%5Cfrac1n%2B%5Cfrac1p%5Cleqslant2%20%24%24%20)
таких натуральных чисел бесконечно много
В ответ на:
Основная идея решения --- что одна часть имеет степень третью, другая --- вторую, поэтому не может быть много решений.
Это неочевидное утверждение для многочлена от нескольких переменных
|
|
|
ABC47
|
|
русский
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2005
|
|
Сообщений: 28318
|
|
Из: Волгоградской области
|
|
Рейтинг: -676
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: FMX]
12.04.2011 22:00
|
|
|
В ответ на:
таких натуральных чисел бесконечно много
Хм, вообще-то да! Извиняюсь за заблуждение
|
Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ |
|
|
ABC47
|
|
русский
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2005
|
|
Сообщений: 28318
|
|
Из: Волгоградской области
|
|
Рейтинг: -676
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: FMX]
12.04.2011 22:01
|
|
|
В ответ на:
Это неочевидное утверждение для многочленов от нескольких переменных
Тоже согласен! Стоит одной переменной в 1 обратиться, и степень произведения может резко уменьшиться на единицу
Неужели придется методом спуска задачу из ЕГЭ так и решать? 
|
Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ |
|
|
FMX
|
|
Математег
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.05.2006
|
|
Сообщений: 3744
|
|
|
|
Рейтинг: 1502
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: ABC47]
12.04.2011 22:04
|
|
|
В ответ на:
Неужели придется методом спуска задачу из ЕГЭ так и решать?
а что плохого в методе спуска?
|
|
|
ABC47
|
|
русский
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 26.02.2005
|
|
Сообщений: 28318
|
|
Из: Волгоградской области
|
|
Рейтинг: -676
|
|
Re: Задача из пробного варианта ЕГЭ
[re: FMX]
12.04.2011 22:22
|
|
|
В ответ на:
а что плохого в методе спуска?
Ну, как бы высший пилотаж, каждый раз приходится извращаться, чтобы его применить.
Мы же не Ферма!
|
Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ |
|
Список
Плоский
Дерево
