Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/archive/20042005/z8/21.html
Дата изменения: Sun Apr 10 00:02:17 2016
Дата индексирования: Sun Apr 10 00:02:17 2016
Кодировка: Windows-1251
Последний | 8 класс | 2004-2005 | Архив | Малый мехмат МГУ

МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2004/2005 учебный год

Версия для печати

Листок 21. Последний

1
Найти все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
2
a)
Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника.
b)
А только одну сторону треугольника пересекать может?
c)
Какое максимальное количество сторон n-угольника может пересекать прямая, не проходящая через его вершины?
3
Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?
4
a)
Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел любой строки равнялась бы 30, а сумма чисел любого столбца равнялась бы 10?
b)
В каждой строке — 50, в каждом столбце — 25.
5*
На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
6

У Дениса есть игрушечная железная дорога из бесконечного количества звеньев, имеющих форму четверти окружности радиуса R (все одинаковые):

Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, Денис не сможет составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

7
В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
8
Докажите, что для натурального n и положительного x a) (1+x)n ≥ 1 + nx b) (1+1/n)n < 3
9*
На плоскости дано некоторое количество многоугольников (не обязательно выпуклых), каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, имеющая общие точки со всеми этими многоугольниками.

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS