Научная группа в составе М. О. Корпусова и А. Б. Альшина под руководством профессора А. Г. Свешникова занимается разработкой аналитических и численных методов исследования сложных начальных и начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений Соболевского типа. С математической точки зрения, интерес к исследованию данного класса уравнений обусловлен тем, что, в отличие от классических параболических и гиперболических уравнений, эти уравнения не разрешены относительно старшей производной. В качестве физически интересных примеров уравнений Соболевского типа можно привести уравнения волн Россби (волны Россби это низкочастотные сравнительно крупномасштабные возмущения, возникающие во вращающихся газовых или жидких системах; знаменитое Красное Пятно на Юпитере, по-видимому, можно рассматривать как нерасплывающийся пакет волн Россби) и уравнения волн Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса. Частным случаем уравнений Соболевского типа являются так называемые псевдопараболические уравнения, которые возникают при исследовании квазистационарных процессов в полупроводниках, плазме, ферромагнетиках и других средах с сильной временной и пространственной дисперсией.
За последние 5 лет группе удалось значительно продвинутся в исследовании сильно нелинейных уравнений Соболевского типа, в частности, псевдопараболических уравнений. Так докторская диссертация М. О. Корпусова (2005 г.) посвящена исследованию локальной (по времени) разрешимости начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений. Удалось доказать сильнообобщенную и слабообобщенную локальную (по времени) разрешимость широкого класса начально-краевых задач. Кроме того, удалось получить достаточные условия разрушения решений этих задач за конечное время. Полученные результаты позволяют указать достаточные условия возникновения электрического пробоя в полупроводниках. Для одного класса начально-краевых задач для сильно нелинейных псевдопараболических уравнений получены необходимые и достаточные условия разрушения решений за конечное время. Кроме того, получены двусторонние оценки на время разрушения решений этих задач.
Разработкой численных подходов исследования начальных и начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений Соболевского типа посвящена докторская диссертация А. Б. Альшина. Используя так называемые квазиравномерные сетки, удалось с машинной точностью диагностировать время разрушения решений рассматриваемых начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений Соболевского типа. Причем полученные численные результаты очень хорошо согласуются с полученными ранее двусторонними оценками для времени разрушения, но значительно превышают их по точности.
Все полученные аналитические и численные результаты опубликованы в следующих двух монографиях.
- Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2005. - 224 с.
- Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения Соболевского типа. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2006. - 735 с.
Для студентов у нас есть интересные нелинейные эволюционные неклассические задачи, при исследовании которых студент может ознакомится с современными методами нелинейного функционального анализа, а также с современными численными методами исследования нелинейных уравнений в частных производных. Более того, у нас имеются серьезные задачи соответствующие кандидатским и докторским диссертациям на соответствующие ученые степени по специальностям дифференциальные уравнения (01-01-02) или математическая физика (01-01-03).
