Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://crydee.sai.msu.ru/~konon/Book/ch4L/node11.html
Дата изменения: Mon Nov 3 22:14:06 1997
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:07:08 2012
Кодировка: koi8-r
Решения: Основные параметры звезд



previous up next
Next: Физика звезд Up: Задачи Previous: Спектры Солнца и звезд

Решения

10. Основные параметры звезд


gif 10.1 Из соотношения масса -- cветимость tex2html_wrap_inline5637 для tex2html_wrap_inline5639 находим tex2html_wrap_inline5641. Эффективная температура звезды главной последовательности спектрального класса B0 равна tex2html_wrap_inline5643 K. Радиус звезды найдем из соотношения между светимостью, радиусом и эффективной температурой
displaymath5645
что дает
displaymath5647
Поэтому
displaymath5649
Средняя плотность Солнца tex2html_wrap_inline5651 г/см3, так что tex2html_wrap_inline5655 г/см3. Не правда ли, полученный результат противоречит тому, что подсказывает "здравый смысл" -- будто бы с ростом массы плотность должна расти. Так называемый "здравый смысл" имеет разумную область применимости -- свою у каждого, и подобные задачи помогут вам расширить ее.


gif 10.2 Деля светимость Солнца на площадь его поверхности, получаем поток с 1 см2:
displaymath5661
По определению, поток с единицы поверхности Солнца связан с его эффективной температурой следующим образом:
displaymath5663
где tex2html_wrap_inline5665 -- постоянная Стефана. Подставляя сюда найденное выше значение потока, получим для Солнца
displaymath5667

Поучительно перевести это число в нечто более ощутимое "для обывателя". Поток с поверхности Солнца соответствует тому, что с 1 см2 излучается 6.5 кВт (проверьте!).


gif 10.3 Мы имеем
displaymath5671
Найдем дифференциал логарифма L:
displaymath5675
или
displaymath5677
Для малых приращений радиуса и температуры последнее точное выражение можно заменить на приближенное
displaymath5679
Подставляя сюда из условия задачи tex2html_wrap_inline5681 и tex2html_wrap_inline5683, приближенно имеем tex2html_wrap_inline5685, так что при tex2html_wrap_inline5687 светимость звезды возрастет примерно на 4%.


gif 10.4 При сравнении абсолютных звездных величин считается, что звезды находятся на одном и том же стандартном расстоянии (10 пк). В этом случае освещенности от разных звезд просто пропорциональны их светимостям. Тогда для нашей пары звезд имеем
displaymath5689
где мы воспользовались известным соотношением между светимостью, радиусом и эффективной температурой звезды (см. предыдущую задачу) и учли, что по условию tex2html_wrap_inline5691. Пусть первая звезда горячее (на 10%) второй, т.е. tex2html_wrap_inline5693. Учитывая малое отличие отношения температур от единицы, приближенно находим
displaymath5695
Тот факт, что tex2html_wrap_inline5697, следует помнить.


gif 10.5 Дифференцируя формулу, выражающую закон Стефана-Больцмана, легко получить, считая радиус постоянным (см., например, задачу gif)
displaymath5699
Таким образом, чтобы светимости двух звезд одинакового радиуса отличались на 4%, их температуры должны разниться на 1%. Далее, по закону смещения Вина tex2html_wrap_inline5701, и поэтому tex2html_wrap_inline5703, так что при увеличении температуры на 1% длина волны максимума в распределении энергии уменьшается тоже на 1%. Сходным образом показывается, что интенсивность в максимуме при росте температуры на 1% увеличивается на 5%, а интенсивность в рэлей-джинсовской области -- на 1% (поймите, почему).


gif 10.6 Высота однородной атмосферы связана с температурой T, ускорением силы тяжести g и средней молярной массой tex2html_wrap_inline5709 следующим соотношением:
displaymath5711
где tex2html_wrap_inline5495г -- атомная единица массы. Для Солнца tex2html_wrap_inline5715 см/с2, tex2html_wrap_inline5719 (атмосфера Солнца состоит в основном из водорода и он не ионизован), наконец, tex2html_wrap_inline5721K, что в итоге дает tex2html_wrap_inline5723 см, или около 200 км.

Ускорение силы тяжести на поверхности белого карлика можно выразить через его массу и радиус в солнечных единицах:
displaymath5725
откуда находим для нашего белого карлика tex2html_wrap_inline5727 см/с2. (Это колоссальное ускорение. Материальная точка, движущаяся с таким ускорением, за первую секунду проходит путь в 1500 км, что составляет около четверти радиуса белого карлика.) Учитывая также, что при tex2html_wrap_inline5731 K водород ионизован, так что tex2html_wrap_inline5733, для высоты однородной атмосферы белого карлика получаем
displaymath5735
Уместно вспомнить, что для Земли, имеющей тот же приблизительно радиус, что и у белого карлика, высота однородной атмосферы составляет 8 км.


gif 10.7 Мы имеем
displaymath5737
где tex2html_wrap_inline5739 -- постоянная Стефана. Если светимость и радиус выразить в солнечных единицах, то получим отсюда
displaymath5741
где использовано значение эффективной температуры Солнца tex2html_wrap_inline5743 K. С помощью последней формулы находим, что светимость белого карлика в светимостях Солнца равна
displaymath5745
Множителю 16 отвечает разница почти точно в 3 звездные величины (это полезно помнить; вот более точное значение: tex2html_wrap_inline5747). Поэтому абсолютная болометрическая звездная величина белого карлика будет на 3 звездные величины больше, чем у Солнца. Так чему же она равна?


gif 10.8 Из сравнения абсолютных звездных величин белого карлика и Солнца найдем отношение их светимостей:
displaymath5749
Далее, по формуле из решения предыдущей задачи оценим радиус белого карлика
displaymath5751
Это около 5000 км, т.е. меньше радиуса Земли (6400 км).


gif 10.9 Фотон с энергией tex2html_wrap_inline5753 несет импульс tex2html_wrap_inline5755 в направлении своего полета. После отражения от неподвижной или медленно удаляющейся от звезды фольги импульс фотона оказывается направлен в противоположную сторону, а его величина та же, что и до отражения. Поэтому при отражении каждого фотона фольге передается импульс tex2html_wrap_inline5757. Скорость передачи импульса есть сила светового давления на фольгу. В расчете на единицу площади она равна, таким образом, tex2html_wrap_inline5759, где L -- светимость и r -- расстояние до звезды. Чтобы фольга с сидящим на ней комаром пренебрежимо малой массы улетела к другим звездам, световое давление должно превышать силу притяжения. В расчете на единицу площади поверхности фольги толщины H, изготовленной из материала с плотностью tex2html_wrap_inline4709, сила притяжения составляет tex2html_wrap_inline5769, где M -- масса звезды. Итак, чтобы фольга могла служить фотонным парусом, на котором можно улететь от звезды на бесконечность, должно выполняться условие
displaymath5773
откуда
displaymath5775
Здесь мы неявно предполагаем, что первоначально фольга покоится (а не движется вокруг звезды, скажем, по круговой орбите).

Обратите внимание, что r выпало. Причина, конечно, в том, что и сила притяжения, и поток зависят от r одинаково (как tex2html_wrap_inline5781, так что если давление излучения превышает силу тяжести на каком-то расстоянии r, то оно превышает ее везде. Фольга металлическая, так что можно принять tex2html_wrap_inline5785 г/см3 (как у железа). Далее, для звезды класса O5V имеем tex2html_wrap_inline5789. Подставляя численные значения, находим, что H < 0.25 см. Как видим, в качестве "фольги" вполне сошел бы и покрашенный в белую краску лист кровельного железа!

Возлежа вместо дивана на большом железном листе, от звезды класса O5 мог бы отправиться в межзвездное странствие не только комар, но и Обломов.

А теперь, пользуясь полученной формулой, немного пофантазируйте сами о межзвездных перелетах на фотонных парусах -- об их продолжительности, например. Что можно сказать о фотонных парусах для нашей Солнечной системы? Они даже были изготовлены, но из-за ограниченности финансирования космических программ до их реального использования дело пока не дошло.

Какова должна быть площадь невесомого фотонного паруса, на котором от Солнца к звездам могла бы улететь муха массой 1 г?



HTML by Igor Drozdovsky
Sun Oct 26 14:40:19 MSK 1997