Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2012/lecture06.pdf Дата изменения: Mon Oct 15 17:50:44 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:35:08 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: покрытие

"Введение в топологию", конспект лекции 6.
А.С.Мищенко 15 октября 2012 г.

План
Вторая аксиома счетности.

.

1

Компактные пространства

Определение компактного пространства с помощью открытых покрытий. Определение 2 Определение компактного пространства с помощью замкнутых подмножеств с непустым пересечение. Определение 3 Определение компактного пространства с помощью центрированной системы замкнутых подмножеств. Определение 4 Определение компактного пространства с помощью направленностей. Определение 5 Определение компактного пространства с помощью точек полного накопления. Определение 6 Предел направленности и предельная точка направленности. Скажем, что направленность x, A, имеет предельную точку x0 , если для любой открытой окрестности U x и любого индекса A существует больший индекс , для которого x U .
Определение 1

1


Направленность имеет предельную точку тогда и только тогда, когда она имеет поднаправленность, сходящуюся к этой точке.
Теорема 1
Доказательство. Пусть направленность x , A имеет предельную точку x0 X . Рассмотрим новую направленное множество B , состоящую из всех пар (, U ), где U x произвольная окрестность точки x, a A удовлетворяет условию x U . Система окрестностей U = {U x} образует направленное семейство. Множество B является подмножеством в декартовом произведении B A Ч U, и, значит частично упорядочено. В действительности же множество B направлено. В самом деле, если (, U ), ( , V ) B , то в силу того, что точка x0 является предельной, существует такой индекс , , для которого x U V , что и означает, что множество B направлено. Направленное множество B конфинально направленному множеству A, поскольку отображение f : B -A, f (, U ) = , монотонно и для любого индекса имеется индекс , для которого x U , т.е. ( , U ) B и f ( , U ) . Таким образом, имеем поднаправленность y(,U ) = x , (, U ) B направленности x , которая сходится к точке x0 . Обратное утверждение теоремы очевидно: если поднаправленность y(,U ) = x , (, U ) B сходится к точке x0 , то точка x0 является предельной точкой направленности x .

Скажем, что направленность x, A, почти содержится в подмножестве Y X , если существует такой индекс 0 A, что хвост T (x) содержится в Y , T (x) Y . Скажем, что направленность x, , часто бывает в подмножестве Y X , если каждый хвост T (x ) пересекается с Y , T (x ) Y = . Скажем, что направленность x, , универсальна, если для любого подмножества Y X направленность x, почти содержится в одном из подмножеств Y или X \ Y . Теорема 2 У любой направленности x , A, имеется универсальная поднаправленность. Теорема 3 Универсальная направленность сходится к любой своей предельной точке. Теорема 4 Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая направленность имеет предельную точку или, что то же самое, когда любая направленность имеет сходящуюся поднаправленность. Эквивалентным образом, пространство компактно тогда и только тогда, когда любая универсальная направленность имеет предел.
Определение 7
0 0 0 0

Доказательство. Пусть топологическое пространство X компактно и x , A некоторая направленность. Если точка y не является предельной, то это значит, что существует открытая окрестность Uy y , для которой имеется такой индекс = y A, что если y , то x Uy .

2


Если у направленности x нет предельных точек, то система окрестностей {Uy : y X } покрывает все пространство X , т.е.

Uy = X.
y X

Поскольку пространство X компактно, то открытое покрытие {Uy : y X } имеет конечное подпокрытие, т.е. имеется конечное число точек {yk X, k = 1, . . . N }, для которых
N

Uyk = X.
k=1

Поскольку число точек {yk X, k = 1, . . . N }, конечно, то существует такой индекс A, для которого выполнены все неравенства


и, значит x Uyk ,

yk ,

k = 1, . . . N ,
N k=1

k = 1, . . . N , т.е. x

Uyk = X . Противоречие.

Обратно, предположим, что всякая направленность у топологического пространства X имеет предельную точку. Покажем, что X компактно. Рассмотрим некоторое открытое покрытие U = {U , A}. Допустим противное, т.е., что всякое конечное подмножество B A не дает покрытия множествами UB = {U , B }, т.е. UB = X . Другими словами, имеется точка xB X , которая не содержится в объединении UB ,

xB

UB .

Конечные множества B A образуют направленное семейство B = {B A : #(B ) < } по включению. Значит, получаем направленность {xB , B B}. По предположению, эта направленность имеет предельную точку, скажем, x0 X , которая принадлежит некоторому элементу открытого покрытия, т.е. x0 U0 . А тогда существует такой индекс B B, что B {0 } и xB U0 . Условие же B {0 } означает, что 0 B , т.е. xB U0 . Противоречие.
Теорема 5 (Лемма Шуры-Буры) Пусть X компактное топологическое пространство, U X его открытое подмножество, F = {F, A} семейство замкнутых подмножеств такое, что

F=
A

F U. = {F , A0 A}

Тогда имеется конечное подсемейство F0 рого выполнено то же самое включение
F0 =
A0

, для кото-

F U.

3


Теорема 6 (Теорема Тихонова)

пространств компактно.
Доказательство.

Тихоновское произведение компактных

Тихоновская топология на произведении топологических пространств это минимальная топология, в которой все проекции на исходные пространства непрерывны. Конструктивно е? можно также описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на X бер?тся семейство множеств - P = { 1 (U ) : U X -открыто }. База топологии всевозможные конечные пересечения множеств из P, а топология всевозможные объединения множеств из базы. Теорема Тихонова: Если все множества {X : A} компактны, тогда компактно и их тихоновское произведение X = X . Доказательство. Согласно теореме Александера о предбазе, достаточно доказать, что всякое покрытие элементами предбазы P допускает конечное подпокрытие. Покрытие элементами предбазы P есть семейство открытых множеств - вида W = {W = (1 ) (U ), U X( ) }. Для всякого пусть объеди нение всех множеств , для которых множество содержится в покрытии. Тогда непокрытая часть пространства X, выражается формулой . Поскольку это множество пусто, пустым должен быть хотя бы один сомножитель. Это означает, что рассматриваемое покрытие при некотором содержит прообраз покрытия пространства . В силу компактности пространства , из его покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и тогда его прообраз относительно отображения будет конечным подпокрытием пространства X. Теорема Александера о предбазе: Топологическое пространство компактно, тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускает каждое покрытие, составленное из элементов предбазы его топологии. Доказательство. Необходимость в этом критерии компактности очевидна, так как все элементы предбазы - открытые множества. Достаточность доказывается методом от противного. Пусть пространство X некомпактно, хотя всякое покрытие, составленное из элементов предбазы его топологии, допускает выделение конечного подпокрытия. Пусть база топологии пространства X , образованная этой предбазой. Каждый е? элемент есть конечное пересечение элементов предбазы. Множество всех возможных - покрытий пространства X (то есть составленных из элементов базы ), не допускающих конечного подпокрытия, индуктивно упорядочено и непусто, следовательно, к нему применима лемма Цорна. Значит, существует максимальное (нерасширяемое) такое покрытие. Элементы предбазы , содержащиеся в н?м, не образуют покрытия пространства X, следовательно, какая-то точка покрыта элементом базы , но покрытие не содержит ни один из элементов предбазы . Далее используется максимальность рассматриваемого покрытия. После добавления к нему множества, можно выделить конечное подпокрытие. Объединяя все эти подпокрытия, выкидывая из них множества и добавляя 4
A


множество , получается конечное покрытие пространства X, являющееся подпокрытием исходного покрытия. Противоречие (конечных подпокрытий исходное покрытие не допускало) доказывает теорему. Доказательство. [Короткое доказательство.] Рассмотрим тихоновсое произведение компактных пространств X = Xi . Точка x X это набор ее координат x = {xi }, xi Xi , i I . Пусть x , A некоторая универсальная направленность в пространстве X . Тогда каждая точка x задается своими координатами
i I

x = {xi Xi }.
При фиксированном номере i I набор xi , A задает универ сальную направленность в компактном пространстве Xi , и, значит, имеет предел, скажем скажем y i Xi . Рассматривая точки {y i , i I } как координаты, получаем точку y X , y = {y i , i I }. Покажем, что точка y является пределом для универсальной направленности x , A. Для этого рассмотрим произвольную окрестность точки y . Эта окрестность без ограничения общности может иметь вид
N

Uik Ч
k=1 j =i1 ,...,iN

Xj .

Имеются такие индексы i , что хвост лежит в окрестности: Tk (xk ) Uik .
1.0.1 1.0.2 Первая аксиома счетности Вторая аксиома счетности

Если пространство удовлетворяет второй аксиоме сч?тности, то оно сепарабельно. Теорема 8 Евклидовы пространства и любые их подпространства сепарабельны и удовлетворяет второй аксиоме сч?тности. Теорема 9 (Урысон) Нормальное пространство со второй аксиомой счетности метризуемо.
Теорема 7
Доказательство. Пусть {U } счетная база открытых множеств в топологическом пространстве X . Поскольку пространство X нормально, то для любой точки x X и элемента базы U x найдется другой элемент базы U x, = () такой , что x U U U . Пара (, ), для которой U U U назовем допустимой парой. Для каждой допустимой пары (, ) по лемме Урысона построим непрерывную функцию , : X -[0, 1], для которой , (x) 1, x U , , (x) 0, x U ,

5


Семейство допустимых пар счетно, значит их можно занумеровать натуральными числами, т.е. каждая пара имеет вид (n , n ). Тогда положим n (x) = n ,n (x) Рассмотрим пространство Q =


[1,
n=1

1 2n

]. Это пространство метризуемо,

метрика задается формулой: пусть x, y Q, x = {xn }, y = {yn }, 0 xn 1 1 2n , 0 yn 2n ,


(x, y ) =
k=1

(xn - yn )2 .

Построим отображение f : X -Q по формуле

f (x) =

n (x) 2n

Q.

Отображение f взаимно однозначно. Действительно, если x = y , то найдется такой номер n, что x Un , y Un , значит nя координата у точек f (x) и f (y ) различна, т.е. f (x) = f (y ) . Непрерывность отображения f в точке x: пусть дано = 21 > 0. Первые N

N координат k (x) задают непрерывное отображение, значит найдет2k k=1 ся такая окрестность U x, что при y U получаем
N

N

k=1

k (x) k (y ) - 2k 2k
2

2

<

или

N

k=1

k (x) k (y ) - 2k 2k

< 2 .

Локально компактные пространства Паракомпактные пространства Примеры Предкомпактные подмножества Критерий компактности подмножеств в конечномерном евклидовом пространстве

6