Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:37 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

25

Подставляя в это уравнение значение квадрата скорости кубика u, получим уравнение для функции искомого угла : 1 2 3 m tg + M gRcos , mgR 1 - cos = 2 или, введя обозначение = M/m:

b

g FGH
3

IJ K

по величине а и ускорение одного из оставшихся в этот момент составляет по величине 3а. Найдите ускорение третьего тела в этот же момент времени. Система находится вдали от всех других тел, поэтому ускорение центра масс системы равно нулю. Отсюда сразу можно найти ускорение третьего тела. Действительно, если ускорения первых двух направлены в одну сторону, то ускорение третьего равно 4а и направлено в противоположную сторону. Если же исходные ускорения направлены в разные стороны, то ускорение третьего тела равно 2а и направлено против ускорения, равного 3а. М.Учителев Ф1632. Куб с ребром а = 10 см, имеющий массу М = = 1 кг, подвешен на пружине жесткостью k = = 400 H/м так, что его основание параллельно земле. Снизу на куб направляют поток маленьких упругих шариков, обладающих скоростью v0 = 20 м/с на высоте первоначального положения нижней грани куба. Куб начинает колебаться, двигаясь поступательно вдоль вертикальной оси. Найдите период и амплитуду этих колебаний. Оказывается, колебания эти медленно затухают, хотя никакого трения тут нет. Объясните причину затухания колебаний и оцените время, в течение которого амплитуда уменьшится на 10%. Масса одного шарика m = 1 г, концентрация -3 шариков в потоке n = 1000 м . Ударами шариков друг о друга пренебречь. Ударяясь о нижнюю грань куба и упруго отскакивая, шарики создают почти постоянную (дальше мы уточним эту оценку) силу, направленную вверх. Эта сила смещает положение равновесия куба на пружине вверх, и в системе начинаются колебания. Оценим величину силы, считая для начала куб неподвижным. За малый отрезок времени о грань куба ударятся только те шарики, которые находятся на рас2 стоянии v0 от грани, таких шариков будет na v0 . Каждый удар передает кубу импульс 2mv0 , всего за время куб получает импульс na2v0 2mv0 . Это дает 2 силу, равную F = 2na2mv0 , которая смещает положение равновесия на s = F/k. Такой и была бы амплитуда колебаний, если бы не затухание, которое эту амплитуду уменьшает. Период колебаний груза на пружине определяется стандартной формулой Т = 2 M k это самые обычные колебания груза на пружине. Сделаем теперь числовые оценки: сила F = 8 Н, смещение s = 0,02 м, период Т 0,31 с. Максимальное значение скорости можно найти из закона сохранения энергии, а можно просто умножить амплитуду на круговую частоту колебаний = 2 T получим v = 0,4 м/с. Малая амплитуда колебаний позволяет считать, что положение нижней грани почти не меняется и скорость шариков перед ударом можно считать равной v0 . А вот импульс, передаваемый кубу, меняется в зависимости от его скорости именно этим и объясняется затухание. Посчитаем силу, действующую на движущийся куб. При скорости куба, направленной вверх и равной u, сила будет равна

Это уравнение можно решить, пользуясь известной формулой Кардано, но это не обязательно вполне можно ограничиться численным (или графическим) решением для нескольких конкретных значений отношения масс. Например, для = 1 получаем cos 0,596, для = 2 получаем cos 0,523, для еще большего значения отношения масс (легкий шар) = 50 получаем cos 0,235. Попробуем теперь уменьшать величину , но так, чтобы коэффициент при кубическом слагаемом в уравнении оставался положительным значение cos будет стремиться к 2/3. При отрицательных значениях этого коэффициента получаются большие значения для cos от 2/3 до 1. Дальше все уже просто скорость кубиков после отрыва не меняется, и скорость шара V перед ударом о плоскость находим при помощи закона сохранения энергии 2 mV 2 mgH = + Mu . 2 2 3 При этом u = gR cos , а значения косинуса предельного угла мы находили раньше подставляя их, найдем ответы для различных соотношений масс. З.Рафаилов Ф1630. На гладком горизонтальном столе покоится тележка массой М и длиной L. Посредине тележки находится кубик маленького размера, его масса m. Кубику сообщают толчком скорость v по направлению к одному из бортиков тележки. Найдите смещение тележки к тому моменту, когда кубик снова окажется посредине тележки, испытав ровно 17 ударов. Считать удары кубика о бортики тележки абсолютно упругими. В этой задаче можно долго и подробно анализировать движение тележки после первого удара она поедет, после второго остановится, затем снова поедет и т.д. Но ответ можно получить и очень быстро нужно только учесть, что при абсолютно упругом лобовом ударе двух тел их относительная скорость остается неизменной (это легко доказать убедитесь сами) и поэтому интервал между последовательными ударами составит L/v. Всего от начала движения до интересующего нас момента пройдет: полинтервала до первого удара, затем 16 интервалов между ударами (проверьте!) и еще полинтервала между ударами (еще полтележки'), т.е. Т = 17L/v. За это время центр масс системы сместится на m L m s = Tvцм = 17 v = 17L . M+m v M+m Р.Александров Ф1631. Три маленьких заряженных тела одной и той же массы движутся в пространстве вдали от всех других тел. В некоторый момент тела оказываются на одной прямой, при этом ускорение среднего равно
7 Квант ?3

b2 - 1g

cos + 3cos - 2 = 0 .

F = 2na m v0 - u

2

c

h

2

= 2na m v0 + u

2

e

2

2

j

- 4na mv0 u .

2