Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/13.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:33 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: кокон

О

ВОЛНАХ,

ПОПЛАВКАХ,

ШТОРМЕ

И

ПРОЧЕМ

13

a) Y

б) an A() A() a a coskx X



ное, теперь пики расположены не равномерно, а соответственно значениям 4 2 m2 km = g 2 и полуширины у них различны:





km =

dk = d 2km = 2km = . nm m

первого порядка. В нем n/2 горбиков, и он достаточно быстро движется. Если немного подождать на месте, а не идти за первым пакетом, то можно увидеть возникновение более слабого пакета второго порядка, в котором уже n горбиков, а затем и возникновение пакетов следующих порядков. Это все можно объяснить теоретически. Длина волны, наполняющей пакет m-порядка, равна



m

=

g

2

Рис. 8

A()cos(kx + n1 ) 2

2 m2

,

этой функции. Особенности ее строения легко понять, если обратиться к векторной диаграмме (рис.9). При k = 2 m все векторы вытянуты в линию, и их суммарная длина A = = n. При небольшом изменении на = 2 n они складываются в правильный n-угольник, а A = 0. Затем происходит долгое движение вблизи нуля, пока при возрастании на 2 векторы снова не вытягиваются в ряд. Скомпоновав таким образом вклад одинаковых гармоник от всех ударов, для получения ответа нам осталось только проинтегрировать:

bg

bg

bg

При перемножении гладкой функции а(k) с 'гребенкой' A(k) получится снова 'гребенка'. Ну, а в таком случае мы, пожалуй, обойдемся без интегрирования. Ведь каждый пик это волновой пакет (как на рисунке 6)! Бросив много камней, мы создали бесконечный ряд волновых пакетов. Почему так происходит? Почему возбуждаются не все волны, а лишь избранные и близкие к ним? Причина простая резонанс. Перепишем условие максимума амплитуды kg = = 2 m , используя период Т = vф = = 2 kvф . Оно примет вид

h x, t =

bg
1 2

ej

=

z
0

a k A k cos kx + vt +

b g b g FGH

n -1 2

dk.

IJ K

= mT
а это и есть условие резонанса. Раскачиваются те волны, для которых удары приходятся ровно через период или целое число периодов. Совсем как для обычных качелей. Рассказывая в начале о результатах наших наблюдений, мы немного слукавили. На самом деле, на воде возникает не один волновой пакет, а несколько (рис.10). Нам удавалось наблюдать пакеты до четвертого порядка включительно. Самое заметное и четкое образование, которое к тому же и появляется первым, это пакет
2 = n

поэтому первый волновой пакет состоит из наполняющей с самой большой длиной волны. У него самая большая групповая скорость, он быстрее всех удаляется от начальной точки. А сколько в нем горбиков? На этот вопрос очень просто ответить. Полуширина пика первого порядка составляет k = 2km n , а полуширина волнового пакета, состоящего из N волн, равна k0 N ; следовательно, в нем n/2 горбиков. Волновые пакеты более высоких порядков имеют наполняющую с меньшей длиной волны m = 1 m2 . Поэтому групповые скорости у них меньше, и расходятся они через большее время. Кроме того, полуширина соответствующих им пиков меньше: k = 2km nm , поэтому пакет m-го порядка состоит из

bg

N!= 3 n 2
Рис.10

N = n

n N= 2

А обязательно ли это делать? Нет, ответ можно предсказать и без интегрирования! Произведение a k A k можно рассматривать как спектр суммарного возмущения, а его легко узнать. Амплитуда А, построенная как функция 2 волнового числа k = , по-прежнеg 2 му имеет вид 'гребенки' с пиками высотой n (см. рис.7,б). Единствен-

bg bg

= 0 a a A() = n an an a A() = 0 a

nm/2 горбиков. Что касается амплитуды, то она в m раз меньше, чем у первого. При увеличении числа волн в пакете он не только должен сужаться, но и вытягиваться. Однако высота пиков 'гребенки' A(k) одна и та же. Итак, бросив в воду сорок камушков, вы увидите двадцать горбиков. Сознаюсь, этот ответ мне по душе. Он подтверждает присущее всем нам чувство веры в общность и незыблемость законов сохранения. Все сходится: сорок камушков двадцать горбиков сорок раз поднимается поплавок. Правда, есть и другие пакеты, и поплавок еще не раз поднимется... Но согласитесь, что это нисколько не портит картину, а лишь обогащает ее.

Рис. 9
4 Квант ? 3