Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:56 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

!

M1731. Нарисовано 60 звездочек, и двое поочередно

заменяют любую звездочку на цифру. Докажите, что второй может сделать так, чтобы полученное число делилось на 13.

Разобьем полученное число на 10 шестерок цифр. Второй может легко сделать так, чтобы в каждой шестерке первые три цифры совпадали с последними (abcabc). Полученное число будет делиться на 1001 и, следовательно, на 13. Н.Васильев, Б.Гинзбург

M1732. а) Множества А и В на прямой содержат по n точек. Если все троеточия из множества А занумеровать в каком-либо порядке, то все троеточия из множества В можно занумеровать в таком порядке, что всякие два троеточия из А и В, имеющие одинаковые номера, будут равны (при наложении совпадут). Докажите, что множества А и В равны. б*) Сохранит ли утверждение силу, если в нем 'троеточия' заменить на 'двоеточия'?
а) Нужно доказать, что множества А и В равны или, как еще говорят, изометричны. Сначала отметим, что список расстояний между всевозможными парами точек из мноn n +1 чисел, совпадает с подобным жества А, в котором 2 списком для множества В это непосредственно вытекает из условия задачи. Отсюда можно заключить, что диаметры множеств А и В равны. Поэтому множества А и В можно разместить на одном отрезке I, концы которого принадлежат как А, так и В. Теперь нужно доказать, что множества А и В либо совпали, либо симметричны относительно точки Q, которая является серединой отрезка I. Рассмотрим возможное взаиморасположение точек множества А и множества В на отрезке I с концами и . Если точка A , то либо B , либо точка, симметричная точке относительно Q, принадлежит В, так как по условию для троеточия ( , , ) из множества А в множестве В имеется равное троеточие. Если две точки и , симметричные относительно Q, принадлежат множеству А, то обе они принадлежат и множеству В. Обозначим С = A 7 B , в множестве С выделим максимальное подмножество C1 , симметричное относительно точки Q. Тогда С = C0 7 C1 . Заметим, что множество A1 = А С и B1 = В С не пересекаются и симметричны относительно точки Q. Если множество A1 (а значит и B1 ) пустое, то А совпадает с В. Если множество C0 пустое, то А симметрично В относительно Q. Ввиду этого достаточно убедиться, что хотя бы одно из двух множеств C0 и A1 обязательно является пустым. Допустим противное: ни C0 , ни A1 пустыми не являются. Из определений этих множеств и проведенного анализа следует, что полный список (с учетом кратностей) расстояний между парами точек, одна из которых принадлежит C0 , а другая A1 , совпадает с полным списком расстояний между парами точек, одна из которых принадлежит C0 , а другая B1 (обдумайте детально это умозаключение!). Но максимальное расстояние между точками множества C0 и точками множества A1 не равно максимальному расстоянию между точками C0 и точками B1 ! Чтобы в этом удостовериться, каждое из названных множеств удобно и достаточно представить двумя точками: крайней левой и крайней правой. При этом нужно вспомнить, что A1 и B1

симметричны относительно точки Q, а C0 строго асимметрично относительно Q. Значит, противоречие получено, и утверждение доказано. б) Не сохранит. Приведем пример двух множеств А и В, каждое из которых состоит из 9 точек. При этом полный список расстояний между точками А (из 36 чисел) совпадает с аналогичным списком множества В, но эти множества не равны (не изометричны). Множество А задается словом abaabbab, множество В словом abbabaab (бук ва в слове расстояние между соседними точками множества). При а = 1 и b = 2 множества А и В представлены на рисунке. Остается открытым вопрос: изменится ли ответ этого пункта, если все расстояния в множестве А считать различными? В.Произволов и f 0 = 1. Докажите равенство 1 1 x - f x dx = . 2

M1733. Непрерывная функция f x такова, что f = f

b

g

z
0

bg

y B

bg

-1

bg

C S

График функции y = f x симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла у = х (см. рисунок). Значит, S1 = S4 , а S2 = S3 . Поэтому можно записать

bg

S



S S

!

"

A

z
1 0

x - f x dx =

bg

x0

z
0

O

c f b xg - xh

dx +

x0

z
1

x



D x

c

x - f x dx = 1 2


b gh

= S1 + S3 =

S

ABCD

=

1 2

.

M1734. Докажите, что уравнение

ное решение при > 3 . Такие задачи обычно сводятся к исследованию функции с помощью производных. Трудность состоит в том, чтобы суметь удачно выбрать исследуемую функцию. Исследование уравнения задачи мы начнем с очевидного замечания: при 0 оно решений не имеет. В самом деле, поскольку sin x < x при x > 0, то при 0 на всем sin x 1. выполнено неравенство интервале 0; x 2

FG 0; IJ H 2K

FG H

К.Каибханов
sin x x

IJ K

= cos x на

не имеет решений при 3 , но имеет единствен-

FG IJ HK

Пусть > 0 . Заметим, что функция

FG H

sin x x

IJ K

FG H



IJ K

щается в ноль в тех же точках интервала 0;

FG IJ H 2K

- cos x обра-

, что и

6*