Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/29.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:44 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:28 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: центавр a

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

Если бы мы рассматривали не десятичную систему счисления, а систему счисления с основанием a, где a отличное от единицы натуральное число, то аналогичным образом получили бы утверждение, которое называют теоремой Эйлера: Если n натуральное число, взаимно простое с целым числом a, где a > bn g > 1, то a 1 кратно n. 10

Таким образом по индукции можно доказать, что число 11K11 кратно чис12 3 лу 3 , т.е. число 99K3 кратно числу 1299 44
3 , откуда L 3 3 . А если мы еще заметим, что использованные нами числа 100...00100...001 делятся только на 3, но не на 9, то получим точный
n+2 n 3
n n

... + 1 + p - 2 px + 1 + p - 1 px = = p+p
2

db

gid b gi pb p - 1g x p cmod p h 2

29
.

ej
n +2

3

n

Лемма доказана. А теорему докажите в качестве (трудного, но не слишком) упражнения (29).
Упражнения n 26. Число 10 3 1 кратно 3n + 2 , но не n+3 кратно 3 . Докажите это. 27. Какое наименьшее количество единиц подряд надо написать, чтобы получилось число, кратное а) 999 999 999; 11 kl 9 б) 9 ; в) 11 ; г) 3 7 , где k, l натуральные числа? 28. На какую наибольшую степень 2000 двойки делится число 5 1? 29. Докажите теорему 4. 30. Докажите, что если p простое число, p 2 , то сумма 1 + a + a2 + ... 2 ... + ap-1 не кратна p ни для какого целого числа a. 31. Докажите, что в периоде бесконеч100 ной десятичной дроби 1 3 имеется любая последовательность из 46 цифр. (Чуть в иной формулировке эта задача была в 'Задачнике 'Кванта' под номером М1280.) 32 (для тех, кто любит программировать). а) Найдите хотя бы одно такое простое число p > 5, что длины периодов разложений в десятичные дроби чисел 1/p и 1/ p2 совпадают и равны p 1. б*) Найдите еще одно такое простое число. (Неизвестно, бесконечно ли множество простых чисел со свойством L(p) = L( p2 ). Неизвестно и то, существует ли хотя бы одно простое число p > 5, для которого 3 L(p) = L( p ).)

Чему равно L pm ?
Число 111 делится на 3. Далее, число 111111111 = 111 1001001 делится на 9 как произведение двух чисел, каждое из которых делится на 3.11 Записываемое 27 единицами число 111111111111111111111111111 = = 111111111 1000000001000000001 делится на 27 как произведение числа, кратного 9, и числа, кратного 3. И вообще, равенство

ej

результат: L 3 =3 . Нельзя ли подобным образом изуm чить функцию L p , где p простое число, m натуральное число? Оказывается, можно. k Теорема 4. Если p наивысшая степень простого числа p, которой Lb p g кратно число 10 1, то для любого неотрицательного целого числа m k+m m верна формула L p = p Lp. =3 и (Например, L 3 m = 6 7 .) Доказать теорему 4 вам поможет следующая лемма. Лемма 2. Если a = 1 + px, где p простое число, p > 2, x целое число, p- 2 то сумма a p -1 + a + ... + a + 1 2 кратна p, но не кратна p . Доказательство леммы 2. Легко понять (рассуждая по индукции или применив бином Ньютона), что при 2 p -2 2 делении на p числа a, a , ..., a и p -1 a дают такие же остатки, как 1 + px, 1 + 2px, ..., 1 + (p 2)px и 1 + (p 1)px. Следовательно,

ej ej
n+2

n

e

m+ 2

e

j

j

m

bg Le7 j =
m +1

111K11111K11111K11 = 123 123 123 44 44 44
3n 3n

= 111K11 100K0000K001 123 123 123 44 44 44
3
n

3n

3 -1

n

3 -1

n

показывает, что если число, записываn n емое 3 единицами, кратно 3 , то n +1 единицами, число, записываемое 3 n +1 кратно 3 .
10 Честно говоря, условие a > 1 излишне: если нас интересуют остатки от деления на n, то из любого целого числа a, прибавив к нему n необходимое количество раз, можно получить число, большее единицы. 11 Впрочем, можно было воспользоваться признаком делимости на 9.

1 + a + a +K+ a

2

p -2

+a

p -1



1 + 1 + px + 1 + 2 px + K

b

gb

g

НАМ ПИШУТ

Заглянем в центр звезд
Просматривая таблицу 'Физические параметры некоторых звезд' (которая частично здесь приводится) из 'Справочника по физике' А.С.Еноховича, трудно удержаться от попытки оценить температуру в центрах звезд и сравнить ее с реальной. Будем считать, в первом приближении, звезду водородной. Поскольку она находится в равновесии, разумно приравнять, по порядку величины, средние энергии протона теплового движения и гравитационного взаимодействия: kT;GMmp d . Здесь k постоянная Больцмана, Т температура звезды, G гравитационная постоянная, М и d масса и диаметр звезды, m p масса протона. Имеем расчетную GMm p , на основании которой строим пятую формулу T; kd графу таблицы. Сравнив ее со второй графой, видим достаточно хорошее совпадение.
8 Квант ?2

Звезда

T, K
5,4 10
7 7

d (по М (по В ычисленная сравнению с сравнению с температура,K Солнцем) Солнцем)
7 5
7

Ориона

27 11 2,8 1,2
1,0 0,58 0,30

4,47 10 2,55 10 , 148 10 7,73 10 , 116 10 , 103 10

7

Спика (Девы) 3 10

7

В ега ( Лиры) 18 10 , Процион А
8 10
6

2,2 1,8 1,0 0,65 0,41

7

6

Центавра А Волопаса В

13 10 , , 10 10

7

7

7

7

Kрюгер 60 А 8,5 10

6

8,48 10

6

В.Дроздов