Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2001/03/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:24 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:51 2012 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

49
= K 90 L 60

и,

график y = x x, , 90 - x , увидим, 2 2 достигается при x = 45. Получается, что самый произвольный непрямоугольный равнобедренный треугольник, угол при вершине которого меньше угла при основании, это треугольник с углами 67,5њ, 67,5њ и 45њ (рис.9).

F = min G x, 90 - H что максимум

наконец, 3

IJ K

72

54
. 10
o o

54

O
. 12

60

90

180

45

67,5
. 9

67,5

Какой из треугольников, изображенных на рисунках 8 и 9, милее вашему сердцу? Мне чуть больше нравится второй, поскольку он сильнее отличается от прямоугольного. Впрочем, возможны какие-то другие постановки интересовавшей нас в этом разделе задачи, так что не буду навязывать вам этот треугольник, а еще раз скажу: в конечном счете все зависит от выбранного критерия! Угол при вершине больше угла при основании. Напомню, что здесь мы ищем 'самый произвольный' остроугольный равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине больше угла при основании, т.е. o o o o 90 > 180 - 2 > , или 45 < < 60 . Если рассмотреть max - ,
45 < < 60
o o o

0 < < 180 . Рассмотрим сначала задачу о том, насколько большой может быть величина min - , - . Очевидно, если уменьшать , одновременно увеличивая и не меняя , то обе разности - и - будут увеличиваться. Поэтому достаточно o рассмотреть два крайних случая: = 0 o и = 180 . (Конечно, ни треугольника с нулевым углом, ни треугольника с развернутым углом не существует. Но ничего не поделаешь уж если выбрали функцию min - , - , то надо анализировать эти два крайних случая.) Второй случай ничего хорошего нам не сулит: поскольку сумма углов треo угольника равна 180њ, то = 180 лишь o при = = 0 . o А в первом случае ( = 0 ) услоo вие + = 180 сводит задачу к нахождению максимума выражения o o o min , 180 - 2 , где 0 < 90 . Очевидно, максимум достигается при o = 60 , так что на роль самого неравнобедренного треугольника претендуo o ет треугольник с углами 0 , 60 o и 120 (рис.11).

b

g

какое из чисел , - , 180 o - - 2 минимально. Для этого воспользуемся чем-то вроде 'метода интервалов' посмотрим, где эти величины равны, т.е. нарисуем прямые, заданные уравo нениями = - , - = 180 - o - - 2 и = 180 - - 2 (рис. 13).

90 L M

= 2 K

b

g

= 60

O
. 13

60

+ = 90 90

180

e

j

. 11

b

g

= 180 - 2

то ничего интересного не увидим максимум не достигается, поскольку o точка = 45 не входит в рассматриваемый интервал. А вот если рассмотреть o o max min , - , 90 - , 90 - ,
45 < < 60
o

Ответ получен? Нет, есть еще несколько претендентов! Давайте потребуем, чтобы угол не был слишком маленьким, точнее говоря, вместо min - , - постараемся сделать как можно большей величину

b

g

= min , - , - .

b

g

= 180o -

то получим ответ: максимум достигаo ется при = 54 , = 72 o (рис.10). (Проверьте!)

FH

o

IK

e

j

Чтобы избавиться от третьей переo менной, заменим на 180 - - . Очевидно,
= min , - , 180 - - 2 ,

2

e

o

j


Обозначим величины углов буквами , , . Пусть для определенности

условие примет вид + 2 o 180 . На координатной плоскости множество точек ; , удовлетворяющих последнему неравенству и неравенствам 0 < , изображается в виде треугольника OKL (рис.12). Чтобы исследовать величину , сначала выясним, для каких точек ;

Они делят треугольник OKL на треугольники OLM, OMK и KLM. Как нетрудно сообразить (проанализировав неравенства или произвольно выбрав в каждом из этих треугольников по точке), в треугольнике OLM из интересующих нас трех чисел , - , 180 o - - 2 самым маленьким является . В треугольнике OMK таковым является - , а в KLM, o разумеется, это 180 - - 2 . Теперь легко понять, что максимальное значение принимает в точке o o M 30 ; 60 . На роль 'самого неравнобедренного' треугольника претендует (как помните, тоже самый произвольный) прямоугольный треугольник! Хорошо ли это? В некоторых случаях, наверное, хорошо. Но чаще всего плохо! Поэтому постараемся, чтобы треугольник не был прямоугольным. Неравнобедренный непрямоугольный треугольник. Поскольку всегда не превосходит 60њ и, тем самым, не менее чем на 30њ отличается от 90њ, то за 'непрямоугольность' отве-

e

j

bg

чают величины 90 - и 90 - = = + - 90 . Значит, нам нужно максимизировать величину
o

o

o

= min , - , 180 - - 2,
90 - , + - 90
o o

e

o

bg

j

,