Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/kv0602akulich.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:45 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: астрономическая неделя

'КВАНТ'

ДЛЯ

'МЛАДШИХ'

ШКОЛЬНИКОВ

Kонкурс имени А.П.Савина

27

'Математика 68'

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 68 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант' (с пометкой 'Конкурс 'Математика 68'). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон.

11. Робинзон поручил Пятнице запастись бананами, кокосами, ананасами и дурианами. Пятница решил каждый принесенный банан отмечать палочкой, кокос палочкой и кружочком, ананас двумя кружочками. Может ли Пятница отмечать дуриан какой-нибудь последовательностью из палочек и кружочков, чтобы по его записи (Пятница пишет подряд без пробелов) Робинзон всегда мог однозначно установить, сколько каких плодов было запасено? А.Малеев 12. Сколько существует трехзначных чисел, представимых в виде суммы abc + ab + a ? А.Спивак 13. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике ABCD имеются по крайней мере две параллельные стороны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников ABD и BCD равно произведению площадей треугольников АВС и ACD. А.Джумадильдаев

14. Докажите, что а) среди чисел вида 5m - 5n , где m и n различные натуральные числа, m > n, имеется сколь угодно много квадратов; б) среди чисел вида 7 m + 7 n нет ни одного квадрата, зато имеется сколь угодно много кубов. А.Зайчик 15. Имеется 10 столбиков, содержащих 61, 62, 63, , 70 монет. Двое игроков ходят по очереди, снимая монеты со столбиков. За один ход можно забирать монеты из одного или нескольких столбиков (даже со всех сразу), но количество снятых с каждого столбика монет не может превышать n , где n количество монет в этом столбике. Победителем считается тот, кто возьмет последнюю монету. Кто из игроков может обеспечить себе победу при любой игре соперника? И.Акулич

Великомученик Петя
И.АКУЛИЧ
a +b вестно, их среднее арифметическое это 2 , а среднее геометрическое число ab . Чуть меньшей известностью пользуется среднее гармоническое: 2 2ab . Очевидно, что = 11 a +b + ab a + b 2ab = ab , 2 a +b т.е. произведение среднего арифметического и среднего гармонического равно произведению самих чисел а и b. В 1999 году А.Канель понял, что из этого можно

Р

АССМОТРИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА а И Ь. КАК ИЗ-

'слепить' неплохую задачу для олимпиады, примерно такую: Пусть a0 = 1 , b0 = 2 и для любого натурального n числа an и bn соответственно, среднее арифметическое и среднее гармоническое чисел an -1 и bn -1 . Найдите произведение a1999b1999 . Решение состоит в том, что произведение an bn одно и то же для всех n, поэтому a1999b1999 = a0b0 = 2 . Но автор, видимо, решил, что условие выглядит скучновато, и 'оживил' его: На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифмети-


28

КВАНT 2002/?6

ческое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, которые Петя напишет вечером 1999-го дня. В таком виде задачу предложили девятиклассникам на LXII Московской олимпиаде. Вроде бы задача отличается от первоначальной лишь появлением лишней сюжетной линии, а по сути эквивалентна первоначальной. Но давайте проследим за действиями старшего научного сотрудника. В первый день он напишет на 1+ 2 3 2 1 2 4 = = . Во второй день доске числа и 2 2 1+ 2 3 34 34 2 + 24 17 числа 2 3 = и 3 2 43 = 17 . Впрочем, что это мы 2 12 + 23 среднее гармоническое вычисляем? Вы же помните, что произведение среднего арифметического и среднего гармонического равно 2. Так что дальше можно вычислять только среднее арифметическое. На третий день (проверьте, если сомневаетесь!) на доске ока577 816 665857 жутся числа и , на четвертый и 408 577 470832 941664 886731088897 1254027132096 , на пятый и , 665857 627013566048 886731088897 на шестой 1572584048032918633353217 1111984844349868137938112 и 2223969688699736275876224 . 1572584048032918633353217 Дальше цифр будет еще больше ... Петя, конечно, может воспользоваться компьютером старший научный сотрудник все-таки. Но интересно, сможет ли Петя выписывать числа, т.е. хватит ли ему места на доске? И всегда ли сможет компьютер подсчитать эти числа? Уж больно быстро они возрастают... Читатель, наверное, уже предчувствует ответ. Но
7 Квант ? 5

убедиться не мешает. Запишем число a кратимой дроби: p an = n . qn Тогда 2q bn = n , pn
a
n +1

n

в виде несо-

pn 2q n + 2 an + bn qn pn p 2 + 2q n , = = =n 2 2 2 pn qn bn
+1

=

a

2
n +1

=

4 pn qn 2 2 pn + 2q n .

2 2 2 Таким образом, pn + 1 = pn + 2qn > pn . Оценка, заметьте, довольно грубая (по индукции можно доказать 1 , что 2 2 2 pn - 2q n = 1 , так что на самом деле pn + 1 = 2pn - 1 ). Мы уже знаем, что p6 > 1024 . Значит, p7 > 1048 , p8 > 1096 , ...

... , p

1999

> 10242

1993

. Поскольку 210 = 1024 > 1000 , то
99

24 21993 = 24 23 210199 > 192 1000199 > 105

.

Значит, числитель дроби, которую Петя должен написать на доске на 1999-й день, будет содержать более 10599 цифр. Сказать, что это число очень большое, значит ничего не сказать. Оно несусветно большое. Даже если Петя будет выписывать миллиард цифр в секунду, то ему потребуется более 10590 секунд. Поскольку 60 60 24 366 = 31622400 < 40000000 , то Пете понадобится более 10582 лет для того, чтобы выписать один только этот числитель...
1 Об этом и многом другом можно прочитать в статье В.Сендерова и А.Спивака 'Уравнения Пелля' в 'Кванте' ?3.