Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/31.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:26 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:41 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

31

Чаша весов колеблется...
А.СТАСЕНКО
Вот, я знаю вас, владыки справедливости,.. я не творил дурного,.. я не прибавлял к мере веса, я не давил на гирю, я не плутовал с отвесом Я чист. Я чист. Я чист. Древнеегипетское заклинание (из 'Книги мертвых', гл. 125)

о друга, потерь энергии в деформируемой пружине В результате, если подождать достаточно долго, то при отсутствии сухого трения истинное показание весов должно быть равно (рис.1,в)

sист =

Mg G ? . k k

(1)

вечество отмерять и взвешивать. Изобретено множество систем весов, представленных в современных музеях. Разработаны теории точного взвешивания, из которых в школьные программы вошла в основном статика весов. 1 В реальности весы работают в динамическом режиме, в чем можно убедиться в любом магазине. И это не случайно. А почему об этом и пойдет речь. 'Сконструируем' самые простые весы (рис.1,а): пружина с направляющим штоком, на верхнем конце которого укреплена чашка для товара. Если масса чашки m, то пружина сразу укоротится на mg x0 = , k где k жесткость пружины. Это положение и является стартовым для взвешивания товара (рис.1,б). Поэтому введем понятие отклонения от положения равновесия:
s = x - x0 .

Т

ЫСЯЧИ ЛЕТ НУЖДЫ ТОРГОВЛИ ЗАСТАВЛЯЛИ ЧЕЛО-

(Заметим, что под термином 'вес груза G' здесь мы понимаем показание весов.) Но кто же будет ждать 'достаточно долго'? И Продавцу некогда, и Очередь соберется и взволнуется не в пользу Покупателя. В дальнейшем для упрощения теории предположим, что диссипация механической энергии (т.е. ее превращение в тепловую) связана только с Fтр сухим трением. В идеальном случае сила сухого трения не зависит от величины относительной скорости тру I щихся тел, а зависит только от направления движения, т.е. от знака скорости. Рисунок 2 иллюстрирует этот факт: знак силы трения про- Рис. 2 тивоположен знаку скорости, т.е. s ? , что вполне разумно в противном случае трение ускоряло бы тела. В частности, в начале движения, когда чашка и груз идут вниз ( s ? > 0 ), сила трения направлена вверх (т.е. в наших координатах она отрицательна). В этих предположениях уравнение движения весов будет иметь вид



m + M s ?? = - ks + Mg m Fтр .

(2)

(Обратим внимание, что на самом деле тут два уравнения, каждое из которых соответствует определенному знаку скорости s ? Ь 0 .) Это выражение можно привести к более привычному виду

s ?? + 2 s =
где
=

Mg m Fтр , m+M

(3)

Груз, даже спокойно положенный на чашку весов (без начальной скорости), начнет двигаться вниз и вызовет колебания, которые постепенно затухнут из-за сопротивления воздуха, трения твердых частей конструкции весов друг

k m+M

(4)

a x m

б M h x0

в t+ t

sист s+ s smax s

круговая частота собственных колебаний. Но почему в уравнении (2) не учтен вес чашки mg? А потому, что оно записано для отклонения s от положения равновесия. Поясним подробнее. Вернемся к координате х (см. рис.1,а). В этом случае уравнение движения чашки с грузом имеет вид



m + M x?? = -kx + m + M g m Fтр .

C

s Сухое трение
Рис. 1

Здесь вес чашки присутствует, что вполне понятно. Но, подставляя сюда x = s + x0 и учитывая, что x?? = s ?? (постоянная величина x0 исчезает при дифференцировании по времени), получаем



m + M s ?? = - ks - kx0 + mg + Mg m Fтр .

По определению величины x0 , подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются, и получается уравнение (2). Из уравнения (2) видно, что существуют два значения s, (Окончание см. на с. 34)

1 О статике простейших рычажных равноплечих весов можно прочитать, например, в статье С.Варламова в 'Кванте' ?1 за 2003 год. (Прим. ред.)