Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2011/056/Zhukov2.pdf Дата изменения: Thu Jan 17 15:53:10 2013 Дата индексирования: Sun Feb 3 06:47:34 2013 Кодировка: Windows-1251

'КВАНТ'

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

прохождении ее через меридиан острова, когда Южный Крест предстал перед наблюдателем как бы вверх ногами (рис.2). Этот угол оказался равным 10 , что дает значение высоты южного полюса мира, а следовательно, и широты острова: 10+ + 27 = 37 . Мистер Браун, но ведь Сайрус Смит производил свои наРис. 2 блюдения на высоком плато. Неужели поправка на высоту этого плато оказалась несущественной? Сайрус Смит для своих наблюдений избрал плато Кругозора лишь потому, что на близлежащем и доступном берегу моря мыс Коготь закрывал южную сторону горизонта. Жюль Верн довольно подробно описал, как инженеру удалось с помощью теоремы о подобных треугольниках оценить высоту плато Кругозора я на этом останавливаться не буду. Напомню лишь, что высота Н плато оказалась равной 100 метрам. У подножия плато горизонт другой, чем на самом плато, поэтому следует рассмотреть угловую поправку , учитывающую это отличие (рис.3). Опять же воспользовавшись свойством углов со взаимно перпендикулярными сторонами, находим, что эта поправка равна углу между двумя земными радиусами, проведенными в точку касания с Землей горизонта плато и в точку подножия плато. Из прямоугольного треугольника с известной гипотенузой R + Н и катетом R находим R косинус угла между ними: cos = . Поскольку R+H величина среднего радиуса Земли R = 6371004 м, а высота плато Н = 100 м, то отсюда ? 0, 32 поправка, действительно, несущественная. Но, мистер Браун, как же Сайрус Смит мог получить такое ничтожно малое значение угла , ведь у него же не было специальных таблиц? Здесь нет ничего удивительного. Таблицы ведь тоже появились не сами по себе в свое время их кто-

Рис. 3

то составлял, а для этого проводил необходимые расчеты. Для небольших значений произвольного угла х, выраженного в радианах, существует приближенная зависимость cos x ? 1 x2 . В нашем случае имеем 2 2H 2 R ? 0, 0056028 ради? 1, откуда ? R+H 2 R+H

ана, что составляет 0, 32 . Как видите, при надлежащих знаниях и умениях можно выпутаться из многих затруднительных положений. Я хочу еще обратить ваше внимание на то, что Сайрусу Смиту в его изысканиях ассистировали геометрия, астрономия, арифметика составные части древней науки математики, как ее представляли последователи древнегреческого ученого Пифагора (VI в. до н.э.), включая в нее еще и музыку. Все эти четыре раздела пифагорейцы объединяли одним словом математика.
Литература 1. Жюль Верн. Таинственный остров. М.: Детская литература, 1980. 2. Зигель Ф.Ю. Сокровища звездного неба. Путеводитель по звездам и Луне. М.: Наука, 1986. 3. Михайлов А.А. Земля и ее вращение. М.: Наука, 1984. (Библиотечка 'Квант', вып.35.) 4. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. М.: Просвещение, 1993.

Задача для мистера Холмса
А.ЖУКОВ

О

в воздухе бумажкой, испещренной многочисленными знаками. Я всегда удивлялся вашей необыкноОпубликовано в 'Кванте' ?2 за 1999 год.

Х, МИСТЕР ХОЛМС, ДОКТОР ВАТСОН ПОТРЯС

венной способности находить решения в самых, казалось бы, безвыходных ситуациях, но боюсь, что в данном случае все ваше волшебное искусство окажется бессильным. Мой дорогой Ватсон, Холмс не спеша отвел в


сторону трубку и выпустил сизое колечко дыма, право же, не стоит впадать в излишнее возбуждение от пустякового ребуса, в котором вместо букв следует подобрать всего лишь парочку-другую цифр из ограниченного набора. Жизнь нам преподносит гораздо более содержательные загадки, достойные сопереживания и беспокойства истинного джентльмена. Но, Холмс, здесь встречаются не только буквы, но и звездочки! Впрочем, вы опять меня поражаете как же вы догадались, что речь идет именно о числовом ребусе? Это элементарно, Ватсон. Вы же целый час сосредоточенно читаете журнал 'Квант', на странице которого помещен предмет вашего пристального внимания, а именно: расшифровать пример на умножение
? *,* * * * * OX AX И что же в этом примере прямо скажем, для младших школьников вызвало у вас столь непреодолимые трудности? Видите ли, Холмс, в ребусе на месте звездочек могут стоять произвольные ненулевые цифры. Мне ли вам объяснять, что в данном случае мы сталкиваемся с задачей огромного числового перебора? Похоже, здесь нужно рассмотреть в общей сложности где-то около полумиллиарда вариантов. Бедные детишки! Хм, Ватсон, кто много перебирает, тот мало думает. Холмс окутал себя еще одной порцией табачного дыма. Совсем нет необходимости рассматривать все мыслимые варианты. Например, со всей определенностью можно утверждать, что двухзначное число ОХ (буква О кодирует цифру десятков, а буква X цифру единиц) кратно числу 32. Холмс, вы хотите сказать, что число ОХ может принимать всего лишь одно из трех значений: 32, 64 и 96? Простите, но я не пойму, на чем основана столь смелая догадка. Это не догадка, а непреложный математический факт. Запишем первый множитель в виде a + 10 -5 B , где а ненулевая цифра, а В целое пятизначное число. Из условия задачи следует, что среди делителей В не могут одновременно присутствовать цифры 2 и 5. Несложно догадаться, что число В должно быть нечетным, тогда число ОХ должно делиться на 25 = 32 . В таком случае число В должно быть кратно 55 = 3125 . Браво, Ватсон. Ваше утверждение я бы сформулировал несколько точнее: B = 3125 k , где k некий нечетный множитель. Кстати, что следует из того, что В число пятизначное? Это условие накладывает дополнительные ограничения на множитель k. В частности, поскольку 3125 3 < 104 и 3125 4 > 104 , то k > 4. Теперь вам должно быть понятно, почему ненулевая цифра а в первом множителе меньше тройки. А что, это действительно так? Посудите сами, Ватсон:

При k > 4 последнее выражение может быть двухзначным числом лишь когда a = 1 или а = 2. Ох, это великолепно, Холмс! Я думаю, что с дальнейшим перебором уже несложно справиться в течение одного вечера. Если только вам нечем заняться, Ватсон. Вечернее время все же лучше посвящать более содержательным занятиям. Чем решать головоломки? Чем осуществлять бездумный перебор. Холмс, неужели вам еще что-то известно о числах этого ребуса? Да. Например, число ОХ равно в точности 64. Хм, вполне может быть, но, по правде говоря, я не представляю, на основании чего сделан такой вывод. Что вы можете сказать о четности числа АХ? Сейчас подумаю. Оно заканчивается цифрой X, которая может быть либо 2, либо 4, либо 6 (как последняя цифра числа ОХ). Следовательно, АХ число четное. А теперь заметьте, что произведение OX a + 10 -5 B в случае ОХ = 32 равно 32а + k, а в случае ОХ = 96 равно 96 + 3k. И в том, и в другом случае при нечетном k результат получается... Нечетным! Следовательно, ни один из этих случаев не подходит. Ох, Холмс! Может быть, вы теперь скажете, чему равна цифра а? Попробую:

(

)

OX a + 10

(

-5

B = 64a + 2k .

)

Ну конечно же, а не может равняться 2, поскольку иначе в ответе получилось бы трехзначное число. Итак, цифра а может быть равной только единице. Ну, и какие же варианты вам теперь осталось рассмотреть? Обратите внимание на то, что число АХ должно быть не меньше, чем число ОХ. АХ может быть равно либо 74, либо 84, либо 94. Поскольку АХ = 64 + 2k, то в каждом из этих трех случаев соответственно получаем k = 5, либо k = 10 (невозможно, так как k должно быть нечетным), либо k = 15. Итак, всего возможно два решения: 1,15625 64 = 74 и 1, 46875 64 = 94 . Ах, Холмс! Я не могу удержаться, чтобы не употребить слова ребуса для оценки вашего метода. Это действительно великолепно! Благодарю вас, Ватсон. А я, с вашего позволения, не могу удержаться, чтобы не употребить освободившееся вечернее время для игры на любимом музыкальном инструменте. Будьте добры, подайте мне, пожалуйста, футляр со скрипкой.

OX a + 10

(

-5

B 25 a + 10

)

(

-5

55 k = 32a + k .

)