Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.cosmos.ru/seminar/2011101821/presentation/Pospelov.pdf Дата изменения: Mon Nov 7 21:02:36 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 07:05:44 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Cеминар ?Вычислительная физика: алгоритмы, методы и результаты?, Таруса2011

Численные методы изучения неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

кафедра теоретической физики Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

1 / 25


Введение

Влияние дефектов структуры на поведение систем при фазовых переходах второго рода; Неравновесная коротко-временная критическая динамика; Критическое поведение сильно неупорядоченных систем.

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

2 / 25


Виды дефектов

H=

ddx

1 2

p i

( i )2 ) + 0 2 + V(x) i =0 V (x )V (y )

2 i

+

g0 4!

(

p i

2 ) i

2

V (x )

u(x - y)

однородные системы

точечные дефекты

u (x - y) = 0

u (x - y) = v d (x - y), v V 2 cimp

изотропная дальнодействующая корреляция

u (x - y) |x - y|

-a

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

3 / 25


Неупорядоченная модель Изинга
Трехмерная кубическая решетка Узел занят магнитным или немагнитным атомом Спин может принимать только два положения В гамильтониане учитываются только ближайшие соседи спина Гамильтониан неупорядоченной модели Изинга есть:

H = -J
< i ,j >

ai aj Si Sj

(1)

ai

задаются функцией распределения:

P (ai ) = (1 - p ) (ai ) + p (1 - ai )
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 4 / 25


Дефекты структуры

Расплавленные

и

вмороженные
1

примеси
-

Расплавленные примеси:

x = x (1 -

pure

)-1 , C (T ) (T - Tc ) pure > 0,
pure

Критерий Хариса:

новое критическое поведение2

Теоретико-полевое описание:

= 0.109(4)3

Порог спиновой перколяции для кубической решетки

pc 0.69
pc < p < 1: слабо неупорядоченные системы p < pc : сильно неупорядоченные системы

1 2 3

Fisher, ME Phys. Rev. 176 257 (1968) Harris A B J. Phys. C: Solid State Phys. 7 1671 (1974) Р.Фольк, Ю.Головач, Т.Яворский, УФН, т.173, с.175(2003)
5 / 25

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Метод коротковременной динамики(МКД)

Время релаксации:

|T - Tc |-

z

Основой МКД является существование универсальных временных зависимостей термодинамических функций в том временном промежутке, когда система не достигла состояния равновесия На основе ренорм-группового анализа было показано,4 что для k-го момента намагниченности реализуется следующая скейлинговая форма:

M

(k )

(t , , L, m0 ) = b

-

k

M

(k )

(b

-z

t, b

1/

, b

-1

L, b x0 m0 )

(2)

где b - масштабный фактор, намагниченность,

m

0 - приведенная

=

T -T Tc

c

- приведенная температура

4

Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann, Z. Phys. B., vol. 73, p. 539, (1989)
6 / 25

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Метод коротковременной динамики
Начальное состояние системы: Полагая виде:

m0 = 1
0

m0 = 1

и

m

1

b=t

1/z и

m0 = 1,

получаем намагниченность(k=1) в

M (t , ) = t

- / z

M (1, t

1/ z

) t

- / z

(1 + At

1/ z

+ O ( 2 ))

В критической точке

0

:
- / z

M (t ) t

(3)

Логарифмическая производная намагниченности

lnM

: (4)

lnM (t ) t
Кумулянт Биндера второго порядка

1/ z

U2 = M

(2)

/M 2 - 1

: (5)

U2 (t ) t

d /z

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

7 / 25


Метод коротковременной динамики
При

m

0

1

0

для намагниченности имеет место временная

зависимость:

M (t ) t


5

(6)
m0 = 0.03

Эволюция намагниченности в МКД на примере системы с p=0.8 ,

5

P. Prudnikov, V. Prudnikov, E. Posp elov, et. al, Phys. Rev. E (2010)
8 / 25

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Метод коротковременной динамики

m

0

1

Второй момент намагниченности и автокорреляционная функция:

M
Показатели индексами:

(2)

(t ) t c2 ,

A(t ) t

-c

a

(7)

c2

и

ca

связаны с известными критическими

c2 =

d-

2

1 , z

ca =

d - z

(8)

В работе6 было предложено рассматривать поведение кумулянта:

F2 (t , L) =
6

M (2) (t , L)|m0 =0 t (d -2 / ) z -2 / z t M (t , L)|m0 =1 t

1

d /z

(9)

R. da Silva, N. A. Alves, J. R. Drugowich de Felicio (2002)
9 / 25

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Детали моделирования

Линейный размер решетки:

L = 128,

концентрация спинов

p = 0.5, 0.6;
Единица времени - шаг Монте-Карло на спин(mcs/s) переворот всех спинов системы; k-й момент намагниченности и автокорреляционная функция:

M

(k )

(t ) = 1 pL3

1 pL3
pL
3

pL

3

(k )

Si
i =1

,

A(t ) =

Si (t )Si (0)
i =1

.

(10)

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

10 / 25


Детали моделирования

В качестве реализации метода Монте-Карло используется алгоритм Метрополиса Критическая температура7 (в единицах Cлабо неупорядоченные системы: p=0.95 p=0.80

J /k

):

Tc = 4.26267(4) Tc = 3.49948(18)

Сильно неупорядоченные системы: p=0.60 p=0.50

Tc = 2.42413(9) Tc = 1.84509(6)

7

В.В.Прудников, П.В.Прудников, А.Н.Вакилов, А.С.Криницин, ЖЭТФ, т.132, вып.2 (2007)
11 / 25

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Результаты моделирования.

m0 = 1
- / z

M (t ) t
1 0.8 0.6 0.4

0.2

1

10

100

1000

Рис. 1: Временная зависимость намагниченности в двойном логарифмическом масштабе
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 12 / 25


Результаты моделирования.

m0 = 1
d /z

U2 (t ) t
0,01 1E-3 1E-4 1E-5 1E-6 1E-7 1 10

100

1000

Рис. 2: Временная зависимость кумулянта Биндера втрого порядка в двойном логарифмическом масштабе
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 13 / 25


Результаты моделирования.

m0 = 1

Таблица 1: Значения критических показателей, полученных аппроксимацией временных зависимостей.
показатель p=0.5 0.355(5) 0.757(8) 3.27(3) 0.469(4) p=0.6 0.354(3) 0.729(4) 2.82(1) 0.486(2)

z /

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

14 / 25


Поправки к скейлингу

X (t ) = t



A(p )t + B (p )t

- /z

(11) на все длина

исследуемый временной интервал возможные интервалы с интервала на каждом интервале значение пределах для всех

[t0 , t1 ] разбивался t = 50, . . . , (t1 - t0 ), t /z
варьировалось в

[0.04, 0.3] /z

с шагом 0.5

на каждом интервале проводилась

аппроксимация полученных данных выражением (11) выбирались такие интервалы, на которых достигался минимум по



для конкретного

/z /z
15 / 25

производилось усреднение выбранных показателей и расчет погрешностей аппроксимации для каждого

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю


Поправки к скейлингу

(a)

(b)

Рис. 3: Зависимость погрешности аппроксимации для индекса . (а) - /z = 0.1, интервал - [800;2100]; (b) - погрешность по /z

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

16 / 25


Результаты моделирования.

m0 = 1

Таблица 2: Значения критических показателей, полученных при проведении процедуры поправок к скейлингу
показатель p=0.5 0.314(41) 0.711(40) 2.655(34) 0.442(25) p=0.6 0.349(40) 0.711(31) 2.520(95) 0.490(24)

z /

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

17 / 25


Результаты моделирования.

m0


1

M (t ) t

Рис. 4: Временная зависимость намагниченности для начальных состояний с m0 = 0.0005, 0.001, 0.005 в двойном логарифмическом масштабе. p = 0.6
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 18 / 25


Результаты моделирования.

m0
c
2

1

M

(2)

(t ) t

Рис. 5: Временная зависимость второго момента намагниченности в двойном логарифмическом масштабе. p = 0.6
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 19 / 25


Результаты моделирования.

m0
-c
a

1

A(t ) t

Рис. 6: Временная зависимость автокрреляционной функции в двойном логарифмическом масштабе. p = 0.6
Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю 20 / 25


Результаты моделирования.

m0

1

Рис. 7: Зависимость показателя от начальной намагниченности m0 . (m0 0) = 0.194, p=0.6

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

21 / 25


Результаты моделирования.

Таблица 3: Итоговые значения критических показателей
показатель p=0.5 0.192(26) 2.740(90) 2.647(48) 2.655(34) 0.430(38) 0.442(25) 0.314(41) 0.711(40) p=0.6 0.194(41) 2.760(110) 2.627(41) 2.520(95) 0.479(76) 0.490(24) 0.349(38) 0.712(31)

z z (F2 ) z (m0 = 1) / / (m0 = 1) (m0 = 1) (m0 = 1)

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

22 / 25


Результаты

Таблица 4: Сравнение с другими работами
Источник Данная работа G. Parisi et. al, 1999 А.К. Муртазаев, УФН, 2006 Heuer. J. Phys. A., 1993 Shehr G., J. of Phys., 2006

p
0.5-0.6



/





z

0.193(41) 0.459(40) 0.331(41) 0.711(40) 2.657(34) 2.62(7)

сильно неупорядоченные системы 0.4-0.6 0.6 0.481 0.349(9) 0.6 0.451(18) 0.49-0.8 0.10(2) слабо неупорядоченные системы Prudnikov V. V. et. al, Phys. Rev. E, 2010 0.8 0.127(16) 0.519(14) Pelissetto, Vicari, 2000 (FTM) 0.515(15) 0.349(5) Prudnikov et. al, 2006 (FTM) Rosov, et.al., FepZn1-pF2, 1988 (EXP) 0.9 Rosov, et.al., FepZn1-pF2, 1992 (EXP) 0.9 0.70(2) однородные системы Zheng B., J. Phys. A, 1999 1 0.108(2) 0.517(2)

0.725(9)

0.685(10)

2.188(23) 2.1792(13) 2.18(10) 2.042(6)

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

23 / 25


Заключение

Проведено исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной модели Изинга с концентрациями

p = 0.5

и

0.6

Показано существование двух независимых классов универсальности, соответствующих слабо и сильно неупрядоченным системам

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

24 / 25


Приложение. Алгоритм Метрополиса
1

Формируем начальную конфигурацию Случайным образом выбираем спин и пробуем его перевернуть Вычисляем изменение энергии Если

2

3

E

4

5

E < 0, то принимается новая конфигурация Если E > 0, вычисляем вероятность перехода W = exp (-E /kT )
Генерируем случайное число r из интервала (0;1) Если r < W , принимаем новую конфигурацию, в противном случаи оствляем старую

6

Определяем значения требуемых физических величин Повторяем 2-6 для получения достаточного количества конфигураций Производим статистическое усреднение

7

8

Прудников В.В., Прудников П.В., Поспелов Е.А., Чабров А.В, Питеримов А.Ю

25 / 25