Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/Program2/Mogil'nykh_Summary.pdf Дата изменения: Tue Oct 15 21:04:28 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:35:37 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: солнцестояние

Краткое изложение заявки Алгебраическая иерархия транзитивных кодов
Заявитель: Могильных Иван Юрьевич

Данный проект направлен на исследование иерархии кодов исправляющих ошибки в канале связи с шумами, а именно транзитивных кодов с параметрами кодов Хэмминга, Препараты и Кердока. С кодом в метрическом пространстве Хэмминга, где свяжем группу автоморфизмов стабилизатор кода как множества в группе изометрий пространства. Отдельно можно выделить транзитивные коды группа автоморфизмов которых содержит подгруппу действующую транзитивно на кодовых словах. Если подгруппа H является регулярной (то есть ее порядок совпадает с мощностью кода), то такой код назовем кодом с регулярным представлением группой H (в англоязычной литературе такой код называется propelinear). Отметим что для заданного кода может существовать большое количество его регулярных представлений, в том числе неизоморфных. Исключительностью понятия кода с регулярным представлением H является то, что оно позволяет определить на множестве элементов такого кода естественным образом групповую операцию изоморфную H , отличную от наследуемой основной операции пространства Хэмминга. Таким образом коды с регулярными представлениями обобщают все ранее известных групповые способы задания кодов, исправляющих ошибки, такие как коды линейные, Z4-линейные (первый Z 4-линейный код Кердока построен А.А.Нечаевым) и Z2Z4-линейных кодов. В свою очередь, регулярное представление некоторого кода группой H с нормальной подгруппой, назначенной кодовым словам из максимального линейного подпространства кода C в пространстве Хэмминга назовем нормализованным, а сам код имеющим нормализованное регулярное представление. Главной задачей данного проекта является выяснение иерархии вложимости определенных выше понятий (транзитивных, кодов с регулярным и нормализованным регулярным представлениями) в классах кодов с хорошими характеристиками (например, оптимальных кодов, таких как совершенные, Препараты и Кердока). В 2012 году заявителем проекта было показано, что оптимальный код Беста длины 10 является транзитивным, не имеющим регулярного представления, для класса совершенных кодов такой пример также был получен совсем недавно в сентябре 2013 года для первой нетривиальной длины n = 15. В рамках проекта планируется получение обобщения данного результата в классе совершенных кодов для любой фиксированной допустимой длины n и других классов оптимальных кодов. С другой стороны, все известные на сегодняшний день конструкции кодов с регулярным представлением допускают нормализованное регулярное представление. Более того, известно, что существуют коды, которые допускают лишь нормализованное регулярное представление. В данном проекте предлагается показать существование бесконечной серии кодов с регулярным ненормализованным представлением. В ходе исследования предлагается прояснить скрытую алгебро-комбинаторную сторону отношений вложимости введенных понятий, построение новых транзитивных кодов и кодов с регулярными и нормализованным регулярным представлениями, их инвариантов и свойств. Данные исследования представляют интерес с теоретической точки зрения алгеброкомбинаторной теории кодирования, а также интересны с точки зрения криптографии, поскольку большое количество регулярных неизоморфных представлений даже одного кода могут найти применение в асимметричной криптографии, а именно в аналогах криптосистем МакЭлиса и Нидеррайтера, использующих коды исправляющие ошибки.

1