Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2014/reports/Borodin_15.pdf Дата изменения: Sun Dec 27 15:34:10 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 12:14:27 2016 Кодировка: Windows-1251

Отчет за 2015 г. Бородин Петр Анатольевич.

Полученные результаты

1.

Пусть

компакты

K

,

E

+

,

E

-

на

комплексной

плоскости

попарно

пересекаются, компакт

K

не разбивает плоскость, а дополнение к компакту

E

не +

содержит ограниченную компоненту связности, внутри которой есть хотя бы одна - + - точка E . Доказано, что разности r - r наипростейших дробей (комплексных n + + дробей вида лежат в E и полюсы k=1 1/(z - ak ), ak C), где полюсы r - - r лежат в E , всюду плотны в пространстве AC (K ) функций, непрерывных на

K

и голоморфных внутри на

K

.

Приближение указанными разностями в создаваемым одинаковыми

AC (K )
и на

имеет естественную физическую интерпретацию: произвольное электростатическое поле

K

приближается по

полем,

электронами помещаемыми

противоположными

одинаковыми позитронами, - + разнесенные обкладки конденсатора E и E . 2. Доказано, что если плоские компакты плоскость и лежит в объединении

заряду

K

и

E

не пересекаются,

K

не разбивает

E\E

ограниченных компонент дополнения к

E

,

то наипростейшие дроби с полюсами из

E

плотны в пространстве

AC (K )

.

Это в

некотором смысле окончательный результат: ранее автором было доказано, что если

K \E
3.

содержит бесконечно много точек, то наипростейшие дроби с полюсами на

E

не плотны в

AC (K ). a
и

E Rn (n 2) и для любого > 0 в E найдутся такие точки x0 = a, x2 , . . . , xp = b, что x1 - x0 n + . . . xp - xp-1 n < . Доказано, что показатель n в этом утверждении уменьшить нельзя. Невозможность выбрать во множестве E указанную цепочку точек с x1 - x0 + . . . xp - xp-1 < для некоторого (1, n) оказалось эквивалентной существованию непостоянной функции f : E R из класса Lip (E ). n Для каждого такого в R построена такая кривая E () хаусдорфовой размерности и такая непостоянная функция f : E R, что f Lip (E ()). Таким образом, в терминах этих показателей можно измерять качество связности множества E .
Доказано, что для любых двух точек

b

связного множества

Опубликованные работы

1. 2.

Количественные выражения связности множеств в

Rn

// Матем.

заметки.

2015. Т. 98, вып. 5. С. 643650 (совместно с О.Н. Косухиным). Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы, I I // Матем. сборник. 2016. Т. 207 (принято к печати).
Участие в конференциях

1. 2.

Воронежская зимняя математическая школа Современные методы теории Конференция фонда Дмитрия Зимина "Династия" "Встреча поколений", г.

функций и смежные проблемы, г. Воронеж, 27 января 2 февраля 2015 г. Москва, 911 июня 2015 г. 3. XI I международная Казанская летняя школа-конференция Теория функций, ее приложения и смежные вопросы, г. Казань, 27 июня 4 июля 2015 г. 4. International conference Harmonic Analysis and Approximations, VI, г. Цахкадзор, Армения, 12-18 сентября 2015 г.

1


Педагогическая деятельность

1.

Чтение лекций по курсам Теория функций комплексного переменного и и ведение семинаров по курсам Теория

Геометрическая теория приближений

функций комплексного переменного, Функциональный анализ и Действительный анализ на мехмате МГУ имени М.В.Ломоносова. 2. 3. 4. Руководство семинаром Геометрическая теория приближений, Участие в работе методической комиссии Московской научное руководство 2 аспирантами и 2 студентами на мехмате. математической олимпиады. Уроки геометрии в 10 классе школы 54 г. Москвы. Работа в школе была отмечена в 2015 г. дипломом Всероссийского конкурса учителей фонда Династия в номинации Наставник будущих ученых.

2