=ax-cxy, 
= -by+dxy. |
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn-models3
Дата изменения: Unknown Дата индексирования: Sun Apr 10 23:41:17 2016 Кодировка: koi8-r |
Математическое образование: вчера, сегодня, завтра… |
||
3. Жесткие модели как путь к ошибочным предсказаниям
Важно, чтобы простейшая
модель была структурно
устойчивой, т. е. чтобы выводы
выдерживали малое изменение
параметров и функций, описывающих
модель. Описанная выше модель
обладает этим свойством
структурной устойчивости. Пример
модели, не обладающей этим
свойством, -- знаменитая модель
Лотка-Вольтерра борьбы за
существование (рис. 8),
=ax-cxy, = -by+dxy.  |
| Рис. 8. Эволюция популяции карасей и щук в модели Лотка-Вольтерра. |
Математический анализ этой (жесткой) модели показывает, что имеется стационарное состояние (A на рис. 8), всякое же другое начальное состояние (B) приводит к периодическому колебанию численности как карасей, так и щук, так что по прошествии некоторого времени система возвращается в состояние B.
При малом изменении модели
=ax-cxy+ef(x,y), = -by+dxy+eg(x,y), љ
e<<1,  |  |  |
| Рис. 9. Мягкая структурно устойчивая модель борьбы за существование. | ||
В случае 1 равновесное состояние A устойчиво. При любых других начальных условиях через большое время устанавливается именно оно.
В случае 2 система " идет в разнос". Стационарное состояние неустойчиво. Эволюция приводит то к резкому увеличению числа бандитов, то к их почти полному вымиранию (вследствие того, что они настолько ограбили трудящихся, что взять уже нечего). Такая система в конце концов попадает в область столь больших или столь малых значений x и y, что модель перестает быть применимой: происходит изменение законов эволюции, т. е. революция.
В случае 3 в системе с неустойчивым стационарным состоянием A устанавливается с течением времени периодический режим C (в котором, скажем, радикалы и консерваторы периодически сменяют друг друга). В отличие от исходной жесткой модели Лотка-Вольтерра, в этой модели установившийся периодический режим не зависит от начального условия. Первоначально незначительное отклонение от стационарного состояния A приводит не к малым колебаниям около A, как в модели Лотка-Вольтерра, а к колебаниям вполне определенной (и не зависящей от малости отклонения) амплитуды. Возможны и другие структурно устойчивые сценарии (например, с несколькими периодическими режимами).
Вывод: жесткую модель всегда надлежит исследовать на структурную устойчивость полученных при ее изучении результатов по отношению к малым изменениям модели (делающим ее мягкой).
В случае модели Лотка-Вольтерра для суждения о том, какой же из сценариев 1-3 (или иных возможных) реализуется в данной системе, совершенно необходима дополнительная информация о системе (о виде малых поправок f и g в нашей формуле). Математическая теория мягких моделей указывает, какую именно информацию для этого нужно иметь. Без этой информации жесткая модель может привести к качественно ошибочным предсказаниям. Доверять выводам, сделанным на основании жесткой модели, можно лишь тогда, когда они подтверждаются исследованием их структурной устойчивости.
|
|