Глава 19 |	Оглавление |	Глава 19. § 2

§ 1. Гомотетичные многоугольники

19.1.

Четырехугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что их точки пересечения медиан образуют параллелограмм.

19.2.

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K, а ее диагонали - в точке L. Докажите, что точки K, L, M и N, где M и N - середины оснований BC и AD, лежат на одной прямой.

19.3.

В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.

19.4.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P - произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что:

б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.

19.5.

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

19.6^*.

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что этот многоугольник описанный.

19.7^*.

Пусть R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R ? 2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.

19.8^*.

Пусть M - центр масс n-угольника A₁?A_n; M₁, ?, M_n - центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁, ?, A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁?A_n и M₁?M_n гомотетичны.

19.9^*.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник F содержит два непересекающихся многоугольника F₁ и F₂, подобных F с коэффициентом 1/2.

Глава 19 |	Оглавление |	Глава 19. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.