Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f03/grass5.ps Дата изменения: Mon Oct 27 12:01:47 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 12:48:11 2007 Кодировка: koi8-r

Семинар 5.
Упражнение 1. Привести пример такой кривой  1  G (N; 1),
для которой касательные к конечному числу точек лежат на грас-
сманиане G (N; 1).
Пусть семейство   G (N; 1) является quasiscroll'ом.
Упражнение 2. 1) Показать, что в этом случае dim < N 1.
2) Доказать, что если  неособый scroll, то dim  N 1
2 .
До сих пор не известно примеров quasiscroll'ов, для которых
dim > N 1
2 .
Задача 3. Найти все гладкие quasiscroll'ы на G (4; 1).
Упражнение 4. Показать, что диаметр (X) не меняется при
взаимно однозначной проекции (то есть при такой проекции, для
которой центр не пересекается с многообразием секущих). Выве-
сти отсюда решение упражнения 8 из семинара 2.
Задача 5. 1) Доказать, что грассманиан G (N; 1)  P ( N+1
2 ) 1
можно изоморфно спроектировать в P 4N 7 , но нельзя изоморфно
спроектировать ни в какое пространство меньшей размерности.
2) Найти наименьшую возможную размерность пространства,
в которое можно изоморфно спроектировать многообразие Сегре
P a P b  P ab+a+b .
Вернемся к рассмотрению кривой Веронезе v 3 (P 1 )  P 3 .
Задача 6. 1)  Для произвольной невырожденной кривой X  P 3
рассмотрим кривую e
X  P 3 , соответствующую множеству оску-
лирующих плоскостей к X. Доказать, что e e
X = X.
2) Показать, что
^
v 3 (P 1 ) тоже, в свою очередь, является скручен-
ной кубикой в P 3 , причем v 3 (P 1 )  = T
^
v 3 (P 1 ). Верно ли аналогичное
утверждение для произвольной пространственной кривой?
Упражнение 7. Показать, что касательное расслоение к скру-
ченной кубике Tv 3 (P 1 ) является биективной проекцией скролла S 2;2 .
Задача 8. Изучить, как касается грассманиана G (N; 1) общая
касательная гиперплоскость. Найти, каково максимально возмож-
ное (по размерности) касание грассманиана G (N; 1) гиперплоско-
стью.
Вот еще две задачи про расслоения, индуцируемые вложением в
грассманиан.
Задача 9. Найти все возможные расслоения (их разложения),
которые могут быть получены на кониках, лежащих в грассмани-
ане.
Задача 10. Рассмотрим вложение С (2)  = P 2  G (3; 1), соот-
ветствующее семейству секущих к скрученной кубике С = v 3 (P 1 ).
Разложимо ли индуцированное этим вложением расслоение на P 2 ?
1