Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/difgem_10.ps Дата изменения: Fri May 15 17:26:33 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:19:09 2009 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 10.
Геодезические. 17.04.2009.
Задача 1. Фиксируем точку p на римановом многообразии M. Напом-
ним, что экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом до-
статочтно малой окрестности U нулевого вектора из T p M на свой образ
exp p (U), и что экспоненциальное отображение вводит в этой окрестности
p так называемые геодезические координаты, центрированные в точке p,
следующим образом: фиксируем базис в касательном пространстве T p M,
тогда координаты касательного вектора v в этом базисе по определению
будут геодезическими координатами точки exp p (v).
Докажите, что в геодезических координатах, центрированных в точке
p, символы Кристоффеля в точке p обращаются в ноль (в других точках, в
общем-то, это неверно).
Задача 2. Координаты называются центрированными в точке p, если
координаты p равны (0, . . . , 0). Докажите, что центрированные в точке p
координаты x 1 , . . . , x n , определ?нные в окрестности U, являются геодези-
ческими координатами, центрированными в точке p, тогда и только тогда,
когда # i
jk x j x k
# 0 тождественно по x 1 , . . . , x n в U. Указание. Обратите вни-
мание на то, что в геодезических координатах, центрированных в точке
p, геодезические, проходящие через точку p, имеют вид x i = a i t.
Задача 3. Интегрируя уравнение геодезических, найти все геодезиче-
ские на плоскости Лобачевского как непараметризованные кривые. Можно
взять любую из моделей плоскости Лобаческого, например верхнюю по-
луплоскость с метрикой dx 2 + dy 2
y 2 . Указание. Найдите два интеграла ис-
ходной системы из двух дифференциальных уравнений второго порядка и
используйте их для понижения порядка. Вы получите два уравнения, да-
ющие dx
dt
и dy
dt
. Выпишите тогда уравнение для dy
dx
и решите его.
Задача 4. Докажите, что в полугеодезических координатах x 1 , . . . , x n ,
то есть в таких координатах, в которых метрика имеет вид
#
1#i,j#n-1
g ij dx i dx j + (dx n ) 2 ,
кривые x 1 = const, . . . , x n-1 = const являются геодезическими с параметром
t = x n .
Задача 5. Докажите, что геодезическая exp p (tv) и геодезическая сфера
exp p (S # ), где S # = {v # T p M ||v| = #}, всегда ортогональны друг другу.
Как при помощи этого наблюдения ввести полугеодезические координаты
в окрестности точки p?
Задача 6. Докажите, что северный и южный полюс сферы S n являются
сопряж?нными точками вдоль дуги большого круга кратности n - 1.
Задача 7 # . Докажите, что на многообразии отрицательной секционной
кривизны геодезические не содержат сопряж?нных точек.
Задача 8 # . Докажите, что для многообразия положительной секцион-
ной кривизны K # const > 0 существует такая постоянная T , что любая
геодезическая, длина которой не меньше чем T , содержит пару точек, со-
пряж?нных вдоль этой геодезической.