Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/oluch/Zaoch_16_usl.doc Дата изменения: Mon Dec 28 09:47:06 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:07:06 2016 Кодировка: koi8-r

XI Заочный конкурс учителей математики
I. Решите задачи.
?1. Пони и ослик бегали с постоянными скоростями по кругу длиной 100
метров. Пони каждые 2 минуты обгонял ослика. Когда ослик вдвое увеличил
скорость, он сам стал каждые 2 минуты обгонять пони. С какими скоростями
бегали пони и ослик изначально?
?2. На координатной плоскости XOY покрашены все прямые вида [pic] Нарисуйте
покрашенную область. Ответ обоснуйте.
?3. Докажите, что в равногранном тетраэдре вершина проектируется в точку,
симметричную ортоцентру основания относительно центра его описанной
окружности.
?4. В футбольном турнире команда А заняла первое место, набрав больше всех
очков, а команда Б - последнее место, набрав меньше всех очков. Если бы за
победу давали не 3 очка, а 2, то, наоборот, команда Б стала бы первой, а
команда А - последней. Какое наименьшее количество команд могло играть в
турнире? (Каждая команда сыграла с каждой один раз.)
?5. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность, AN - ее
диаметр. На сторонах АС и АВ отмечены точки D и Е соответственно так, что
(BNE = (CND. Прямые DE и ВС пересекаются в точке F, K - середина отрезка
DE. Окружность, описанная около треугольника ADE, вторично пересекает
данную окружность в точке X. Докажите, что угол KXF - прямой.

II. Методический блок.
В предложенных текстах (?6 и ?7) могут содержаться математические
ошибки (как в условиях «задач», так и в «ответах» и «решениях»). Если
некорректно условие «задачи», то объясните, почему это так. Если неверно
только «решение», то укажите все ошибки и приведите верное решение.
?6. «Задача». Решите уравнение: [pic].
«Ответ»: 0.
«Решение». По формуле для вычисления суммы первых n членов геометрической
прогрессии получим: [pic]. Избавившись от знаменателя и раскрыв скобки,
получим, что [pic], то есть [pic]. Корни этого уравнения: x = 0 или x = 1,
но второй корень - посторонний, так как при x = 1 знаменатели дробей
обращаются в ноль.
?7. «Задача». Натуральные числа a и b удовлетворяют соотношению 2a2 + a =
3b2 - b. Докажите, что a + b - точный квадрат.
«Решение». Перенося 2b2 - b в левую часть равенства, получим, что 2(a2 -
b2) + a + b = b2, то есть (a + b)(2a - 2b + 1) = b2. Осталось заметить, что
числа a + b и 2a - 2b + 1 взаимно просты, следовательно, каждое из них -
точный квадрат.
?8. «Определение». Правильным многоугольником называется простая замкнутая
ломаная, у которой равны длины всех звеньев и равны все углы между
соседними звеньями.
Корректно ли это определение для правильного: а) четырехугольника; б)
шестиугольника; в) пятиугольника? Обоснуйте.

III. Аналитический блок.
?9. Некоторые школьники допускают ошибки, используя в процессе решения
каких-то задач «тождества» типа [pic]. Это может и не повлиять на
результат, так как существуют значения переменных, для которых подобные
равенства верны. Например, данное равенство выполняется при a = 3, b = 1,5.
1) Найдите множество всех пар (а; b), для которых верно это равенство.
2) Приведите еще несколько примеров похожих ошибок из других разделов
школьной программы (желательно, чтобы множества значений переменных или
классы объектов, для которых приведенные Вами соотношения окажутся верными,
были достаточно широкими и отличными от тривиальных).
3) Для каждого примера найдите множество значений переменных или класс
объектов, для которых приведенные Вами соотношения верны.