MMOnline – Информационный портал о мехмате МГУ

Заседание Московского Математического Общества 31 октября 2006 г.
(начало в 18 час. 10 мин., ауд.16–24 Главного здания МГУ).

С.В.Болотин
Символическая динамика орбит задачи 3-ех тел, близких к столкновениям.

Пусть Солнце массы 1 и Юпитер массы $\mu\to 0$ движутся по эллиптическим орбитам с эксцентриситетом $\eps$. Эллиптическая задача 3-ех тел – $2\pi$-периодическая по времени гамильтонова система, описывающая движение Астероида пренебрежимо малой массы в поле Солнца и Юпитера. При $\mu=0$ задача превращается в задачу Кеплера. В докладе будет предложено описание хаотических орбит эллиптической задачи 3ех тел, которые при $\mu\to 0$ стремятся к цепочкам орбит столкновения задачи Кеплера. Периодические орбиты такого типа рассматривались Пуанкаре для общей задачи 3-ех тел.

При $\mu=\eps=0$ обозначим через $\Omega$ множество пар $(g,h)$ таких, что Кеплерова орбита с угловым моментом $g$ и постоянной Якоби $h$ является эллипсом, пересекающим орбиту Юпитера. При $\mu,\eps\ne 0$ переменные $g,h$ не постоянны.

Теорема. Для любого $\rho>0$ существуют $c,\eps_0,\delta>0$ такие, что для любых $\eps\in (0,\eps_0)$, $\mu\in (0,\delta\eps)$ и любой последовательности $\rho$-дисков $(B_i)_{i=-\infty}^\infty$ в $\Omega$ существует близкая к столкновениям орбита эллиптической задачи 3-ех тел и последовательность $(t_i)_{i=-\infty}^\infty$ такая, что $0

Таким образом, угловой момент $g(t)$ и постоянная Якоби $h(t)$ «случайно» блуждают в области $\Omega$. Доказательство основано на сведении к динамике композиций нескольких симплектических отображений кольца, близких к интегрируемым.

Московское Математическое Общество