: : Ну и второе: даже если ввести дискретную топологию, от этого не появятся "соседние" точки.
:
: Ну, если умудрились пересчитать (типа перевести в разряд счетных),
Нота бене: _я_ не умудрился.
: : Хуже того, дискретная топология разрушает все отношения близости, которые существовали в топологиях более слабых.
:
: Вот и хотелось бы услышать поподробнее о формализации отношений близости как от сторонников _идеологии соседних точек_ на континууме, так и от их противников.
Я себе это представляю примерно так:
Обычное континуальное множество (держу в голове евклидово пространство) всюду покрывается открытыми подмножествами, причем каждая точка покрывается не более чем счетным числом подмножеств (в идеале вообще конечным, например, я могу покрыть любое евклидово пространство открытыми подмножествами (кубами) так, чтобы каждая точка входила не более чем в D+1 подмножества, где D - размерность).
Понятно, что такое покрытие можно измельчить: представить себе каждое открытое множество покрытия как объединение (счетного, а лучше конечного) числа новых открытых множеств, и все такие новые открытые множества (или даже часть их) будут таким же покрытием. Процедуру измельчения можно повторять бесконечно в обе стороны. Кроме того, надо оговорить, чтобы измельчение было "однородным" (как в "однородная сходимость"): не должно оставаться неизмельчающихся (или измельчающихся слишком медленно) кусков, но строго я сейчас это делать не буду.
Каждое такое покрытие задает отношение, которое назовем отношением близости в смысле этого покрытия: близки точки, принадлежашие одному подмножеству покрытия. Очевидно, что это отношение рефлексивно, симметрично, обычно нетранзитивно. Итого, имея в виду бесконечную последовательность покрытий, получаем бесконечную последовательность отношений близости. По определению "измельчения" получаем, что эти отношения близости являются подмножествами друг друга в порядке "укрупнения".
И наконец, можно завершить все это определением тернарного отношения "b ближе к a, чем c", которое означает, что в некоем крупном масштабе b близко к a и c близко к a, а в более мелком масштабе b близко к a, а c неблизко.
: Кстати, заодно хотелось бы узнать сколько именно соседей может иметь точка. Да мало ли что еще интересное обнаружится.
Я соседей не определял. |
» Альтернативный форум