http://yolkin7.narod.ru/index.html

Бегло просмотрел указанный материал... Отвечу лишь касатльно формулы сложения скоростей. Вы забываете одну вещь. dV - это приращение, изменение скорости, которое может хитрым образом зависеть от каких-то дополнительных параметров, проводимых преобразований и пр. Например, два тела в лабораторной системе отсчета летят друг навстречу другу со скоростями 200000км/сек каждое. В системе отсчета одного из тел другое движется со скоростью 276000км/сек. Ничто не мешает говорить нам, что deltaV=76000км/сек (это, правда, к дифференциалу dV отношения имеет косвенное, так как в deltaV учтены все нелинейные поправки, но смысл, я думаю, ясен).
Если совсем просто: дифференциал есть линейное приращение функции при изменении аргумента по определению. Можно извратиться и построить совершенно другую математику, но в данном случае это ни к чему.

По-моему, самые правильные слова -- это Производные -- понятие сугубо математическое. Когда мы считаем производную скорости по координате, ни о каком сложении скоростей в записи "{v(x+dx)-v(x)}/dx" речь не идет. Производная ничего не знает о системах отсчета.

Ага. Но, как показала беседа с Ламой и Катющиком, эти ребята лучше понимают свой язык: громоздкий и непонятный.

Замечания, выставленные автором, совершенно справедливы. Их вполне можно отнести и к способу получения выражения для релятивистской кинетической энергии, фигурирующему во всех учебниках физики. В результате никакой кинетической энергии движения массы в этом выражении не видать. Есть только скорость движения системы отсчета, которая массы не имеет. А все дело в том, что приравниваются дифференциалы вектора и числа.

Кстати, в этом, как ни странно, что-то есть.

Вот возьмем закон Ньютона. Любому, испорченному дифференциальной геометрией, сразу режет глаз, что с одной стороны равенства стоит ускорение -- производная от вектора -- а с другой -- градиент от скаляра. Как изветсно, второе -- ковектор, а первое -- вообще не тензор.

В общем, всем нормальным людям уже давно ясно, что законы Ньютона -- одно надувательство. Недаром тут на форуме уже по меньшей мере пять тем, где высказывается глубокое сомнение в из справедливости.

Цитата

Любому, испорченному дифференциальной геометрией, сразу режет глаз

и

Цитата

всем нормальным людям уже давно ясно

как-то не сочетается

Элементарно, Ватсон! Все нормальные люди давно испорчены дифференциальной геометрией!

Не надо трогать Ньютона. Особенно его второй закон. Я тот самый испорченный дифференциальной геометрией, но я могу дать исчерпывающий ответ на ваш вопрос.

Дело в том, что я какое-то время занимался тематикой, которая называется "Ньютоновские динамические системы, допускающие нормальный сдвиг". Более того, я инициировал эту тематику:

http://arxiv.org/abs/math.DG/0002202

А это моя докторская диссертация. И хотя геометры во главе с академиком С. П. Новиковым в 2001 году не сочли возможным допустить ее к защите, здесь, на мой взгляд, было больше политических соображений, чем оценки самой работы.

В искривленном пространстве ускорение есть не просто производная вектора скорости, а ковариантная производная по параметру t вдоль траектории. Для k-той компоненты вектора ускорения пишем:

+

А сам второй закон Ньютона записывается так:



Особого внимания заслуживает вектор силы F в правой части. Он зависит от координат точки на траектории, а также от компонент вектора скорости. Зависимость от координат точки типична для векторного поля. А вот зависимость от вектора скорости не типична. Она выводит нас из области традиционных векторных и тензорных полей (хорошо знакомых дифференциальным геометрам) в область "расширенных тензорных полей". Самую свежую (и наиболее общую) версию теории таких полей можно найти здесь:

http://arxiv.org/abs/math.DG/0503332

Изучайте и, пожалуйста, не наезжайте на Ньютона без особых на то оснований.

Руслан Шарипов, каф. алгебры БашГУ,
тел +7(917)476-93-48

PS. А вообще, спасибо тому, кто начал данную тему. Для меня - это возможность высказаться.

Хм-м. Занятно. То есть вы правда решили, что я не верю в законы Ньютона из высших дифференциально-геометрических соображений? Я, кстати, все-таки физик, и даже не "альтернативщик".

Просто я сильно подозреваю, что именно в этом заключается суть вопроса dervish. То есть он не лишен смысла на самом деле, и однажды над ним задуматься очень даже стоит. Для этого я и написал "затравку" с мнимым парадоксом. К сожалению, на нее, кроме вас, никто не откликнулся.

Почему-то о ковариантной производной начинают рассказывать студентам только в контексте ОТО, а на самом деле это очень естественный объект, -- настолько, что уже в законе Ньютона, на самом деле, стоит никакая не "вторая производная", а ковариантная.

Никакого парадокса нигде нет, и обычная дифференциальная геометрия прекрасно уживается с законом Ньютона. Не вижу, кстати, необходимости в "расширенных тензорных полях", если честно.

А откуда Вы и в какой области физики специализируетесь?



Потому, что там без этого не обойтись. А вообще то, надо было бы рассказывать в теор. механике. Там, где говорится о системах нескольких тел со связями. Голономные связи задают подмногообразие в конфигурационном пространстве, а кинетическая энергия (она положительна и квадратична по скоростям) задает метрику. Но по традиции здесь сразу же переходят к Лагранжевой механике, оставляя в стороне Ньютонову механику на многообразиях.

У нас в БашГУ на физфаке на 2-ом курсе есть предмет - Тензорный Анализ. Где-то с периодичностью раз в два года его веду я. Там я рассказываю о ковариантных производных в контексте криволинейных координат в обычном 3-мерном евклидовом пространстве. Но, к сожалению, дальше это никак не продолжается. Курса ОТО, как такового, у них нет и специализации близкой к этому тоже. Практически все физики-теоретики (преподаватели) у нас происходят из одной школы и занимаются магитными явлениями в тв. телах (то есть жидкие кристаллы, доменные стенки и все в таком духе). Вкуса к геометрии им никто привить не удосужился.



Значит надо внимательно приглядеться. Самое простое место, где они возникают - это вектор силы при Ньютоновском описании систем со связями. Под какое другое понятие из дифференциальной геометрии Вы подгоните этот вектор силы? Под понятие обычного векторного поля он не подходит.

Другое место - это термодинамика пластических деформаций в кристалле. Могу порекомендовать свой текст "A note on the dynamics and thermodynamics of dislocated crystals". Если Вы физик (не альтернативщик) и хоть чуть-чуть"испорченный дифференциальной геометрией", то это должно быть в Вашем вкусе.

С физфака МГУ, как ни странно. Специализируюсь пока в основном на учебе.

Я пока не очень вижу, где проблема. Сложности возникают с понятием ускорения -- как бы его определить во внутренней геометрии многообразия. Этого мы достигаем с помощью коэффициентов связности. Что же касается вектора силы, я не вижу, чем не подходит градиент потенциальной энергии (если угодно, с поднятым метрикой индексом). Который, как известно, самый что ни на есть вектор.

Статью, если удастся, посмотрю (хотя, если честно, cond-mat я не очень люблю, все больше hep-th).

Не всякая сила потенциальна. Есть силы вязкого трения. Есть аэродинамические силы типа подъемной силы крыла самолета. Есть сила Лоренца, действующая на движущийся заряд в магнитном поле. Несмотря на свою непотенциальность, любая из этих сил есть вектор (касательный вектор к конфигурационному пространству механической системы при Ньютоновском ее описании). Дело не в самом этом векторе, а в том, от чего он зависит. Для потенциальных сил этот вектор зависит только от координат точки в конфигурационном пространстве. И потому, здесь он легко интерпретируется как векторное поле. Для непотенциальных сил он зависит еще и от компонент вектора скорости. Поэтому, для дифференциально-геометрического описания такого объекта нужно понятие расширенного векторного поля.

Кстати, с расширением понятия векторных и тензорных полей, расширяется и понятие ковариантной производной. То есть дифференциальная геометрия обогащается конструкциями, которые диктуются физикой. Поэтому не нужно протестовать против расширения тензорных полей.



OK. А Вы не задумывались над тем, откуда берутся коэффициенты связности? Так вот, многообразие, о котором Вы говорите - это конфигурационное пространство механической системы с голономными связями. А координаты - это обобщенные координаты, которые получаются после разрешения связей, это те самые q_1, ... , q_n, которые пишутся в лагранжевой механике. Коэффициенты связности обязаны своему происхождению метрике, а метрика берется из кинетической энергии. Для реальных механических систем, где функция Лагранжа есть разность кинетической и потенциальной энергий это все срабатывет. Но математики (вот гады такие), берут и рассматривают лагранжианы общего вида, где нет разделения на потенциальную и кинетическую энергии. Что делать в этом случае? Существует ли ньютоновское описание таких лагранжевых систем?

У меня есть некоторый (частичный) ответ на этот вопрос, изложенный в моих работах 2001-2002 года по теории нормального сдвига:

Normal shift in general Lagrangian dynamics
Comparative analysis for pair of dynamical systems, one of which is Lagrangian
On the concept of normal shift in non-metric geometry
V-representation for normality equations in geometry of generalized Legendre transformation
On the subset of normality equations describing generalized Legendre transformation

Я привожу эдесь эти ссылки в качестве рекламной акции. Вовсе не хочу навязывать Вам своего мнения. Вполне возможно, что Вы найдете другой (не частичный) ответ на вопрос.



Мания величия, если она служит прогрессу, не так уж и вредна! И почему бы не объединить эти две вещи. Например, релятивистский кристалл. Он может реализоваться в нейтронных звездах, где энергия тепловых колебаний нейтронов сравнима с их массой покоя, но сильная гравитация, тем не менее, принуждает их сконденсироваться и быть твердым телом, а не газом.

Честно говоря, работ, посвященных геометризации неинтегрируемых систем, описываемых ньютоновским формализмом, я не видел.
Но, насколько я знаю, для установления взаимооднозначного соответствия между гамильтоновым и лагранжевым описанием неголономных систем эта проблема математически решается без введения кардинально новых объектов. И необходимый результат достигается просто путем аккуратной отдельной работы с подмногообразиями конфигурационного и фазовых (лагранжева и гамильтонова) пространств, отвечающих вырожденным и невырожденным компонентам гессиана.
Удается обойти неоднозначность отображения Лежандра между касательным и кокасательным расслоениями путем "подправления" функции действия.
Если интересно, - могу поискать ссылки.
И, на мой взгляд, можно поступать похожим способом, чтобы задать соответствие между ньютоновским и лагранжевым формализмом.

2 Теоретик:
Что-то я перестал понимать. При чем здесь соответствие Лагранжевой и Гамильтоновой механик? Почему -- неинтегрируемых систем? Вроде если речь и идет про соответствие механик, то тогда Ньютоновой и Лагранжевой, нет? Ты явно "опускаешь половину выкладок". Можно поподробнее о связи?

2 Ruslan_Sharipov:
Сейчас подумалось -- наверное, я вас не так понял. Вам не нравится то, что сила -- вектор, но не векторное поле на многообразии? Я-то защищал векторность силы в заданной точке -- любой, хоть потенциальной, хоть какой.

Хорошо, согласен, если мы хотим сказать, что имеется некоторое поле сил, то для чего-нибудь вроде силы Лоренца это поле -- не векторное. Тогда такой вопрос -- чем нам так нравится механика Ньютона, что мы хотим "ньютонизировать" любую систему? Есть удобное лагранжево описание -- зачем нам "сила"? Может быть, то, что сила не вписывается в стройную структуру дифференциальной геометрии -- это указание не на недостаточность аппарата последней, а на неестественность самого понятия, которое мы хотим в нее втиснуть?

Откуда берутся коэффициенты связности, я задумывался. Из метрики, больше неоткуда, это Вы правы. Но и тут, опять же, на вопрос -- хочется спросить в ответ -- а чем так хорошо ньютоновское описание? Я знаю кучу преимуществ перехода к лагранжевой или гамильтоновой формулировке, но ни одной -- перехода наоборот. Но я ничего не знаю про теории интегрируемых систем и т. п. -- вполне допускаю, что, может, там Ньютонова "сила" очень удобна. В этом случае было бы интересно об этих преимуществах узнать.

Да, а последний абзац -- про манию величия -- я не понял. Это вы в том смысле, что hep-th -- мания величия, а cond-mat -- это прогресс?

Так разве речь не о них идет? Если мы говорим о системах, в которых действуют силы, зависящие от скоростей, то это и есть неинтегрируемые, они же неголономные системы (в той терминологии, с которой я привык работать, эти два слова - синонимы; причем это не только моя терминология).

Это я привел в качестве примера. Эти формализмы геометрически неэквивалентны, однако, можно установить между ними полное взаимооднозначное соответствие и при наличии связей. И для этого вовсе не нужно вводить в дифференциальную геометрию новых объектов. И я считаю, что можно пойти по аналогичному пути для установления соответствия между ньютоновым и лагранжевым формализмами. Только и всего.

+1. Разве что для чисто математического удовлетворения.

И еще. Я что-то перестал понимать Руслана.
Либо мы говорим о системе, для которой уравнение Ньютона уже написано, и у этого уравнения в правой части стоит сила, а в левой - масса на ускорение; тогда я не вижу проблемы перехода к лагранжеву формализму со связями. Ньютонов формализм в этом случае является просто эквивалентой формой записи лагранжева.
Либо у нас накручен жутковатого вида лагранжиан, на структуру которого нет почти никаких математических ограничений, кроме его скалярности ну и, скажем, локальности. Но тогда я не вижу причины, по которой должно существовать ньютоново описание такой системы с членом "эм-эр-две точки" в левой части. И проблему я вижу именно в возможности получения левой части такого вида, а вовсе не в геометрической природе силы, зависящей от скоростей.

Ага, так понятнее. Тогда, можно сказать, +1 (особенно к последнему абзацу).

Всех участников дискуссии - с Новым Годом!!!!!!!

Да, теперь Вы правильно понимаете ситуацию. Хотя дело не в том, нравится мне или не нравится. Просто такой факт имеет место быть.



Нет, никакого особого императива "ньютонизации" на данный момент нет. В данной дискуссии ньютоновские динамичкские системы - это способ проиллюстрировать естественность возникновения расширенных векторных (а вместе с ними и тензорных) полей. Как я уже говорил, другое место возникновения расширенных тензорных полей - это динамика и термодинамика пластических деформаций. Если один и тот же дифференциально-геометрический объект проступает в разных областях физики - это аргумент к тому, чтобы признать его заслуживающим внимания.



ОК. Предлагайте Ваш вариант. Но прежде позвольте мне уточнить постановку задачи. В случае квадратичных по скоростям лагранжианов с положительно определенным гессианом конфигурационное пространство (многообразие) естественным образом оснащается римановой метрикой. Вопрос: какую дифференциально-геометрическую структуру индуцируют неквадратичные лагранжианы (пусть с невырожденным и даже положительно определенным гессианом). Нетривиальный пример - финслерова геометрия. Она индуцируется на конфигкрационном пространстве, если лагранжиан не квадратичен, но является однородной функцией степени 2 по скоростям. Кстати, финслерова метрика - это пример расширенного тензрного поля типа (0,2). Так что этот объект не такой уж и кардинально новый. Нет никаких оснований от него отмахиваться.



hep-th - это претензия на фундаментальность и высокую квалификацию. Мне тоже бы тоже хотелось получить какие-нибудь результаты в этой области. Но и в cond-mat можно найти место для приложения высокой квалификации. А в целом я хотел сказать, что нет ничего плохого в желании достигать высоких целей в престижной области науки, даже если это и попахивает манией величия.

А, я, кажется, понял, при чем здесь связь лагранжевой и гамильтоновой механики. Это о том, что "расширенное векторное поле", если его понимать в том смысле, что оно "еще и от скоростей зависит" -- это обычное векторное поле на фазовом пространстве -- а это уже гамильтонова геометрия. Так?

Фактически так. В двух словах так просто не скажешь (вот сдам КТП в четверг - отпишу подробнее ), но идея именно такая.

В буквальном смысле не так. Eсли конфигурационное пространство n-мерно, то фазовое 2n-мерно. Обычное векторное поле на 2n-мерном многообразии имеет 2n компонент, а у ньютоновского вектора силы их n штук. Но, в принципе, идею поднятия расширенных тензорных полей на фазовое пространство можно развивать (до определенных пределов). Для ньютоновских (и лагранжевых) механических систем фазовое пространство - это касательное расслоение. Пользуясь этой структурой, после поднятия на фазовое пространство можно лишние n компонент отстричь. Так делает В. А. Шарафутдинов в своей книге

Интегральная геометрия тензорных полей, Новосибирск, ВО ''Наука", Сибирская издательская фирма, 1993, ISBN 5-02-030304-6

Здесь он вводит понятие "полубазисных тензорных полей" на фазовом пространстве. Это опять же новый дифференциально-геометрический объект, хотя и вводимый как спецподмножество в классе обычных тензорных полей. Конкретно для меня в задачах теории нормального сдвига для ньютоновских динамических систем такой подход никаких упрощений не дает. В гамильтоновой механике (после преобразования Лежандра) фазовое пространство становится кокасательным расслоением. Здесь трюк с полубазисными тензорными полями не проходит вовсе.

Интересно. Ну ладно, похоже, понять мотивацию введения этих полей я смогу все-таки только прочитав упоминавшиеся выше статьи про деформации кристаллов (чтобы увидеть второе место, где они естественно возникают). Если появится время, попробую этим заняться.