Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_spec/254/lection12.pdf Дата изменения: Wed Sep 14 22:13:06 2011 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:07:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п дираком

Лекция

12

ПРОСТРАНСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

D

1. Введение
В этой лекции мы рассмотрим три класса основных или, как иначе говорят, пробных функций

D, P

и

E.

При этом мы будем интен-

сивно пользоваться языком теории локально выпуклых пространств, развитый в предыдущей лекции. Затем, мы перейдем к рассмотрению соответствующих сопряженных пространств

D

,

P

и

E

классов

распределений или, иначе, обобщенных функций. Для понимания этой лекции достаточно владеть основами теории локально выпуклых пространств, развитой в предыдущей лекции.

2. Пространство распределений
следующее определение. Определение
ных и непрерывных

D
D
. Дадим

Перейдем к рассмотрению пространства распределений 6.
Через

D

обозначим пространство линейнад локально выпуклым век-

функционалов

торным топологическим пространством

D

относительно тополо-

топологии (D(Kn ), Kn ).
гии

строгого индуктивного предела пространств

Замечание

3 . Если следовать логике используемых нами обо-

значений, то нам следовало бы обозначить топологически сопряженное пространство к пространству

D

символом

D

, а не

тературе используется именно такое обозначение

D D

. Однако в ли. В дальнейшем

мы, как и обычно, будем обозначать действие линейного функционала

f D
ности:

над основной функцией

D

посредством скобок двойствени

f



,



для всех

f D

D.

Кроме того, символом Теперь давайте

ных функционалов над

D D.

#

мы будем обозначать множество всех линейсвойство непрерывности распределения

f D

обсудим

. Прежде всего отметим, что пространство

D

и пространство

C1

являются борнологическими. Действительно, это следует из теоремы 2 настоящей лекции и теоремы 7 четвертой лекции. Таким образом,


2. Пространство распределений с компактным носителем

141

каждый элемент

f D

является непрерывным отображением борно-

логического пространства

D

в борнологическое пространство

C1

:

f :DC .
1



Следовательно, из теоремы 8 четвертой лекции приходим к выводу, что справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 1. Каждый линейный функционал
рывным в индуктивной топологии

f



является

непре-



пространства

(D, )

, т. е.

принадлежит вательности

D , тогда и только тогда, когда для любой {n } D такой, что n , вытекает, что f

,

последо-



n



0

при

n +. {n } имеет Kn , а сходи(D(Kn ), Kn ).
был распре-

Замечание

4 . Из результата теоремы 2 пункта (IV) вытекает,

что в теореме 8 можно считать, что последовательность компактный носитель лежащий в некотором компакте мость к нулю имеет место в смысле пространства Фреше критерий того, чтобы линейный функционал справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2. Следующие два условия эквивалентны: (i) (ii)

Теперь мы можем сформулировать и доказать важный и интересный

f



над

D

делением или иначе обобщенной функцией из

D

. Действительно,

f D ; f D#

и функция

f



,



ограничена на ограниченных мно-

жествах из

D. f D
, то полунорма

Доказательство. Действительно, если

p() | f
непрерывна. Но полунорма пространстве



,

|

(2.1)

p()

это полунорма на борнологическом

D

. Поэтому из теоремы 6 четвертой лекции вытекает, что

она ограничена на ограниченных множествах из Пусть теперь ных множествах

f D# из D. Но f

и функция

f



D.

,



ограничена на ограничен-

тогда опять из теоремы 6 четвертой лекции .

вытекает непрерывность полунормы (2.1). А значит и непрерывность линейного функционала Те о р е м а



доказана.

Важным следствием этой теоремы является следующая лемма. Л е м м а 1. Линейный функционал
когда найдется такой компакт

Mnm >

f D тогда и только тогда, Kn RN и такая постоянная
(2.2)

0, что имеет место неравенство:

|f
для всех



,

|

Mnm max sup | (x)|
|| m xK
n

(D(Kn ), Kn ) .

Доказательство.


142

Лекция 12. Пространства распределений

Достаточность.

Из

(2.2) то и 0

получаем,

что

если

(D(Kn ),

Kn

)

и

k , f

,

{k (x)}

k

при

k +.

Следовательно, в силу теоремы 8 и замечания 4 приходим к выводу, что

f D

.

Необходимость. Пусть

f D

, тогда полунорма (2.1) непрерывна

(D, ). Следовательно, эта полунорма непрерывна и над всяким (D(Kn ), Kn ). А это в свою очередь означает, что найдется полунорма pnm () из системы полунорм, порождающих топологию пространства (D(Kn ), Kn ), такая, что
над всем

|f
Но полунорма



,

|

Mnm pnm ().

p

nm

()

имеет следующий явный вид:

pnm () = max sup | (x)| .
|| m xKn
Формула (2.2) доказана. Лемма доказана. Теперь рассмотрим вопрос о различных способах ?топологизации? векторного пространства тельно, пусть

D

. Начнем со

-слабой

топологии. Действи-

A {A}
есть множество всех конечных подмножеств следующую систему множеств:

A

из

D.

Рассмотрим

B {A : A A}

,

A

f D : sup | f
A



,

|

1

.

(2.3)

Тогда согласно определению воду, что система множеств ционал

-слабой топологии мы приходим к выB, определенная формулой (2.3), образует

базу окрестностей нуля этой топологии. Заметим, что каждый функ-

f D

определен на всяком конечном семействе элементов из

-слабой ?топологизации? векторного пространства D ?не уменьшается?. Дадим определение. О п р е д е л е н и е 7 . Символом Dw , w мы назовем векторное топологическое пространство, полученное при -слабой ?топологизации? векторного пространства D . Перейдем теперь к построению из D сильного сопряженного к D векторного топологического пространства. Рассмотрим следующую
Поэтому при пространство систему множеств:

D. D

S {A}

,


2. Пространство распределений с компактным носителем

143

где

A

пробегает все ограниченные множества из

D.

Рассмотрим сле-

дующую систему множеств

B {A : A S}

,

A

f D : sup | f
A s



,

|

1

.

(2.4)

Тогда согласно определению сильной топологии торного пространства определение. Определение 8.
Символом

мы получим из век-

D

сильное сопряженное к пространству

D,

если

за базу окрестностей нуля возьмем систему множеств (2.4). Дадим

Ds , D
.

s

мы назовем векторное

топологическое пространство, полученное при сильной ?топологизации? векторного пространства

Справедлива следующая лемма. Л е м м а 2. Топология



s сильнее топологии



w . w


Доказательство. Надо доказать, что в топологии



s больше множеств, чем в

.

Действительно, всякое конечное множество является ограниченным множеством, обратное, конечно, не верно. По этому в системе ше множеств, чем в стей нуля

A

мень-

S

. Следовательно в базе окрестностей нуля

B

,

определенной формулой (2.3), меньше элементов, чем в базе окрестно-

B

, определенной формулой (2.4). доказана.

Лемма

Теперь мы можем собрать воедино свойства локально выпуклых векторных топологических пространств

D

w , w



и

Ds ,

s

, дока-

зательство которых имеется в нашей работе [21]. Т е о р е м а 3. Справедливы следующие утверждения: (i) Пространство (ii) Пространство

D D
s

w , w s , s



секвенциально полно;

является полным борнологическим;

(iii) Всякий линейный ограниченный оператор, действующий из

Ds , s

в

Ds ,

, непрерывен;

(iv) Для непрерывности оператора

T,

действующего из

Ds , s

в

Ds , s

, необходимо и достаточно, чтобы для каждой после-

довательности

{fn } Ds , s

и

fn

вытекало

Tfn

в

Ds , s

.

Следствие
ность сходится

1.

Пусть задана последовательность

{fn } D

такая, что для каждого

D

следующая числовая последователь-

fn ,

,


144

Лекция 12. Пространства распределений

тогда функционал определенный равенством

f , = lim
принадлежит

n+

fn ,

D

.

Доказательство. Это утверждение вытекает из пункта (i) теоремы 9. Действительно, поскольку числовая последовательность даментальной в сходится в даментальна. Следовательно, последовательность

-слабой

топологии пространства

из утверждения (i) вытекает, что эта

{fn } является D = Dw . Но последовательность {fn } -
для всех

fn ,

сходится, то она фунфунтогда слабо

D

, т. е.

f , = lim
и

n+

fn ,

D

f D

. доказано.

Следствие

В дальнейшем построении теории обобщенных функций есть два не равнозначных направления. Можно рассматривать свойства обобщенных функций на основе введенного нами в параграфе 8 четвертой лекции понятия транспонированного оператора. При этом рассматривая всевозможные операторы

T:DD

мы будем получать операторы,

Tt : D D .
Таким способом можно вводить новые обобщенные функции, например, производная обобщенной функции. Но для того чтобы понять является ли данный оператор

Tt

непрерывным или нет в том или ином

смысле, нам нужно использовать ту или иную топологию на

D

. Что

мы уже, кстати, сделали. Поэтому вторым направлением является исследование свойств непрерывности линейных операторов, действующих в ?топологизированных? пространствах обобщенных функций. Мы в наших дальнейших рассмотрениях будем в основном рассматривать первое направление, хотя и будем использовать некоторые преимущества второго направления. И здесь мы будем использовать результаты теоремы 9. Теперь мы приступим к рассмотрению свойств функционалов из векторного пространства

D

и получению новых обобщенных функций,

используя способ транспонирования операторов. Напомним, определение транспонированного оператора. Пусть действующий из

T

это линейный оператор,

D

в

D: T : (D, ) (D, )
,


2. Пространство распределений с компактным носителем

145

тогда транспонированным к нему оператором является следующий оператор

Tt : Ds ,

s

Ds , s

,

удовлетворяющий следующему равенству

Tt f



,

f



,

T

для всех

f Ds ,



,

(D, ) .

Справедлива следующая важная теорема. Т е о р е м а 4. Пусть
ный оператор

T

это линейный ограниченный и инъективный

оператор, действующий из

(D, )


в

(D, ) .

Тогда транспонирован-

Tt : Ds ,
Доказательство.

Ds ,



является линейным непрерывным оператором.

Итак, пусть выполнены условия теоремы. Поскольку для пространства

Ds ,



выполнены условия теоремы 9 (iv), то линейный оператор

непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности

{fn } Ds ,



сильно сходящейся (т. е. в топологии





) к нулю

вытекает, что последовательность к нулю в пространстве

{

Tt fn

} Ds ,



сильно сходится

Ds ,



. Оператор

всякое ограниченное множество

T (B) (D, ) .

Пусть

сходящаяся к нулю в

{fn } произвольная последовательность, сильно Ds , . Тогда согласно определению транспо = sup | fn , T | B

T B (D, ) в

ограничен, т. е. переводит ограниченное множество

нированного оператора имеем

sup
B

Tt fn ,

0

при

n +

,

поскольку множество что

T (B)

ограничено. Отсюда сразу же получаем,

Tt fn
Те о р е м а

сильно в

Ds ,



при

n +.
между пространством

доказана.

Мы ввели уже скобки двойственности основных функций функционалов

ћ, ћ

(D, ) D

и пространством линейных и непрерывных

D

. Возникает вопрос: а есть ли некоторое векторное такое, что для указанных скобок двойствен-

подпространство в

ности, было достаточно простое явное представление? Ответ на этот вопрос положительный. Действительно, функции из Определение 9 . Элемент

D

можно условно

разделить на регулярные и сингулярные. Дадим определение.

f D

назовем регулярной обоб-

щенной функцией, если существует такая локально интегрируемая


146

Лекция 12. Пространства распределений

функция

f (x) L f

,

1

loc

R

N

, что имеет место следующее явное пред-

ставление для скобок двойственности:

=
R
N

f (x)(x) dx f D

для всех

(x) D.

(2.5)

В противном случае функцией.

называется сингулярной обобщенной

З а м е ч а н и е 8 . Определение 9 корректно, поскольку для каждой функции

(x)

из

D

найдется такой компакт

K RN

, что

supp{} K

.

Поэтому интеграл в правой части этого определения сходится. Отметим, что функция ному распределению Лемма

f (x) L1oc RN l f D определена


, соответствующая регулярс точностью до меры Лебега
Пусть

нуль. Действительно, справедлива следующая лемма: ( Д Ю Б УА Р А Й М О Н Д А ) .

L

1

loc

RN

два представителя обобщенной функции

f1 (x), f2 (x) f D , т. е.

имеют место равенства

f
Тогда



,

=
RN

f1 (x)(x) dx =
R
N

f2 (x)(x) dx.

f1 (x) = f2 (x)

почти всюду.

Доказательство. Данная лемма следует из основной леммы вариационного исчисления, доказанной во второй лекции. Действительно, имеет место равенство

[f1 (x) - f2 (x)] (x) dx =
R
N

0

для всех

(x) C


0

RN .

Поскольку

C R 0
ния. Лемма доказана. 5. Замечание

N

ds

D RN .

Теперь осталось применить основную лемму вариационного исчисле-

Конечно, распределение

f



из

D

не является,

строго говоря, функцией, однако, очень удобно сопоставить обобщенной функции аргумент

xR


N

по следующему правилу:

f (x), f
Рассмотрим теперь ряд примеров. ПРИМЕР формуле 1.



,

(x) .

В дальнейшем мы будем использовать это правило. (дельтафункция Дирака) Дельта

функцией Дирака называют обобщенную функцию, действующую по

(x), (x) = (0)

для всех

(x) D.


2. Пространство распределений с компактным носителем

147

Как известно П. Дирак определял эту функцию как такую функцию, что для всех

(x) C (RN ) 0

имеет место равенство

(x)(x) = (0).
RN
И еще тогда было отмечено, что в виде интеграла Лебега ?дельта функцию? так представить нельзя, потому что это сингулярная обобщенная функция. Покажем это. Допустим противное. Пусть существует

f (x) L

1

loc

(RN )

такая, что для любых

(x) D

f (x)(x) dx = (0),
R
тогда для ?шапочки?
N

(x) =
имеем

exp -
0,

2 2 -|x|2

,

при при

|x|

,

|x| >

f (x) (x) dx = e
R
N

-1

.
0, получим

Переходя в этом равенстве к пределу при 0 Следовательно,

+

=e

-1

.

(x)

сингулярная обобщенная функция.

П Р И М Е Р 2 . ( ф у н к ц и я Х е в и с а й д а . ) Функцией Хевисайда называют обобщенную функцию

(x), ћћћ

действующую по формуле

+

+

(x), (x) =
0

(x) dx.
0

Это регулярная обобщенная функция и ее действие на основные функции из мой в

D RN

задается по формуле (2.5) с помощью локально интегрируефункции

(x) =

1, 0,

при

xi

0,

i=

1,

N

,

во всех остальных случаях

.

Эту функцию еще называют функцией единичного скачка. П Р И М Е Р 3 . ( п о с т о я н н а я ) . Регулярную обобщенную функцию, действующую по правилу

f, = c
R
называют постоянной.
N

(x) dx =
R
N

c ћ (x) dx,


148

Лекция 12. Пространства распределений

П Р И М Е Р 4 . ( г л а в н о е з н а ч е н и е и н т е г р а л а о т ф у н кции

x

-1

) . Такое название закреплено за линейным функционалом

P
действующим по формуле

1

x

,

P

1

x

,

(x) = V .p.

= (x) dx = lim +0 x
R
1

-

+

(x) dx x
,

+


(x) D(R1 ).

-

Линейность этого функционала следует из свойства линейности интеграла, осталось проверить его непрерывность. Пусть при

k +

, тогда, во-первых,

k (x) =

0 при

k (x) 0 в D(R1 ) |x| > R для всех k N,
,

во-вторых,

k (x)
т. е.

0

на

[-R, R]
0

при

k +

[-R;R]
поэтому 1

max k (x) +

при

k +,

P

x

,

k (x)

= V .p.
R
1

k (x) dx = V .p. x

R

k (x) dx. x [-R, R]
имеет место

-R

По теореме Лагранжа о конечных приращениях на равенство

k (x) - k (0) = k (x )x

при

x [0, x]
,

или

k (x) = k (0) + xk (x )
R
1

отсюда

P

x

,

k (x)

= V .p.
-R

k (0) + xk (x ) dx. x

Рассмотрим первое слагаемое из правой части

R

V .p.
-R

k (0) dx = lim +0 x

-

k (0) + dx = x

0,

R



-R +0

= k (0) ћ lim (ln | - | - ln | - R| + ln |R| - ln ||) =


2. Пространство распределений с компактным носителем

149

таким образом

R

P

1

x

,

k (x)

= V .p.
-R R

xk (x ) dx = V .p. x
R

R

k (x ) dx =
-R

=
-R
при

k (x ) dx
-R

k (x ) dx

2

R max k (x) +
[-R,R]

0

k +

. Итак, линейный функционал

P
является обобщенной функцией на

1

x D(R1 ). R1
1

Покажем, что этот функционал является сингулярной обобщенной функцией. Пусть, напротив, существует локально интегрируемая в функция

f (x)

такая, что для всех

(x) D(R ) P
1

f (x)(x) dx =
R
1

x

,

(x) .

Рассмотрим семейство основных функций типа ?шапочка?

(x) = c
где

exp -
0,

2 2 -|x|

2

,

при при

|x|



; ,

|x| >

c

выбираем так, чтобы

(x) dx =
R
т. е.
1

1,

c = c
не зависит от

c

,

где ций

.
С одной стороны

Вычислим теперь значения этого функционала на семействе функ-

x (x) D(R1 ). P
1

x

,

x (x)

= V .p.
R
1

x (x) dx = x
R
1

(x) dx = 1.

Теперь предположим, что

f (x) L2oc (R1 ) L1oc (R1 ). l l
В этом случае в силу неравенства Гельдера получим неравенство


150

Лекция 12. Пространства распределений



f (x)x (x) dx = c
R1

f (x)x exp -
-

2 2 - |x|2
2
2

dx
1/2

c


2

1/2



f (x) dx 1/2 3

-

-

x exp - 2 - |x|
2 2

2

dx

=
1 /2

=

1

c


-

f 2 (x) dx 1/2 = c


-

x

exp -
1

2

-

1/2

x

2

x d dt

=



1/2

f 2 (x) dx

t2 exp -

2 1

-

-

-t

2

+

0

при

+

0. Теперь заметим, что

L2oc (R1 ) l

вложено в

L1oc (R1 ) l

плотно.

Поэтому приходим к выводу, что

f (x)x (x) dx +
R
при
1

0

+

0 и для функций

f (x) L1oc (R1 ). l P
1

Полученное противоречие и означает, что

x

сингулярная обобщенная функция. ПРИМЕР 5. ( ф ор м ул а С о х о ц к о г о ) . Функционал 1

x + i0
определяется формулой 1

x+i

0

,

(x)

= lim

+0 R
1

(x) dx. x + i

Докажем теперь формулу Сохоцкого: 1

x + i0
Действительно, пусть

=P

1

x

- i (x). R>
0 такое, что

D(R1 ).

Тогда найдется

(x) =

0 при

|x| > R

, и мы имеем


2. Пространство распределений с компактным носителем

151

R
1

x + i0

,

(x)
R

= lim

+

0

(x)(x - i) dx = x2 + 2
R

-R

= lim

+0 -R

((x) - (0)) (x - i) dx + (0) lim +0 x2 + 2
R

x - i dx = x2 + 2

-R

=
-R

(x) - (0) dx + i(0) lim + x = P
1

R
0

- dx = x2 + 2 P
1

-R

x

,

(x) - i (0) =

x

- i (x), (x) .

Теперь мы приступаем к анализу тех линейных операций, которые допускают обобщенные функции. I. Линейные преобразования переменных в обобщенных функциях.

Пусть

f (x)

локально интегрируемая в

RN

функция и 0

x = Ay + b
разование пространства

,

det A =

невырожденное линейное (в другой терминологии аффинное) преоб-

RN

на себя, тогда для всех

(t) D(RN )

f (Ay + b), (y ) =
R
N

f (Ay + b)(y ) dy = dx 1 = f (x), A-1 (x - b) | det A| | det A| det A =
1 0, то для всех

=
RN

f (x) A-1 (x - b)

.

Определение

1 0 . Если

(x) D(RN ) .

f (Ay + b), (y ) =

| det A|

f (x), A-1 (x - b)

Мы видим, что выполнены все условия следствия из теоремы 10 для линейных невырожденных отображений и поэтому это отображение является непрерывным из ПРИМЕР

Ds , s

на все

Ds , a = 0.

s.

6 . Доказать, что

(ax) =
Действительно, для всех

1

|a|N

(x)

,

(x) D(RN )

имеем

(ax), (x) = (ax1 , ax2 , ..., axN ), (x1 , x2 , ..., xN ) =


152

Лекция 12. Пространства распределений

=

1

|a||a| ћ ћ ћ |a| =
1

(x1 , x2 , ..., xN ),
N

x1 x2 xN , , ..., aa a
1

= (x), (x) .

|a|

(0) =

1

|a|

N

(x), (x) =

|a|N

ПРИМЕР

7 . Доказать, что 0 при

(x - ) D (R )
1

+

в

D (R1 ).

Согласно определениям сходимости в получаем, что для всех

D (R1 ) (x) D(R1 )

и замены переменных в

(x - ), (x) = (x), (x + ) = ( )
поскольку

0

при

+

(x)

финитна. 8 . Доказать, что ряд

ПРИМЕР

+

ak (x - k )
k=-
сходится в тогда

D (R1 )

для всех

ak C.

Действительно, пусть

(x) D(R1 )

,

+

+

ak (x - k ), (x)
k=-

=
k=-

ak (k ),

согласно предыдущему примеру, правая часть этого равенства содержит конечное число слагаемых, поэтому ряд сходится. II. Умножение обобщенных функций. Пусть имеем

f (x)

локально интегрируема в

RN

и

a(x) C (RN ).

Тогда

a(x)f (x), (x) =
RN

a(x)f (x)(x) dx =
R
N

f (x)a(x)(x) dx =
для всех

= f (x), a(x)(x)
О п р е д е л е н и е 1 1 . Если
для всех

(x) D(RN ).
тогда

(x) D(R ) a(x)f (x), (x) = f (x), a(x)(x) .

N

f (x) D (RN ), a(x) C (RN ),

Относительно этого отображения отметим только одно. Если

=

0 для всех

x RN

a(x) =
s
в

, тогда выполнены все условия теоремы 10, и

мы приходим к выводу, что это непрерывная операция из

Ds ,

Ds , s .
ПРИМЕР 9 . Доказать, что для всех

a(x) C (RN )

a(x) (x) = a(0) (x).


2. Пространство распределений с компактным носителем

153

Действительно, для всех

(x) D(RN )

a(x) (x), (x) = (x), a(x)(x) = a(0)(0) = = a(0) (x), (x) = a(0) (x), (x) .
В частности,

x (x) = P
1

0.

ПРИМЕР

1 0 . Введем функционал ,

x

2

(x)

= V .p.
R
1

(x) - (0) dx. x2
1

Доказать, что

xP
Пусть

=P . x x
2

1

(x) D(R1 ),
2

тогда 1

xP

1

x

,

(x) = V .p.

=
+

P

x2

,

x(x)

=
+

-
ПРИМЕР

x(x) - 0(0) dx = V .p. x2

-

(x) dx = x
при

P

1

x

,

(x) .
обоб-

1 1 . Вычислить пределы в

D (R1 )

t +

щенных функций

eixt x + i0 eixt , (x) x + i0

,

определенные выражением

+

= lim

e

ixt

+0 -

(x) dx. x + i

Как уже мы ранее установили, справедливы следующие формулы Сохоцкого 1

x + i0
являются сингулярными. Пусть

=

i (x) + P

1

x

,

из которых можно сделать вывод, что две новые обобщенные функции

(x) D(R1 ), = = e
ixt

тогда 1

eixt , (x) x - i0

i (x) + P
1

x

,

(x)

=
1

i (x) + P

x

,

e

ixt

(x)

= i (0) + P

x

,

e

ixt

(x) .


154

Лекция 12. Пространства распределений

P
1

x

,

e

ixt

(x)

=

cos(xt)(x) + i sin(xt)(x) dx = x - - + cos(xt) sin(xt) (x) dx + , (x) + i lim P +0 x x = lim
+0

-

+



+

,

-



где обобщенная функция

P
определена соотношением

cos(xt) x

P

cos(xt) , (x) x

+

= V .p.
-

cos(xt) (x) dx x

для всех

(x) D(R1 ).

Докажем теперь, что при

t +
0 в смысле

P

cos(xt) x

D (R1 ).

Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем

cos(xt) , (x) P x
где

-

+

cos(tx) (0) + x (x ) dx x
,

= lim
+
0

+


-

supp (x) [-R, R].

В силу нечетности функции

cos(xt) x
имеем равенство

,

cos(xt) P , (x) x

R

=
-R

(x ) cos(tx) dx,

откуда в силу леммы Римана вытекает равенство

t+

lim

P

cos(xt) , (x) x

= 0.

Кроме того, можно доказать следующее предельное равенство


+0

-

+

sin(xt) (x) dx = x

+

lim
-

+


-

sin(xt) (x) dx (x), (x) . x


2. Пространство распределений с компактным носителем

155

Таким образом, при

t +

для всех

(x) D(R1 )
2

eixt , (x) x - i0
или

2i (0) =

i (x), (x) D (R1 ).
с

eixt 2 i (x) x - i0 f (x) Cp (RN )
и

в смысле

III. Дифференцирование обобщенных функций. Если

(x) D(RN ),
|| R
N

то для всех

| |

p

справедливо интегрирование по частям для

N-

кратного интеграла

f (x) ћ (x) dx = (-1)
R
N

f (x) ћ (x) dx.

Внеинтегральные члены обратились в нуль в силу финитности основной функции

(x)

. Поскольку функции

f (x)

и

f (x)

локально

интегрируемы, то стало быть они порождают регулярные обобщенные функции, так что справедливо следующее равенство

f (x), (x) = (-1)
Определение

||

f (x), (x) .
, всех

(x) D(R )

N

12.

Для

всех



производная обобщенной

f (x) D (RN ) и всех функции f (x) определяет-

ся равенством

f (x), (x) = (-1)

||

f (x), (x) . (-1)||


Здесь мы заметим, что отображение

: (D, ) (D, )

является инъективным ограниченным отображением. Поэтому выполнены все условия теоремы 10, из которой заключаем, что введенное линейное транспонированное отображение

: Ds ,
является непрерывным. ПРИМЕР

s

Ds , s

1 2 . Показать, что в

D (RN )

имеет место равенство

(x) = (x).
Действительно, для всех ка равенств

(x) D(R1 )

справедлива следующая цепоч-

+

(x), (x) = - (x), (x) = -
0

(x) dx =
+
0

= -(x)

= (0) = (x), (x) .


156

Лекция 12. Пространства распределений

ПРИМЕР

13.

Пусть

функция

f (x)

такова,

что

f (x)

C1 (x

x0 ) C1 (x

x0 ).

Покажем, что
0

f = {f (x)} + [f ]x (x - x0 )
где
0

,

(x - x0 ) -функция Дирака: (x - x0 ), = (x0 ) для всех D, [f ]x = f (x0 + 0) - f (x0 - 0) скачок функции f (x) в точке x0 , {f (x)} классическая производная там, где она существует. 1 Действительно, если (x) D(R ), то f , = - f , = - f (x) (x) dx = = [f (x0 + 0) - f (x0 - 0)] (x0 ) + {f (x)}(x)dx = = {f (x)} + [f ]x (x - x0 ), .
0

ПРИМЕР

1 4 . Доказать, что в

D (R )
1

имеет место равенство

d1 1 P = -P 2 . dx x x
Пусть

(x) D(R1 ),

тогда

d1 P , (x) dx x =- P (x) = - lim +0 x = - lim -
- -
1

x

,

(x)

= - lim
+
0

+
+

-

+
- -

+0

(-) () - + - - + (x) - (0) dx = + + x2
-

(x) dx = x - + (x) dx = + x2 + (0) dx+ + x2 +

-

+



= - lim

+0

(-) - (0) () - (0) - -
1

-P (x)

1

x2

,

(x)
1

=
,

= - (0 - 0) + (0 + 0) - P
так как

x2

,

=- P
.

x2

(x)

,

(0 - 0) = (0 + 0)

для любой

ПРИМЕР ного уравнения

1 5 . Найти общее

(x) D(R1 ) 1 решение в D (R )
1

дифференциаль-

x2 y

=P . x


2. Пространство распределений с компактным носителем

157

Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным и неоднородным, то общее решение представимо в виде суммы

y1 (x) D (R1 ) некоторого частного решения неоднородного уравнения 1 и y2 (x) D (R ) общего решения соответствующего однородного
уравнения. Найдем эти составляющие в отдельности:

x2 y1 = P . x
Можно доказать, что

1

x2 P
где функционал

1

x

3

=P
1

1

x

,

P
определяется выражением

x

3

P

1

x3

,

(x) y1

= V .p.
R
1

(x) - (0) - x (0) dx. x3

Стало быть, функция

подходит на роль частного решения неодно-

родного уравнения, если

y1 = P
Можно доказать, что 1 d ln |x| = P dx x Поэтому для функции ,

1

x

3

.

d1 1 P = -P 2 dx x x
1 2

,

d 1 1 P = - 2P 3 . dx x2 x

y1 (x) y1 =
1 2

ln |x|
1

имеем: 1 2 1 ,

y1 (x) =

1 2

ln |x|,

P

x

,

y1 = - P

x2

y1 = P

1

x3

.

Тем самым частное решение построено. Известно, что общим решением уравнения

xm u =
является функция

0

в

D (R1 )

m-1

u=
k=0
Поскольку уравнению составляющая

ck

(k)

(x).
дифференциальному

y2 (x)

удовлетворяет 0,

x2 y2 =
то

y

2

= c0 (x) + c1 (x).


158

Лекция 12. Пространства распределений

Проинтегрируем это уравнение последовательно три раза.

y2 = c0 (x) + c1 (x) + c2 x
2

, ,

y2 = c0 x(x) + c1 (x) + c2 x + c3 y2 = c0
2

(x) + c1 x(x) + c2

x

2

2

+ c3 x + c4 .

Итак, общим решением является функция

y=
где ПРИМЕР

1 2

ln |x| + c0 x2 + c1 x (x) + c2 x2 + c3 x + c4
это произвольные постоянные. 1 6 . Определим обобщенную функцию

,

c0 , c1 , c2 , c3 , c4

(at - |x|) D (R2 ),
равенством

a>

0,

(at - |x|) = (t) (at + x) + (t) (at - x)
где обобщенные функции ны переменных

,

(t) (at + x) есть результаты линейной заме = t, = at + x у обобщенной функции ( ) ( ), т. е.
+

(t) (at + x), (t, x) =
0

(t, -at) dt,
+

(t) (at - x), (t, x) =
0

(t, at) dt.

ПРИМЕР

1 7 . Доказать, что в

D (R2 )

(at - |x|) = a (at - |x|). t
Здесь

(at - |x|) =
Пусть

1, 0,

при при

at - |x| 0, at - |x| < 0.

(t, x) D(R2 ),

тогда

(at - |x|), (t, x) t
0

= - (at - |x|),
+

t dx

=
+

=-
-

dx
-x/a

dt - t

+

dt = t

0

x/a


2. Пространство распределений с компактным носителем
0

159

=-
-

(t, x)

+ -x/a

+

dx -
0 0

(t, x)

+ x/a

dx =
+

=
-

x - , x dx + a


0

x , x dx. a
, а во-

В первом интеграле осуществим замену переменных втором

= -x/a

= x/a,

тогда получим цепочку равенств
0

(at - |x|), (t, x) t

+

= -a
-

( , -a ) d + a
0

( , a ) d =

= a ( (t) (at + x), (t, x) + (t) (at - x), (t, x) ) = = a (at - |x|), (t, x) .
Из определения 12 вытекает, что все обобщенные функции из

D

бесконечное число раз дифференцируемые. Это наводит на следующее соображение а может быть, все обобщенные функции являются производными конечного порядка от обобщенных функций? Оказывается наше условное деление на регулярные и сингулярные функции совершенно не случайно! Все обобщенные функции можно получить из класса регулярных обобщенных функций с помощью операции дифференцирования. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 5. Пусть

f D R

N

это произвольное распределение.

Тогда найдется такой компакт



ZN + f


KR

N

, такой мультииндекс

и

такая

непрерывная

функция

f (x) C R

N



, что имеет

место представление

,

= (-1)|
2,

| RN

f (x) (x) dx
2,

для всех

(D(K), K )

,

(2.6)

где

= (n +

n+

..., n + 2). K Q,
где

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что компакт

Q xR
Для всякой функции мула среднего значения:

N

:

0

xk

1,

k=

1,

N.

(x) (D(Q), Q ) | (x)|

справедлива следующая фор-

max |xi (x)| .
xQ x2

(2.7)

Введем оператор:

x
1

ћћћ

x

N

.


160

Лекция 12. Пространства распределений

Для любой функции ставление:

(x) (D(Q), Q )
x
N

имеет место следующее пред-

x

1

x

2

(x) =
0

dy

1 0

dy2 ћ ћ ћ
0

dyN y y ћ ћ ћ
1 2

y

N

(y ) =
2

x

1

x

x

N

=
0

dy

1 0

dy2 ћ ћ ћ
0

dyN y (y ). (D(K), K )

(2.8)

Напомним, что на локально выпуклом пространстве логия

топо-

K

определяется счетной системой норм:



n

max sup | (x)| .
|| n xK

Из (2.8) вытекает равенство

x1

x

2

xN

(x) =
0



dy1
0

dy2 ћ ћ ћ
0

dyN y y (y ) dy .

(2.9)

Действительно, достаточно в формуле (2.8) взять вместо функции функцию

y (y ).

(y )

Отсюда и из формулы (2.7) получаем неравенство



n Q



n+1

(y ) dy

,

(2.10)

которое справедливо для всех любого распределения

(x) D(Q).

С другой стороны, для

f D
n

найдется такое

nN

и такое число

M>

0, что имеет место неравенство

|f



,

|

M

для всех

(x) (D(K), K ) .

Поэтому отсюда и из (2.10) получим следующее неравенство:

|f



,

|

M
K



n+1

(x) dx

для всех

(x) (D(K), K ) (D(Q), Q ) . , как мы (D(K), K ).
по (2.11) уже Дей-

Теперь заметим, что оператор дифференцирования отмечали, ным действует ядром инъективно ствительно, оператора которые,





из

(D(K), K )

в

являются

полиномы

перемен-

{x1 , x2 , ..., xN }, (D(K), K ) тогда и

очевидно,

принадлежат

пространству

только тогда, когда это полиномы с нулевыми

коэффициентами. Поэтому оператор



n+1

: (D(K), K ) (D(K), K )


2. Пространство распределений с компактным носителем

161

является инъективным. Введем векторное пространство

Xn

n+1

D(K)

,

которое действительно векторное, как инъективный образ векторного пространства. Определим теперь на

X

n линейный функционал:
,

f
где


1

,



nn

f



,

(2.12)

n = n+1 , D(K). Причем n Xn имеет место неравенство |f

1

из (2.11) вытекает, что для всех

,



nn

|

M
K



n+1

(x) dx = M |n (x)| dx.
K f1

Следовательно, по теореме ХанаБанаха линейный функционал можно продолжить с ство

X =

говоря, найдется такая функция

n до линейного функционал над

L (K).
1

Иначе

g (x) L

(K)

, что имеет место равен-

f


1

,



nn

g (x)n (x) dx =
K K

g (x)

n+

1

(x) dx.

Отсюда и из (2.12) мы пришли к равенству

f



,

=
K

g (x)

n+

1

(x) dx

для некоторой

g (x) L (K) .
компакта функцию

(2.13)

Теперь продолжим функцию образом, получим, что

g (x) нулем вне g (x) L RN . Введем
x1 x
2

K

и, таким

xN

f (x) = (-1)

N -

dy1
-

dy2 ћ ћ ћ
-

dyN g (y )

и тогда, интегрируя по частям в (2.13), получим равенство

f



,

=
RN

f (x)
+2

n+

2

(x) dx =
n+
2

= (-1)n
где по

f (x)
RN

(x) dx

для всех

(x) D(K),
.

(2.14)

построению

осталось положить равенство

f (x) = (-1)n+2 f (x) C RN = (n + 2, n + 2, ..., n + 2) и получить
функция

Теперь

из (2.14)

f



,

= (-1)

|| RN

f (x) (x) dx

для всех

(x) D(K).

Те о р е м а
6

доказана.

М. О. Корпусов, А. А. Панин


162

Лекция 12. Пространства распределений

Замечание

6.

обобщенная функция

f D

Из теоремы 11 вытекает, что локально каждая представима как производная конечного

порядка от некоторой непрерывной функции. В следующей теореме мы докажем, что это, на самом деле, глобальный результат. Рассмотрим теперь понятие носителя обобщенной функции. Будем говорить, что обобщенная функция некотором открытом множестве

f D RN , если D,

обращается в нуль на

f



,

=

0

для всех

supp{} RN .
обобщенной функции

Дадим определение. Определение
из

1 3 . Носителем

supp{f }

D

назовем наименьшее замкнутое множество в

она обращается в нуль на множестве

Т е о р е м а 6. Пусть
это компакт в

f D RN

и

RN такое, что RN \ supp{f }. носитель supp{f } K, где K

f (x) C f

,

0

R

N

R.

N

Тогда существуют такие непрерывные функции

, что

=

i

(-1)|
n+
2

| R
N

f (x) (x) dx

для всех

D R

N

.

Доказательство. Пусть компакт

D R . Пусть и U компакт. Применим f

,

N

KR U это
|| R
N

N

носитель обобщенной функции

открытое множество в

формулу (2.6) к компакту

R U

N

такое, что :

f KU

= (- 1)

f (x) (x) dx

для всех

(x) D U .
мы потребуем, чтобы Поскольку

Пусть теперь

(x) D RN

, а от функции

она была равна 1 в окрестности компакта носитель обобщенной функции равенств:

f



(x) K.

K

это

, то имеет место следующая цепочка

f



,

=f



,

= (-1)|
| R
N

| RN

f (x) ((x) (x)) dx = c
-

= (-1)|

f (x)
i i =n+
2

(x) (x) dx =
| | RN

=
i n+2
где

(-1)

f (x) (x) dx

,

f (x) = (-1)|
Те о р е м а

|-| |

c f (x)

-

(x) C0 RN .

доказана.


2. Пространство распределений с компактным носителем

163

З а м е ч а н и е 7 . Тем самым мы пришли к следующему глобальному результату: каждая обобщенная функция с компактным носителем представима в виде

f (x) =

где
i

f (x),
n+
2

f (x) C0 R

N

.

Теперь мы докажем один важный результат, тоже относящийся к распределениям с компактным носителем и производной. Т е о р е м а 7. Пусть носитель обобщенной функции
из одной точки

supp{f } = {0} f (x) =

f D

состоит

, тогда имеет место равенство:

c x (x). | | m

Доказательство. Поскольку пактное

f D RN N множество K R |f

,

, то согласно лемме 1 найдется такое коми постоянная

M>


0, что (2.15)

|

M max sup | (x)|
|| m xK

для всех

(x) (D(K), K )

. Рассмотрим следующую функцию

=
где функция равенство

(x)

равна 1 при

носитель обобщенной функции

|x| f

x (x), 1/2 и нулю

при

состоит из точки

|x| {0 }

1. Поскольку , то имеет место

f



,

=f =f

,

= x [(x) - P
,



2

m+

1

()] + f



,



x P
x=

2

m+

1

()

,

(2.16)

где

P

2

m+1

()
| |
2m

+1

x (x) !

x .
0

Прежде всего заметим, что последнее слагаемое в неравенстве (2.16) не зависит от

x= f


0 функции ,

> 0. Действительно, поскольку x = 1 = (x), то имеет место () =

,

в окрестности точки цепочка равенств



x P2

m+1

=f

(x)P

2m

+

1

() =
| |
2

c x (0) = m+1

=
| |
6* 2

c x (x), m+1

,

c

f



,

(x)x . !

(2.17)


164

Лекция 12. Пространства распределений

Теперь воспользуемся неравенством (2.15) для величины

f



,



x [(x) - P

2m

+1

()] .

Действительно, справедлива следующая цепочка неравенств

f



,



x [(x) - P2m+1 ()] x max sup [(x) - P || m xK
1

2

m+

1

()]
2m

m

| | m | x |

max sup | [(x) - P

+1

()]|

c

,

поскольку имеет место цепочка выражений:

(x) - P

2m

+

1

() =
2m

+2 | | n
.

(0) ( )! x ! ( - - 1)! >

-

+ o(|x|n

+1

)

при достаточно большом утверждение теоремы. Те о р е м а функциями из

nN

Отсюда в силу произвольности доказана.

0 из (2.16) и (2.17) вытекает

В заключение мы рассмотрим еще одну операцию над обобщенными

D

операцию свертки. Сначала введем операцию

свертки основных функций. Действительно, пусть тогда рассмотрим следующее выражение:

(x), (x) D R

N


RN

(x - y ) (y ) dy .

(2.18)

Прежде всего отметим, что интеграл в правой части равенства (2.18) определен для всех

x RN

, поскольку обе функции из

D.

Кроме того,

можно ввести оператор сдвига с отражением

Tz :

Tz u(x) u(z - x),
с помощью которого легко преобразовать выражение (2.18):

=
RN

Ty (x) (y ) dy .

Теперь попробуем определить свертку основной и обобщенной функций. Пусть сначала обобщенная функция с представителем основной

f (x) L1oc RN . l функцией (x) D можно f =
RN

f D

является регулярной

Тогда ее свертку с произвольной представить в следующем виде:

(x - y )f (y ) dy =
RN

f (y )Ty (x) dy .


3. Литературные указания.

165

Но это выражение нам подсказывает, как определить свертку произвольной обобщенной функции с основной функцией. Дадим следующее определение. Определение
основной функцией

1 4 . Сверткой обобщенной функции

f D

с

(x) D

называется следующая конструкция:

f f (y ), Ty (x) .
Можно также ввести свертку двух обобщенных функций. По этому поводу смотри работу [6]. Мы же на этом закончим исследование пространства

D

. 8. Отметим что все результаты этого параграфа

Замечание

остаются в силе, если рассмотреть вместо



есть открытое подмножество

RN

D

пространство

D ()

, где

.

3. Литературные указания.
В данной лекции мы использовали материал, изложенный в работах [3], [6], [11], [12], [17], [18], [26], [28], [29], [30] и [32].