Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/for_schools/KKO_handouts.pdf Дата изменения: Thu Dec 24 14:31:50 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:38:24 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: южный полюс

Листок 1
1 б) 2
10;

малый мехмат мгу школе
а)
8;

Листок 1
1 б) 2
10;

малый мехмат мгу школе
а)
8;

Можно ли расставить вдоль стен прямоугольной комнаты

Можно ли расставить вдоль стен прямоугольной комнаты

в)

12 табуреток так, чтобы около каждой стены стояло по

в)

12 табуреток так, чтобы около каждой стены стояло по

три табуретки? Коллекционер Незнайка собирает наклейки и вклеивает их в

три табуретки? Коллекционер Незнайка собирает наклейки и вклеивает их в

альбом. Перед ним на столе лежит (см. рисунок) несколько треугольных наклеек, одинаковых по форме, но одна из них вс? же отличается от других. Какая?

альбом. Перед ним на столе лежит (см. рисунок) несколько треугольных наклеек, одинаковых по форме, но одна из них вс? же отличается от других. Какая?

3

После семи стирок и длина, и ширина, и высота

3

После семи стирок и длина, и ширина, и высота

куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска? (На каждую стирку расходуется одно и то же количество мыла.)

куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска? (На каждую стирку расходуется одно и то же количество мыла.)

4 5

Подсчитайте

точно,

сколько ступенек у лест-

4 5

Подсчитайте

точно,

сколько ступенек у лест-

ницы на рисунке справа. Альпинист стоит на вершине отвесной скалы

ницы на рисунке справа. Альпинист стоит на вершине отвесной скалы

высотой 100 м с уступом на высоте 50 м. У него есть 77-метровая вер?вка и нож. На вершине скалы и на уступе вбиты колышки, к которым можно привязать вер?вку. Альпинист хочет успеть к обеду добраться до лагеря, находящегося у подножия скалы. Как ему спуститься со скалы (разумеется, не прыгая)?

высотой 100 м с уступом на высоте 50 м. У него есть 77-метровая вер?вка и нож. На вершине скалы и на уступе вбиты колышки, к которым можно привязать вер?вку. Альпинист хочет успеть к обеду добраться до лагеря, находящегося у подножия скалы. Как ему спуститься со скалы (разумеется, не прыгая)?

6

Ваза, изображ?нная на рисунке слева, составлена

6

Ваза, изображ?нная на рисунке слева, составлена

из шести одинаковых четвертинок окружностей.

из шести одинаковых четвертинок окружностей.

а) б)

Разрежьте е? на части, из которых можно слоСделайте это, разрезав вазу не более, чем на

а) б)

Разрежьте е? на части, из которых можно слоСделайте это, разрезав вазу не более, чем на

жить квадрат. три части.

жить квадрат. три части.


Листок 2. Логические задачи
1
имеют дельтовый цвет.

малый мехмат мгу школе

Листок 2. Логические задачи
1
имеют дельтовый цвет.

малый мехмат мгу школе

Уч?ные планеты Сигма-Альфа обнаружили, что все лямбдоиды

Уч?ные планеты Сигма-Альфа обнаружили, что все лямбдоиды

а) б) 2

В их лабораторию приш?л образец дельтового цвета. Правда В их лабораторию приш?л образец эпсилонового цвета. Прав-

а) б) 2

В их лабораторию приш?л образец дельтового цвета. Правда В их лабораторию приш?л образец эпсилонового цвета. Прав-

ли, что это лямбдоид? да ли, что это не лямбдоид? Мальчик Костя говорит: ?Позавчера мне было 10 лет, а в следу-

ли, что это лямбдоид? да ли, что это не лямбдоид? Мальчик Костя говорит: ?Позавчера мне было 10 лет, а в следу-

ющем году мне исполнится 13. Мальчик Костя кристально честен. Как такое может быть?

ющем году мне исполнится 13. Мальчик Костя кристально честен. Как такое может быть?

Несколько следующих задачах о рыцарях и лжецах. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.
3
Однажды путешественник задал рыцарю дважды один и тот же странный вопрос. В первый раз рыцарь ответил ?нет?, а во второй ?да?. Что это мог быть за вопрос?

Несколько следующих задачах о рыцарях и лжецах. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.
3
Однажды путешественник задал рыцарю дважды один и тот же странный вопрос. В первый раз рыцарь ответил ?нет?, а во второй ?да?. Что это мог быть за вопрос?

4

В город, насел?нный рыцарями и лжецами, приехал барон Мюнх-

4

В город, насел?нный рыцарями и лжецами, приехал барон Мюнх-

гаузен. Первым делом он нанял себе проводника, однако не смог выяснить, рыцарь он или лжец. Поэтому, увидев подозрительного незнакомца, он попросил проводника выяснить, кто этот человек. Проводник вернулся и сказал: ?Он назвался лжецом. теперь барон, кем был незнакомец?

гаузен. Первым делом он нанял себе проводника, однако не смог выяснить, рыцарь он или лжец. Поэтому, увидев подозрительного незнакомца, он попросил проводника выяснить, кто этот человек. Проводник вернулся и сказал: ?Он назвался лжецом. теперь барон, кем был незнакомец?

а)

Знает ли

а)

Знает ли

б)

А кто проводник?

б)

А кто проводник?

5

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью и восе-

5

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью и восе-

мью ногами. Те, у кого семь ног, всегда лгут, а у кого шесть или восемь ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: ?Вместе у нас 28 ног, зел?ный: ?Вместе у нас 27 ног, ж?лтый: ?Вместе у нас 26 ног, красный: ?Вместе у нас 25 ног. У кого сколько ног?

мью ногами. Те, у кого семь ног, всегда лгут, а у кого шесть или восемь ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: ?Вместе у нас 28 ног, зел?ный: ?Вместе у нас 27 ног, ж?лтый: ?Вместе у нас 26 ног, красный: ?Вместе у нас 25 ног. У кого сколько ног?

6

Однажды на главной площади города, где живут рыцари и лже-

6

Однажды на главной площади города, где живут рыцари и лже-

цы, собрались шестеро горожан. Среди нас ровно один рыцарь, сказал первый. Я тоже так считаю, ответил второй. Нет, рыцарей среди нас ровно два! заявил третий. А я считаю, что рыцарей здесь трое, сказал четв?ртый.

цы, собрались шестеро горожан. Среди нас ровно один рыцарь, сказал первый. Я тоже так считаю, ответил второй. Нет, рыцарей среди нас ровно два! заявил третий. А я считаю, что рыцарей здесь трое, сказал четв?ртый.


малый мехмат мгу школе
Ну, по крайней мере один рыцарь среди нас есть, заметил пятый. И вс?-таки рыцарей здесь только два, уверенно произн?с шестой. Сколько же было среди них рыцарей на самом деле? тый.

малый мехмат мгу школе
Ну, по крайней мере один рыцарь среди нас есть, заметил пя И вс?-таки рыцарей здесь только два, уверенно произн?с шестой. Сколько же было среди них рыцарей на самом деле?

7

Однажды у капитана пиратского корабля пропала карта сокро-

7

Однажды у капитана пиратского корабля пропала карта сокро-

вищ. Он собрал своих тр?х помощников и спросил, кто из них взял карту. Карту взял Джо, отозвался первый помощник. Дрейк не брал карту, сказал второй помощник. Я карту не брал, заявил третий. Капитан сразу понял, что Джо соврал, а Дрейк сказал правду. А кто же вс?-таки взял карту?

вищ. Он собрал своих тр?х помощников и спросил, кто из них взял карту. Карту взял Джо, отозвался первый помощник. Дрейк не брал карту, сказал второй помощник. Я карту не брал, заявил третий. Капитан сразу понял, что Джо соврал, а Дрейк сказал правду. А кто же вс?-таки взял карту?


Листок 3. Семь раз отмерь один раз отрежь
1 2
Есть два ведра: одно ?мкостью 4 л, другое 9 л. Можно ли только с их помощью набрать из реки ровно 6 л воды? Три вора украли у чародея колбу с 24 унциями волшебного зелья. Спешно унося ноги, они встретили в лесу продавца стеклянной посуды, у которого приобрели три сосуда. Найдя укромное местечко, воры решили разделить добычу, но тут обнаружили, что вместимость их сосудов 5, 11 и 13 унций. Как им разделить между собой зелье поровну? (В отличие от воды, зелье нельзя выливать.)

малый мехмат мгу школе

Листок 3. Семь раз отмерь один раз отрежь
1 2
Есть два ведра: одно ?мкостью 4 л, другое 9 л. Можно ли только с их помощью набрать из реки ровно 6 л воды? Три вора украли у чародея колбу с 24 унциями волшебного зелья. Спешно унося ноги, они встретили в лесу продавца стеклянной посуды, у которого приобрели три сосуда. Найдя укромное местечко, воры решили разделить добычу, но тут обнаружили, что вместимость их сосудов 5, 11 и 13 унций. Как им разделить между собой зелье поровну? (В отличие от воды, зелье нельзя выливать.)

малый мехмат мгу школе

3

Есть два бикфордовых шнура. Шнуры при поджигании горят

3

Есть два бикфордовых шнура. Шнуры при поджигании горят

неравномерно, но каждый полностью сгорает за одну минуту. Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд?

неравномерно, но каждый полностью сгорает за одну минуту. Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд?

4

На поджаривание котлеты с одной стороны уходит две мину-

4

На поджаривание котлеты с одной стороны уходит две мину-

ты. На сковородке помещаются две котлеты. За какое наименьшее время можно поджарить три котлеты с обеих сторон?

ты. На сковородке помещаются две котлеты. За какое наименьшее время можно поджарить три котлеты с обеих сторон?

5

Можно ли разлить 50 л бензина по тр?м бакам так, чтобы в

5

Можно ли разлить 50 л бензина по тр?м бакам так, чтобы в

первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а во втором на 21 литр больше, чем в третьем?

первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а во втором на 21 литр больше, чем в третьем?

6

Есть двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша варится

6

Есть двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша варится

15 мин. Как с помощью этих часов отмерить нужное время?

15 мин. Как с помощью этих часов отмерить нужное время?


Листок 4. Разрезания
1
Разрежьте фигуры на


малый мехмат мгу школе

Две фигуры считаются равными, если они одинаковы по форме и по размеру (их можно совместить наложением, если вырезать из бумаги).
2
равные части.


Листок 4. Разрезания
1
Разрежьте фигуры на


малый мехмат мгу школе

Две фигуры считаются равными, если они одинаковы по форме и по размеру (их можно совместить наложением, если вырезать из бумаги).
2
равные части.


2

Можно ли разрезать эти фигуры на


2

равные части?


2

Можно ли разрезать эти фигуры на


2

равные части?


3

Как разрезать эти фигуры на


3

равные части?


3

Как разрезать эти фигуры на


3

равные части?


4

Разрежьте фигуру

фигуру

В

на фигуры


в

А

на фигуры

а

, фигуру

Б

на фигуры

б

,а

4

Разрежьте фигуру

.


фигуру

В

на фигуры


в

А

на фигуры

а

, фигуру

Б

на фигуры

б

,а

.














5

Нарисуйте фигуру, которую можно сложить из пяти фигурок

а потом разрезать на четыре фигурки

Т

Т,

5

Нарисуйте фигуру, которую можно сложить из пяти фигурок

.

а потом разрезать на четыре фигурки

Т

Т,

.










малый мехмат мгу школе
6
Попробуйте разрезать эти фигуры на


малый мехмат мгу школе
6
Попробуйте разрезать эти фигуры на


2

равные части.

2

равные части.










Листок 5
1
она была уже в 10 метрах от не??

малый мехмат мгу школе

Листок 5
1
она была уже в 10 метрах от не??

малый мехмат мгу школе

Медленно-медленно полз?т улитка по склону горы Фудзияма.

Медленно-медленно полз?т улитка по склону горы Фудзияма.

За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3 метра вниз. Когда она дополз?т до вершины, если утром в понедельник

За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3 метра вниз. Когда она дополз?т до вершины, если утром в понедельник

2

Если бы Иван Никифорович отдал Ивану Ивановичу половину

2

Если бы Иван Никифорович отдал Ивану Ивановичу половину

своих гусей, то Ивана Ивановича стало бы на десять гусей больше, чем у Ивана Никифоровича. Сколько гусей было у Ивана Ивановича?

своих гусей, то Ивана Ивановича стало бы на десять гусей больше, чем у Ивана Никифоровича. Сколько гусей было у Ивана Ивановича?

3

Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют

3

Двое часов начали и закончили бить одновременно. Первые бьют

через каждые две секунды, вторые через каждые три секунды. Всего можно было услышать 13 ударов (совпавшие удары считаются за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

через каждые две секунды, вторые через каждые три секунды. Всего можно было услышать 13 ударов (совпавшие удары считаются за один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

4

Ковбой решил купить патроны для револьвера. Оказалось, что

4

Ковбой решил купить патроны для револьвера. Оказалось, что

10 патронов стоят больше 11 долларов, а 9 патронов стоят меньше 10 долларов. Сколько центов стоит один патрон?

10 патронов стоят больше 11 долларов, а 9 патронов стоят меньше 10 долларов. Сколько центов стоит один патрон?

5

На лужайке росли ж?лтые и белые одуванчики всего 35 штук.

5

На лужайке росли ж?лтые и белые одуванчики всего 35 штук.

После того как 8 белых облетели, а 2 ж?лтых побелели, ж?лтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько ж?лтых одуванчиков росло на лужайке в начале?

После того как 8 белых облетели, а 2 ж?лтых побелели, ж?лтых одуванчиков стало вдвое больше, чем белых. Сколько белых и сколько ж?лтых одуванчиков росло на лужайке в начале?

6 а) б)

Чтобы не заснуть, глядя на поплавки, рыбак начал рассуждать Если 3 карася тяжелее 4 окуней, значит ли это, что 4 карася Если 4 окуня тяжелее 3 лещей, значит ли это, что 5 окуней

6 а) б)

Чтобы не заснуть, глядя на поплавки, рыбак начал рассуждать Если 3 карася тяжелее 4 окуней, значит ли это, что 4 карася Если 4 окуня тяжелее 3 лещей, значит ли это, что 5 окуней

над теоретическими вопросами: тяжелее 5 окуней? тяжелее 4 лещей? Пока он думал, рыба уплыла вместе с его удочками. А какие же правильные ответы на эти вопросы? (Все рыбы одного вида весят одинаково.)

над теоретическими вопросами: тяжелее 5 окуней? тяжелее 4 лещей? Пока он думал, рыба уплыла вместе с его удочками. А какие же правильные ответы на эти вопросы? (Все рыбы одного вида весят одинаково.)


Листок 6
1 2
ку сыра тремя разрезами?

малый мехмат мгу школе

Листок 6
1 2
ку сыра тремя разрезами?

малый мехмат мгу школе

На какое наибольшее количество частей можно разрезать голов-

На какое наибольшее количество частей можно разрезать голов-

У хозяйки был круглый торт с розочками из крема. Она разре-

У хозяйки был круглый торт с розочками из крема. Она разре-

зала его на части так, чтобы в каждой части была ровно одна розочка. Всего она сделала три разреза. Сколько розочек могло быть на торте?

зала его на части так, чтобы в каждой части была ровно одна розочка. Всего она сделала три разреза. Сколько розочек могло быть на торте?

3

На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько

3

На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько

частей разделена поверхность глобуса? (Меридиан дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель это окружность, параллельная экватору.)

частей разделена поверхность глобуса? (Меридиан дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель это окружность, параллельная экватору.)

4

В стене имеется маленькая (точечная) дырочка. У хозя-

4

В стене имеется маленькая (точечная) дырочка. У хозя-

ина есть флажок, изображ?нный на рисунке. Покажите все точки, в которые можно вбить гвоздь так, чтобы флажок закрывал дырку.

ина есть флажок, изображ?нный на рисунке. Покажите все точки, в которые можно вбить гвоздь так, чтобы флажок закрывал дырку.

5 6

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько

5 6

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько

кругов, сумма диаметров которых больше 5 м? Из 10 кубиков собрали пирамидку, изображ?нную на рисунке.

кругов, сумма диаметров которых больше 5 м? Из 10 кубиков собрали пирамидку, изображ?нную на рисунке.

Переложите кубики так, чтобы форма пирамидки осталась прежней, но ни один кубик не соприкасался с кубиками, с которыми соприкасался до перекладывания.

Переложите кубики так, чтобы форма пирамидки осталась прежней, но ни один кубик не соприкасался с кубиками, с которыми соприкасался до перекладывания.

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10 7 4 8 2

1 3 5 9 6 10


Листок 7. Кубики
1


малый мехмат мгу школе

Листок 7. Кубики
1


малый мехмат мгу школе

Сколько кубиков в каждой из этих пирамидок?


Сколько кубиков в каждой из этих пирамидок?


2 3

А сколько кубиков станет в этих пирамидках, если сделать их

2 3

А сколько кубиков станет в этих пирамидках, если сделать их

на этаж выше (не меняя принципа, по которому они построены)? Какие из этих кубиков можно сложить из разв?ртки, изобра-

на этаж выше (не меняя принципа, по которому они построены)? Какие из этих кубиков можно сложить из разв?ртки, изобра-

ж?нной на рисунке, а какие нет?


ж?нной на рисунке, а какие нет?














4

Из каких из этих фигур можно сложить куб, а из каких нельзя?


4

Из каких из этих фигур можно сложить куб, а из каких нельзя?


5

На рисунках А, Б и В изображ?н один и тот же кубик. Какой

5

На рисунках А, Б и В изображ?н один и тот же кубик. Какой

цвет имеет грань, расположенная напротив красной?

цвет имеет грань, расположенная напротив красной?
















предварительно

6

Как из квадрата

3Ч3

сложить куб

1 Ч 1 Ч 1,

6

Как из квадрата

3Ч3

сложить куб

1 Ч 1 Ч 1,

предварительно

сделав всего два надреза?

сделав всего два надреза?


Листок 8. Графы
1

малый мехмат мгу школе

Листок 8. Графы
1

малый мехмат мгу школе

Между планетами Солнечной системы введено космическое со-

Между планетами Солнечной системы введено космическое со-

общение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля Меркурий, Сатурн Венера, Земля Сатурн, Сатурн Меркурий, Меркурий Венера, Уран Нептун, Юпитер Марс, Марс Уран и Нептун Юпитер. Можно ли добраться с Земли до Марса?

общение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля Меркурий, Сатурн Венера, Земля Сатурн, Сатурн Меркурий, Меркурий Венера, Уран Нептун, Юпитер Марс, Марс Уран и Нептун Юпитер. Можно ли добраться с Земли до Марса?

2

Можно ли сделать несколько ходов конями так, чтобы они из

2

Можно ли сделать несколько ходов конями так, чтобы они из

положения, изображенного на левом рисунке, перешли в положение на правом рисунке?

положения, изображенного на левом рисунке, перешли в положение на правом рисунке?

M m
3

Z

M m

m M

Z

M m
3

M m

Z

M m

m M

Z

M m

На день рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Ми-

На день рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Ми-

тя, Петя, Соня и Тимур. Покажите, как восьмерых ребят можно рассадить за круглый стол, чтобы у любых двух рядом сидящих встречались одинаковые буквы в именах.

тя, Петя, Соня и Тимур. Покажите, как восьмерых ребят можно рассадить за круглый стол, чтобы у любых двух рядом сидящих встречались одинаковые буквы в именах.

4

Впишите в кружки числа так, чтобы каждое следующее в на-

4

Впишите в кружки числа так, чтобы каждое следующее в на-

правлении стрелок число получалось из предыдущего при помощи указанного действия.

правлении стрелок число получалось из предыдущего при помощи указанного действия.

Ч4 +4

Ч4 +4

+6 ч6 ч4

+6 ч6 ч4 Ч3

+3

+3 Ч3


малый мехмат мгу школе
5
В стране Сем?рка 15 городов, и каждый из них соедин?н до-

малый мехмат мгу школе
5
В стране Сем?рка 15 городов, и каждый из них соедин?н дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой (возможно, проезжая транзитом через другие города).

рогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой (возможно, проезжая транзитом через другие города).

6

Группа островов соединена мостами так, что от каждого острова

6

Группа островов соединена мостами так, что от каждого острова

можно добраться до любого другого. Турист обош?л все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове побывал трижды. Сколько мостов вед?т с острова

можно добраться до любого другого. Турист обош?л все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове побывал трижды. Сколько мостов вед?т с острова

A

турист

A

турист

A,

если турист

A,

если турист

а) 7

не с него начал и не на н?м закончил;

б)

с него начал, но не на

а) 7

не с него начал и не на н?м закончил;

б)

с него начал, но не на

н?м закончил;

в)

с него начал и на н?м закончил?

н?м закончил;

в)

с него начал и на н?м закончил?

Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и

Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и

сделавших неч?тное число рукопожатий, ч?тно.

сделавших неч?тное число рукопожатий, ч?тно.


Листок 9. Графы 2
1
Могло ли такое быть?

малый мехмат мгу школе

Листок 9. Графы 2
1
Могло ли такое быть?

малый мехмат мгу школе

Пешеход обош?л несколько улиц одного города, пройдя каждую

Пешеход обош?л несколько улиц одного города, пройдя каждую

ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз.

ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз.

2 Задача о к?нигсбергских мостах.

Город К?нигсберг (ныне

2 Задача о к?нигсбергских мостах.

Город К?нигсберг (ныне

Калининград) был расположен на берегах реки Прегель (ныне Преголя) и двух островах, которые соединены семью мостами (см. рисунок). Можно ли было прогуляться по городу, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

Калининград) был расположен на берегах реки Прегель (ныне Преголя) и двух островах, которые соединены семью мостами (см. рисунок). Можно ли было прогуляться по городу, пройдя по каждому мосту ровно один раз?

3

Расставьте в кружочках числа 1, 2, 3, ..., 8 так, чтобы ни в каких

3

Расставьте в кружочках числа 1, 2, 3, ..., 8 так, чтобы ни в каких

двух соедин?нных отрезком кружочках не оказались бы соседние (то есть отличающиеся на 1) натуральные числа.

двух соедин?нных отрезком кружочках не оказались бы соседние (то есть отличающиеся на 1) натуральные числа.

4 5

В турнире участвовало девять шахматистов. Мог ли каждый

4 5

В турнире участвовало девять шахматистов. Мог ли каждый

сыграть по три партии? Могут ли степени вершин в графе быть равны:

сыграть по три партии? Могут ли степени вершин в графе быть равны:

а) б) в) 6

8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1; 6, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 2?

а) б) в) 6

8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2; 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1; 6, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 2?

В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта ков?р-самолет.

В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта ков?р-самолет.

Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний одна, а из всех остальных городов по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).

Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний одна, а из всех остальных городов по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).


Листок 10. Логические задачи 2
1 2

малый мехмат мгу школе

Листок 10. Логические задачи 2
1 2

малый мехмат мгу школе

Встретились три рыцаря: Красный, Белый и Ч?рный. У них бы-

Встретились три рыцаря: Красный, Белый и Ч?рный. У них бы-

ли белый, красный и ч?рный щиты. Рыцарь с белым щитом сказал Ч?рному рыцарю: ?Интересно, что цвет щита у каждого из нас не соответствует имени. Какого цвета щит у каждого рыцаря? Есть три попугая Гоша, Кеша и Рома. Один из попугаев все-

ли белый, красный и ч?рный щиты. Рыцарь с белым щитом сказал Ч?рному рыцарю: ?Интересно, что цвет щита у каждого из нас не соответствует имени. Какого цвета щит у каждого рыцаря? Есть три попугая Гоша, Кеша и Рома. Один из попугаев все-

гда говорит правду, другой всегда вр?т, а третий хитрец: иногда говорит правду, иногда вр?т. На вопрос ?Кеша кто? они ответили: Гоша: Лжец. Кеша: Я хитрец! Рома: Абсолютно честный попугай. Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

гда говорит правду, другой всегда вр?т, а третий хитрец: иногда говорит правду, иногда вр?т. На вопрос ?Кеша кто? они ответили: Гоша: Лжец. Кеша: Я хитрец! Рома: Абсолютно честный попугай. Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

3

В городе Глупове живут только полицейские, воры и обывате-

3

В городе Глупове живут только полицейские, воры и обывате-

ли. Полицейские всегда врут обывателям, воры полицейским, а обыватели ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод, и каждый сказал своему соседу справа: ?Я полицейский. Сколько обывателей было в этом хороводе?

ли. Полицейские всегда врут обывателям, воры полицейским, а обыватели ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод, и каждый сказал своему соседу справа: ?Я полицейский. Сколько обывателей было в этом хороводе?

4

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Ал?ше Поповичу за вер-

4

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Ал?ше Поповичу за вер-

ную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Ал?ше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит ?да?, ?нет? или ?не знаю?, и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались.

ную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Ал?ше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит ?да?, ?нет? или ?не знаю?, и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались.

5

Король позвал к себе двух придворных мудрецов и объявил им:

5

Король позвал к себе двух придворных мудрецов и объявил им:

?Через 15 минут я посажу вас в две комнаты, раздел?нные звуконепроницаемым стеклом, вы закроете глаза, и на каждого из вас я надену колпак белый или ч?рный. После этого вы можете открыть глаза, и каждый из вас должен будет угадать цвет колпака, который я надел на него. Сейчас вы можете договориться о ч?м хотите, но помните если ни один из вас не отгадает, вы оба будете уволены. Как действовать мудрецам, чтобы наверняка остаться на королевской службе?

?Через 15 минут я посажу вас в две комнаты, раздел?нные звуконепроницаемым стеклом, вы закроете глаза, и на каждого из вас я надену колпак белый или ч?рный. После этого вы можете открыть глаза, и каждый из вас должен будет угадать цвет колпака, который я надел на него. Сейчас вы можете договориться о ч?м хотите, но помните если ни один из вас не отгадает, вы оба будете уволены. Как действовать мудрецам, чтобы наверняка остаться на королевской службе?


малый мехмат мгу школе
6
Король позвал к себе других двух мудрецов, показал им три

малый мехмат мгу школе
6
Король позвал к себе других двух мудрецов, показал им три колпака и назвал их цвета красный, синий и ж?лтый. После чего он попросил мудрецов закрыть глаза и надел на каждого из них по колпаку, третий же, сняв корону, надел сам. Казалось бы, видя колпаки на голове своего коллеги и на голове короля, каждый мудрец легко догадается о цвете своего колпака, однако у этих мудрецов проблемы со зрением: первый не отличает синего от ж?лтого, второй красного от синего. Поэтому, когда король спросил последовательно первого и второго мудрецов, знают ли они свои колпаки, оба ответили ?не знаю. Какого цвета колпак король надел на первого мудреца?

колпака и назвал их цвета красный, синий и ж?лтый. После чего он попросил мудрецов закрыть глаза и надел на каждого из них по колпаку, третий же, сняв корону, надел сам. Казалось бы, видя колпаки на голове своего коллеги и на голове короля, каждый мудрец легко догадается о цвете своего колпака, однако у этих мудрецов проблемы со зрением: первый не отличает синего от ж?лтого, второй красного от синего. Поэтому, когда король спросил последовательно первого и второго мудрецов, знают ли они свои колпаки, оба ответили ?не знаю. Какого цвета колпак король надел на первого мудреца?


Листок 11. Перебор вариантов
1 2

малый мехмат мгу школе

Листок 11. Перебор вариантов
1 2

малый мехмат мгу школе

Можно ли отсчитать без сдачи сумму в 27 фертингов, используя

Можно ли отсчитать без сдачи сумму в 27 фертингов, используя

только монеты достоинством 6, 10 и 13 фертингов? Четверо пятиклассников Аня, Боря, Ваня и Галя начали

только монеты достоинством 6, 10 и 13 фертингов? Четверо пятиклассников Аня, Боря, Ваня и Галя начали

собирать марки. К концу четверти один из них собрал шесть марок, другой четыре, третий три, а четв?ртый только две. После того, как Боря подарил Ане на день рождения все свои марки, у не? стало в два раза больше марок, чем у Гали. Сколько марок собрала Галя?

собирать марки. К концу четверти один из них собрал шесть марок, другой четыре, третий три, а четв?ртый только две. После того, как Боря подарил Ане на день рождения все свои марки, у не? стало в два раза больше марок, чем у Гали. Сколько марок собрала Галя?

3

В коробке лежат синие, красные и зел?ные карандаши всего

3

В коробке лежат синие, красные и зел?ные карандаши всего

20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зел?ных, а красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зел?ных, а красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?

4

На рисунке показан вид сверху коробки, в которую уложен набор

4

На рисунке показан вид сверху коробки, в которую уложен набор

костяшек домино. Как разложены костяшки?

костяшек домино. Как разложены костяшки?

5

Однажды король собрал тр?х мудрецов и потребовал, чтобы они

5

Однажды король собрал тр?х мудрецов и потребовал, чтобы они

угадали тр?хзначное число, которое он задумал. Первый предположил, что это число 542, второй 946, а третий 536. Король очень удивился, ведь каждый из мудрецов правильно отгадал ровно одну из тр?х цифр. А какое число задумал король на самом деле?

угадали тр?хзначное число, которое он задумал. Первый предположил, что это число 542, второй 946, а третий 536. Король очень удивился, ведь каждый из мудрецов правильно отгадал ровно одну из тр?х цифр. А какое число задумал король на самом деле?

6

Папе, маме, сыну и бабушке приспичило т?мной ночью перейти

6

Папе, маме, сыну и бабушке приспичило т?мной ночью перейти

по хлипкому мостику через реку. Мостик может выдержать только двоих одновременно. К тому же на всех имеется только один фонарик, без которого нельзя сделать ни шагу. Папа может перейти через мостик в одну сторону за 1 минуту, мама за 2 минуты, сын за 5, а бабушка за 10. За какое минимальное время все они смогут перебраться на другой берег? (Когда через мостик идут двое, они идут со скоростью того, кто ходит медленнее).

по хлипкому мостику через реку. Мостик может выдержать только двоих одновременно. К тому же на всех имеется только один фонарик, без которого нельзя сделать ни шагу. Папа может перейти через мостик в одну сторону за 1 минуту, мама за 2 минуты, сын за 5, а бабушка за 10. За какое минимальное время все они смогут перебраться на другой берег? (Когда через мостик идут двое, они идут со скоростью того, кто ходит медленнее).


Листок 12. Математические цепочки
1 2
Квадрат

малый мехмат мгу школе

Листок 12. Математические цепочки
1 2
Квадрат

малый мехмат мгу школе

Над цепью оз?р летела стая гусей. На каждое озеро садилась

Над цепью оз?р летела стая гусей. На каждое озеро садилась

половина стаи и ещ? полгуся, а остальные летели дальше. Сколько всего было гусей в стае, если все они сели на семи оз?рах?

половина стаи и ещ? полгуся, а остальные летели дальше. Сколько всего было гусей в стае, если все они сели на семи оз?рах?

3Ч3

заполнен цифрами так, как показано на рисунке.

3Ч3

заполнен цифрами так, как показано на рисунке.

Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю по стороне, но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю по стороне, но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

1 6 5

8 3 7

4 9 2

1 6 5

8 3 7

4 9 2

1 6 5

8 3 7

4 9 2

1 6 5

8 3 7

4 9 2

Петя прошел, как показано на рисунке справа, и выписал по порядку все цифры, встретившиеся по пути, получилось число

Петя прошел, как показано на рисунке справа, и выписал по поряд. ку все цифры, встретившиеся по пути, получилось число

84937561

84937561

.

Какое наибольшее число можно получить таким способом?

Какое наибольшее число можно получить таким способом?

3

Из набора домино выкинули все доминошки, содержащие хотя

3

Из набора домино выкинули все доминошки, содержащие хотя

бы на одном из концов шест?рку. Можно ли оставшиеся доминошки выложить в цепочку (в соответствии с правилами игры)?

бы на одном из концов шест?рку. Можно ли оставшиеся доминошки выложить в цепочку (в соответствии с правилами игры)?

4

Кусок сыра имеет форму кубика

3Ч3Ч3

, из которого вырезан

4

Кусок сыра имеет форму кубика

3Ч3Ч3

, из которого вырезан

центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик съедает очередной кубик

центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик съедает очередной кубик

1Ч1Ч1

. После того, как мышь

1Ч1Ч1

. После того, как мышь

1 Ч 1 Ч 1,

она приступает к съедению одно-

1 Ч 1 Ч 1,

она приступает к съедению одно-

го из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?

го из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?

5

Треугольник

разбит

на

треугольнички

5

Треугольник

разбит

на

треугольнички

(25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?

(25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?

6

Некоторое число кончается на двойку. Если эту двойку перенести

6

Некоторое число кончается на двойку. Если эту двойку перенести

в начало числа, то оно удвоится. Приведите пример такого числа.

в начало числа, то оно удвоится. Приведите пример такого числа.


Листок 13. Кратчайший путь
1

малый мехмат мгу школе

Листок 13. Кратчайший путь
1

малый мехмат мгу школе

В доску вбито 20 гвоздиков, как показано на рисунке. Расстояние к гвоздику

В доску вбито 20 гвоздиков, как показано на рисунке. Расстояние к гвоздику

между любыми соседними равно 1 дюйму. Протяните от гвоздика

между любыми соседними равно 1 дюйму. Протяните от гвоздика

A

B

нитку как можно меньшей длины так, чтобы она

A

B

нитку как можно меньшей длины так, чтобы она

прошла через все остальные гвоздики.

прошла через все остальные гвоздики.

A

B

A

B

2

Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася

2

Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася

жив?т в четв?ртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим пут?м (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде жив?т Петя.

жив?т в четв?ртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим пут?м (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде жив?т Петя.

3

В деревне вдоль дороги расположены четыре дома. Расстояния

3

В деревне вдоль дороги расположены четыре дома. Расстояния

между ними указаны на рисунке. В деревне решили поставить колодец. Где его нужно расположить, чтобы сумма расстояний до всех домов была как можно меньше?

между ними указаны на рисунке. В деревне решили поставить колодец. Где его нужно расположить, чтобы сумма расстояний до всех домов была как можно меньше?

A 10

B 40

C 20

D

A 10

B 40

C 20

D


малый мехмат мгу школе
4
В поле стоит квадратный колодец размером

малый мехмат мгу школе
4
В поле стоит квадратный колодец размером

2Ч2

метра. К его

2Ч2

метра. К его

углу вер?вкою привязана коза. Какую форму имеет участок поля, внутри которого коза сможет съесть всю траву, если длина вер?вки равна 4 метрам?

углу вер?вкою привязана коза. Какую форму имеет участок поля, внутри которого коза сможет съесть всю траву, если длина вер?вки равна 4 метрам?

5
ки

В вершине

A

квадрата со стороной 10 см сидит муравей. Ему

5
ки

В вершине

A

квадрата со стороной 10 см сидит муравей. Ему

надо добраться до точки

B

, где находится вход в муравейник. Точ-

надо добраться до точки

B

, где находится вход в муравейник. Точ-

A

и

B

разделяет треугольная стена, боковые стороны которой

A

и

B

разделяет треугольная стена, боковые стороны которой

тоже равны 10 см. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

тоже равны 10 см. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

A

A

B

B

6

В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая фор-

6

В музее Гугенхайм в Нью-Йорке есть скульптура, имеющая фор-

му куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру и перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?

му куба. Жук, севший на одну из вершин, хочет как можно быстрее осмотреть скульптуру и перейти к другим экспонатам (для этого достаточно попасть в противоположную вершину куба). Какой путь ему выбрать?


Листок 14. Его величество Куб
1

малый мехмат мгу школе

Листок 14. Его величество Куб
1

малый мехмат мгу школе

Планета ?Куб? имеет форму куба, каждой гранью которого пра-

Планета ?Куб? имеет форму куба, каждой гранью которого пра-

вит либо правдивый, либо лживый король. Однажды каждый король заявил, что правители большинства сопредельных с его владениями граней лживы. Сколько было лживых королей на самом деле?

вит либо правдивый, либо лживый король. Однажды каждый король заявил, что правители большинства сопредельных с его владениями граней лживы. Сколько было лживых королей на самом деле?

2

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили

2

На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили

два раза. В первый раз сумма чисел на четыр?х боковых гранях оказалась равна 12, во второй 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

два раза. В первый раз сумма чисел на четыр?х боковых гранях оказалась равна 12, во второй 15. Что написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

3 4

Верно ли, что если все грани многогранника квадраты, то

3 4

Верно ли, что если все грани многогранника квадраты, то

этот многогранник куб? Составьте куб

этот многогранник куб? из красных, ж?лтых и зел?ных кубиков Составьте куб

3Ч3Ч3

3Ч3Ч3

из красных, ж?лтых и зел?ных кубиков

1Ч1Ч1
цветов.

так, чтобы в любом бруске

3Ч1Ч1

были кубики всех тр?х

1Ч1Ч1
цветов.

так, чтобы в любом бруске

3Ч1Ч1

были кубики всех тр?х

5 6

Какое наибольшее число брусков размером

1Ч2Ч2

можно раз-

5 6

Какое наибольшее число брусков размером

1Ч2Ч2

можно раз-

местить (без пересечений) в кубе

3Ч3Ч3

?

местить (без пересечений) в кубе

3Ч3Ч3

?

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет, а

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет, а

другие четыре в синий так, чтобы каждая плоскость, проходящая через какие-то три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

другие четыре в синий так, чтобы каждая плоскость, проходящая через какие-то три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?


Листок 15. Математический фольклор
1

малый мехмат мгу школе

Листок 15. Математический фольклор
1

малый мехмат мгу школе

Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капу-

Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капу-

сту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?

сту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?

2

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши

2

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши

одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег вс? равно не хватило. Сколько стоил букварь?

одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег вс? равно не хватило. Сколько стоил букварь?

3

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на

3

Охотник находится в 100 м к югу от медведя, проходит 100 м на

восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

восток, поворачивается лицом к северу, прицеливается и, выстрелив в направлении на север, убивает медведя. Какого цвета медвежья шкура?

8 Ч 8 разрезали на четыре части прямоугольник 5 Ч 13. Не верите? Посмотрите
Квадрат Как вы это объясните?

4

и сложили из них на рисунок справа.

8 Ч 8 разрезали на четыре части прямоугольник 5 Ч 13. Не верите? Посмотрите
Квадрат Как вы это объясните?

4

и сложили из них на рисунок справа.

5 а)

Сложите четыре треугольника, используя шесть одинаковых

5 а)

Сложите четыре треугольника, используя шесть одинаковых

спичек.

б)

Добавьте ещ? три такие же спички, чтобы образова-

спичек.

б)

Добавьте ещ? три такие же спички, чтобы образова-

лось ещ? три треугольника.

лось ещ? три треугольника.

6

В одном стакане было молоко, а в другом столько же кофе.

6

В одном стакане было молоко, а в другом столько же кофе.

Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и небрежно размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и небрежно размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?