Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mph.cs.msu.ru/Home/Opus/a23.doc Дата изменения: Tue Apr 6 14:44:04 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:39:05 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: абсолютный нуль температуры

Известия Академии наук СССР. 1937

Отделение математических и естественных наук.


А. Н. Тихонов

Об остывании тел при лучеиспускании,

следующем закону Stefan'a-Boltzmann'a

(Представлено академиком О.Ю. Шмидтом)

В статье подробно изучается задача об остывании равномерно нагретого
полуограниченного слоя [pic]в пустоте. При этом принимается, что внутри
тела температура подчинена уравнению теплопроводности, а на поверхности
имеет место закон Stefan'a-Boltzmann'a. Аналогично трактуются и некоторые
другие задачи.


Настоящая статья посвящена вопросу об изменении температуры твердого
тела, если на поверхности происходит лучеиспускание, следующее закону
Stefan'a-Boltzmann'a. При этом может случиться, что тело не только излучает
теплоту, но и само получает ее как извне, так и благодаря источникам тепла,
находящимся внутри тела[1].
Мы дадим решение этой задачи для однородных тел одного, двух или трех
измерений произвольной формы, считая поток тепла, поступающий из внешнего
пространства, известной величиной (которая может меняться от места на
поверхности и от времени).
Решение задачи будет получено нами при помощи сведения ее к нелинейному
интегральному уравнению типа Volterra, для которого дается метод решения
при помощи последовательных приближений.
Однако, чтобы не загромождать основную идею излишними деталями, мы
приведем в § 1-3, 6 решение простейшей задачи, рассматривая остывание
однородного, полуограниченного тела в пустоте, а в § 4, 5 рассмотрим более
общий случай.

§ 1

Рассмотрим однородное тело, температура которого [pic] зависит только от
времени [pic] и одной геометрической переменной [pic], которую будем
считать меняющейся от 0 до [pic] (бесконечная полупрямая). Эта функция
[pic] удовлетворяет уравнению теплопроводности
[pic] (1)

где [pic]- теплопроводность, [pic]- плотность, а [pic]- удельная
теплоемкость данного тела. Если [pic] обозначает абсолютную температуру
тела и излучение происходит в пустоту, то на поверхности (при [pic]) поток
тепла, [pic], согласно закону Stefan'a-Boltzmann'a пропорционален 4-й
степени температуры, т. е.
[pic] (2)
Допустим, кроме того, что в некоторый момент времени, назовем его [pic],
нам дано распределение температуры внутри тела [pic], равное некоторой
постоянной температуре [pic]:
[pic] (3)
Нашей задачей является найти ограниченное решение 2 уравнения
теплопроводности (1) с граничными условиями (2) при [pic] и начальными
данными (3).
Обозначим через [pic] термический градиент у поверхности тела
[pic] (4)
Всякое ограниченное решение уравнения теплопроводности (1),
удовлетворяющее условию (3) и имеющее [pic], как известно, представляется в
виде:
[pic] (5)
и нам остается определить функцию [pic]так, чтобы удовлетворялось условие
(2). Как было отмечено,
[pic]
Далее,
[pic] (6)
Таким образом, для того, чтобы удовлетворялось условие (2), нужно, чтобы
функция [pic] удовлетворяла соотношению:
[pic] (7)
которое является нелинейным интегральным уравнением.
Упростим уравнение (7), вынося [pic]за скобку и деля на [pic]:
[pic]
Введем новые переменные [pic], полагая
[pic] (8)
при этом уравнение преобразуется к виду3:
[pic]
Положим
[pic] (9)
и выберем
[pic]
(10)
тогда для определения [pic] получаем уравнение:
[pic] (11)
Если мы решим это уравнение, то
[pic] (12)
Таким образом, процесс остывания (поток у поверхности) всякого
равномерно нагретого неограниченно простирающегося в одну сторону тела при
выборе соответствующих масштабов времени и температуры определяется одной и
той же кривой[pic]. Способ нахождения решения уравнения (11) будет дан в §
2.

§ 2

Назовем [pic], функционалом Volterra, если V есть число, зависящее от
значения параметра и от значений функции [pic] в промежутке [pic].
Рассмотрим функциональное уравнение 4
[pic] (13)
Допустим, что функционал [pic] удовлетворяет следующим условиям:
1њ. Если [pic] - непрерывная функция своего аргумента, то [pic]определен
и является непрерывной функцией переменного z.
2њ. Если [pic]и[pic] - непрерывные функции [pic]и
[pic]
то
[pic]
для [pic], причем функция
[pic]
где [pic], а [pic] - некоторая константа, зависящая от М и от Z. 5
Теорема. Если функционал [pic]удовлетворяет условиям 1њ и 2њ, то
уравнение (13)
[pic]
имеет единственное решение в некотором промежутке [pic].
Мы докажем эту теорему методом последовательных приближений. Рассмотрим
функциональное преобразование
[pic] (14)
преобразующее функцию[pic] в функцию[pic].Определим такое[pic], чтобы
непрерывная функция [pic], для которой [pic]при [pic], преобразовывалась в
функцию, обладающую тем же свойством. Это можно сделать следующим образом.
Пусть[pic] - эта функция, по условию, непрерывна; обозначим через
[pic]maximum этой функции на некотором отрезке [pic]. Для функции[pic], для
которой[pic], получаем:
[pic]или
[pic] (15)
Очевидно, что для любого[pic] можно найти такое [pic], чтобы
[pic] (16)
Таким образом, если [pic]на отрезке [pic], то и для преобразованной
функции [pic]на этом отрезке[pic]. Возьмем какую-нибудь функцию [pic], для
которой [pic](на отрезке[pic]). Для определенности положим[pic]. Определим
последовательные приближения[pic], полагая
[pic] (17)
В силу определения [pic] очевидно, что [pic]для всех п. Отсюда следует,
что
[pic], (18)
причем константа N(M) для всех п одинакова.
Таким образом 6,
[pic]
[pic] (19) 7
Пользуясь формулой Stirling'a
[pic] (20)
получаем
[pic] (21)
откуда следует, что последовательность приближений [pic]равномерно сходится
на отрезке [pic] к некоторой функции[pic], для которой [pic].
Очевидно также, что [pic](равномерно на[pic]), так как
[pic].
Отсюда следует окончательно 8
[pic]

§ 3

Обратимся к уравнению (11):
[pic] (22)
Отметим еще одно обстоятельство, касающееся последовательных
приближений. Допустим, что функционал [pic]- монотонно убывающий в
следующем смысле: если [pic]для [pic], то
[pic] (23)
Тогда, если нам известна функция [pic], которая, заведомо, меньше
решения нашего уравнения[pic], то последовательные приближения, построенные
по закону
[pic] (24)
приближаются к решению уравнения
[pic]
подходя с разных сторон. Действительно, так как
[pic](25)

и т. д., т. е. все [pic] с четными номерами меньше[pic], а все [pic] с
нечетными номерами больше [pic].
Сделанное замечание имеет прямое отношение к нашему уравнению (11).
Действительно, очевидно, что для функции [pic]
[pic] (26)
так как [pic], равняясь 4-й степени некоторого числа, всегда[pic]. Что
касается монотонности нашего оператора
[pic], (27)
то она совершенно очевидна, если только ограничиваться такими функциями
[pic] и такими промежутками [pic], для которых
[pic] (28)

Как было отмечено в сноске 3, для решения [pic] уравнения (11) это
неравенство становится ясным в силу физических соображений (более подробно
см. § 6). Таким образом, беря [pic], получаем.
[pic] (29)
Далее, [pic], но при этом может случиться, что
[pic] для [pic], (30)
а при этом монотонность нашего оператора нарушается. Положим
[pic] [pic] (31)
Очевидно, что[pic] для любых значений z . Положим, далее, [pic] , при
этом [pic].
Рассмотрим функцию [pic]; может случиться, что, начиная с некоторого
значения [pic]
[pic] для [pic], (32)
а при этом монотонность нашего оператора также нарушается. Положим
[pic] [pic] (33)
очевидно, что [pic]для любых значений [pic], и т.д.
Вычисления дают следующий результат 8:

[pic] (34)
Численные значения последовательных приближений

|[pic] |0.0000|0.0001|0.0002|0.0003|0.0004|0.0005|
| |5 | | | | | |
|[pic] |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |
|[pic] |0.9475|0.9272|0.9006|0.8815|0.8660|0.8532|
|[pic] |0.9475|0.9266|0.9000|0.8806|0.8647|0.8514|
| | | | | | | |
| | | | | | |2 |
|[pic] |0.9475|0.9266|0.9000|0.8806|0.8547|0.8512|
|[pic] |0.9452|0.9223|0.8919|0.8686|0.8493|0.8325|
|[pic] |0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|

|[pic] |0.0006|0.0007|0.0008|0.0009|0.001 |0.002 |
|[pic] |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |
|[pic] |0.8427|0.8325|0.8245|0.8160|0.8091|0.7578|
|[pic] |0.8398|0.8296|0.8207|0.8119|0.8046|0.7454|
| | | | | | | |
| |4 |6 |8 |8 |14 |18 |
|[pic] |0.8394|0.8290|0.8199|0.8111|0.8032|0.7436|
|[pic] |0.8179|0.8043|0.7928|0.7807|0.7702|0.6876|
|[pic] |0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|

|[pic] |0.005 |0.008 |0.01 |0.02 |0.03 | |
|[pic] |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 |1.000 | |
|[pic] |0.6891|0.6591|- |0.6332|0.6433| |
|[pic] |0.6740|- |- |- |- | |
| | | | | | | |
| |300 | | | | | |
|[pic] |0.6440|0.5779|0.5271|0.2914|- | |
|[pic] |0.5335|0.4548|0.4096|0.2646|0.1825| |
|[pic] |0.0000|0.0000|0.0000|0.0000|0.0000| |

Ход этих кривых дается графиком, причем в силу (8)
[pic], (35)
где по (10):
[pic]. (36)


Если считать, что[pic]; [pic]; [pic], [pic], то[pic] и единица по нашей
оси равна 12 сек. Вычисления можно было бы выполнить и для большего
промежутка времени, но нам не представляется необходимым делать это в
данной работе.

§4

Изложенный метод решения задачи применим также и к тому случаю, когда
начальная температура тела не постоянна и имеется приток тепла извне.
Допустим, что начальное тепловое состояние определяется некоторой
функцией
[pic] (37)
и что на границе имеется приток тепла извне, величина которого, отнесенная
к единице площади и единице времени, равна[pic]. Таким образом, граничное
условие будет:
[pic] (38)
Как известно,
[pic] (39)
представляет решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее
условиям:
[pic] (40)
Будем искать решение нашей задачи в виде
[pic] (41)
тогда граничное условие (38) принимает вид 10:
[pic] (42)
Это есть нелинейное интегральное уравнение типа Volterra, к которому
применим метод решения, изложенный в § 2; даже общие соображения § 3 вполне
к нему применимы.
В случае остывания сферы радиуса R в предположении, что температура
меняется только в зависимости от изменения радиуса и времени, уравнение
теплопроводности принимает вид:
[pic] (43)
и граничные условия:
[pic] (44)
Если температура зависит только от [pic] то, как известно, введением
новой вспомогательной функции
[pic] (45)
Уравнение (43) приводится к виду
[pic] (46)
а условие (44) переходит в
[pic], (47)
причем, кроме того, при r=0 появляется новое граничное условие:
[pic] (48)
Чтобы не усложнять формул, будем считать, что [pic], так как мы видели,
что учет переменной начальной температуры не представляет принципиальных
затруднений.
Будем искать решение в виде
[pic] (49)
Очевидно, что
[pic][pic] (50)
а
[pic], (51)
откуда для определения функции [pic]приходим к уравнению:
[pic] (52)
т. е. опять получаем интегральное уравнение, для которого в § 2 дан метод
решения.

§ 5

Пусть нам дано некоторое выпуклое тело Т, ограниченное поверхностью S,
остывание которого мы изучаем 11, и пусть оно получает извне поток тепла,
плотность которого равна [pic]. Эта величина может меняться не только с
изменением t, но также и с изменением Р точки поверхности нашего тела.
Таким образом, мы должны найти функцию, удовлетворяющую внутри тела
уравнению теплопроводности
[pic] (53)
на поверхности S - условию
[pic] (54)
( [pic]- направление внутренней нормали), и, кроме того, условию
[pic] (55)
где функция [pic]представляет начальное распределение температуры внутри
тела T .
Для представления искомого решения опять воспользуемся некоторыми
вспомогательными функциями. Рассмотрим функцию
[pic] (56)
где Р' - точка, переменная при интеграции, а [pic]- расстояние между
точками Р и Р'. Как известно, эта функция удовлетворяет уравнению (53) и
условию (55) для точек, лежащих внутри T.
Рассмотрим также функцию
[pic](57)
которая удовлетворяет уравнению теплопроводности. [pic][pic] ( n - нормаль
к S ) претерпевает разрыв на поверхности, когда [pic] изнутри:
[pic] (58)
и в начальный момент
[pic] (59)
Будем искать решение нашего уравнения в виде
[pic] (60)
Очевидно, что как уравнение (53), так и условие (55) удовлетворены.
Установим уравнение, которому должна удовлетворять функция [pic]для того,
чтобы выполнялось условие (54).
Поток тепла через поверхность S в точке [pic] равняется
[pic] (61)
откуда приходим к уравнению
[pic] (62)
которое можно было бы получить в явном виде, вставляя туда выражения
[pic], но нам не представляется это необходимым выписывать подробно.
Заметим только, что полученное уравнение принадлежит к типу функциональных
уравнений
[pic] (63)
где [pic]- функционал, зависящий от тех значений [pic], которые
соответствуют значениям [pic], а [pic]есть некоторая точка поверхности S.
Уравнения такого типа можно решать по способу, развитому нами в § 2.
Положим [pic] равной какой-либо функции при P и t и возьмем
последовательные приближения:
[pic] (64)

При определенных условиях, налагаемых на [pic], которым удовлетворяет
правая часть уравнения (62), эти последовательные приближения сходятся к
предельной функции [pic], являющейся решением этого уравнения.
Мы не будем проводить подробного доказательства сходимости
последовательных приближений, отсылая читателя к работе, цитированной в
сноске 11.

§ 6

Остановимся более подробно на простейшей задаче об остывании
полуограниченного слоя в пустоте, рассмотренной нами в § 1-3. Нами было
доказано в § 2, что последовательные приближения [pic] сходятся к решению
нашего уравнения на некотором достаточно малом отрезке [pic]. Покажем, что
при помощи указанного процесса можно убедиться в существовании решения
уравнения
[pic][pic] (65)
для всех [pic] и найти самое решение. Вообще, рассмотрим уравнение
[pic] (66)
где F(u) - некоторая непрерывно дифференцируемая, монотонно возрастающая
функция, для которой
[pic] (67)
Наша задача получается при [pic], причем поставленные условия для этой
функции удовлетворены. К подобной задаче сводится задача об остывании
полуограниченного тела [pic] при излучении в пустоту по закону
[pic]. (68)
Если [pic]- непрерывная функция, то условие 1њ § 2 удовлетворено. Если
[pic], то
[pic], (69)
откуда следует, что функционал из правой части (66) удовлетворяет условию:
[pic] (70)
где [pic]- некоторое число, заключенное между [pic]и[pic], т. е., во всяком
случае,
[pic] (71)
а
[pic] (72)
Таким образом, [pic]удовлетворяет также и условию 2њ § 2, и, пользуясь
теоремой, доказанной в этом параграфе, мы можем утверждать существование
решения уравнения (66) на достаточно малом промежутке [pic], которое может
быть найдено методом последовательных приближений.
Рассмотрим функционал
[pic] (73)
стоящий под знаком функции F и пропорциональный [pic], значениям
температуры на поверхности нашего тела.
Очевидно, следуя физическому смыслу задачи, что [pic]для функции [pic],
удовлетворяющей уравнению (66). Мы докажем это неравенство несколько позже,
исходя из самого уравнения (66), а пока, принимая его как гипотезу,
докажем, что последовательные приближения сходятся для всех z.
Итак, допустим, что мы нашли функцию, удовлетворяющую уравнению (66) для
[pic], причем
[pic] (74)
Покажем, что в этом случае существует решение на отрезке [pic], где
[pic]; (75)
здесь [pic]- некоторая положительная функция u , причем последовательные
приближения, определявшие функцию [pic] для [pic], сходятся также и на
[pic]. Возьмем постоянное [pic] и определим [pic] из соотношения [pic],
т.е.
[pic]. (76)
В этом случае, если мы рассмотрим функцию [pic], совпадающую с [pic]на
[pic]и удовлетворяющую условию
[pic], (77)
то для этого промежутка
[pic] (78)
Более того, если [pic]хотя и не совпадает с [pic] на [pic], но мало
отличается от этой функции, то и тогда
[pic] (79)
если
[pic] (80)
Итак, если мы возьмем какую-либо функцию [pic], отличающуюся от
[pic]меньше, чем на [pic], на [pic] и удовлетворяющую условию (77) на
[pic], то [pic] на [pic] будет удовлетворять условию:
[pic] (81)
и, следовательно, [pic]будет удовлетворять неравенству
[pic] (82)

Таким образом, если последовательность приближений [pic]равномерно
сходится к [pic] на [pic], то, беря номер n, для которого
[pic] (83)
и продолжая функцию [pic]на отрезке [pic] произвольно с единственным
условием
[pic] (84)
получим, что все функции [pic]для m>n будут определены на отрезке [pic] и
равномерно на нем ограничены. Как мы отмечали в сноске 8, в этом случае
[pic] равномерно сходятся на [pic] к некоторой функции [pic], которая и
является решением уравнения (66) на этом отрезке.
Если мы теперь докажем, что [pic] - решение уравнения (66), а тем самым
и
[pic] (85)
являются монотонно убывающими функциями, которые нигде на конечном
расстоянии в нуль не обращаются, то этим и будет доказано, что эти функции
существуют для всех [pic] и что [pic]может быть найдено методом
последовательных приближений в том смысле, как это следует из только что
доказанной теоремы.
Допустим, что в некотором промежутке [pic]существует решение уравнения
(66), определяемое функцией [pic]. Покажем, что [pic] является монотонно
убывающей функцией, нигде не равной нулю.
Покажем, прежде всего, что функция[pic]дифференцируема для z>0.
Рассмотрим разность:
[pic] (86)
Очевидно, что эта разность удовлетворяет уравнению
[pic] (87)
Здесь [pic] - непрерывная функция, равная
[pic] (88)
где [pic] - среднее значение между
[pic] и [pic],
(89)
причем
[pic]. (90)
Это равенство можно рассматривать как линейное интегральное уравнение
для функции
[pic] (91)
Отсюда легко заключить, что существует предел этого отношения [pic],
удовлетворяющий уравнению
[pic] (92)
Беря резольвенту этого линейного уравнения типа Volterra и представляя
решение при ее помощи, получим
[pic] (93)
где [pic]- ограниченная функция. Отсюда следует, что [pic]отрицательна для
некоторого промежутка [pic].
Функция [pic]связана с функцией [pic]соотношением [pic]. В силу
предположения [pic] - монотонно возрастающая функция в области
положительных u. Таким образом, в области положительных u это уравнение
разрешимо относительно [pic]. В частности, если [pic] дифференцируема, то и
[pic] дифференцируема также, и их производные связаны соотношением:
[pic] (94)
Возвращаясь к нашей задаче, имеем, что при [pic] [pic]и
[pic]положительны; затем они начинают убывать, так как их производные
отрицательны.
Рассмотрим некоторый промежуток [pic], на котором [pic]. Докажем, что в
этом промежутке [pic]. Пусть [pic]- наименьшее число на отрезке [pic], для
которого [pic].
Очевидно, что [pic] является также наименьшим числом, для которого [pic]
, и что в силу (92)
[pic] (95)
Рассмотрим [pic] вблизи [pic] для значений [pic]:
[pic] (96)
где
[pic] (97)
Покажем, что [pic]положительна для [pic]. Действительно,
[pic] (98)
так как [pic]для [pic] и выражение в квадратных скобках положительно для
[pic], то отсюда и следует, что [pic] для [pic]. Итак,
[pic] (99)
Выражая из этого соотношения [pic] через [pic] при помощи резольвенты
интегрального уравнения (99) получим
[pic] (100)
Для значений [pic], близких к [pic], имеем
[pic] (101)
в силу сходимости этого интеграла. Кроме того, в любой близости к [pic]
можно найти такие значения [pic], для которых, кроме условия (101),
выполняется неравенство
[pic] (102)
Этому последнему неравенству можно удовлетворить, выбирая z так, чтобы
[pic], что возможно в силу того, что [pic] и непрерывна для [pic]и [pic].
Итак, найдутся такие [pic], для которых [pic], что противоречит определению
[pic].
Если функция [pic] во всех точках отрезка [pic], то, в силу доказанной
ранее теоремы, она может быть продолжена вне этого отрезка, причем она все
время будет монотонно убывать, пока [pic]. Если мы покажем теперь, что
[pic] не может нигде обратиться в нуль, то этим и будет доказано, что [pic]
и [pic] являются монотонно убывающими функциями, определенными для всех
[pic]
Допустим теперь, что [pic] первая точка, в которой [pic]. Эта точка
является также первой точкой, в которой [pic].
Очевидно, что
[pic] (103)
и что имеет место равенство
[pic]. (104)
Производная функции [pic]
[pic] (105)
причем правая часть строго больше нуля, так как выражение в квадратных
скобках строго > 0 для [pic], а [pic]в промежутке [pic].
Отдел теоретической геофизики И. Г.
Академия Наук СССР.














-----------------------
[1] Например, тепло, возникающее внутри тела (Земли) благодаря
радиоактивному распаду.

2 Условие ограниченности необходимо, иначе задача будет иметь несколько
решений (см. A.Tychonoff, Sur les theoremes d'unicite... Матем. сборн. 42,
199, 1935). Единственность решения у изучаемой задачи при поставленных
условиях следует из самого метода решения.

3 Заметим, что внутри квадратных скобок стоит величина [pic], которая, как
то ясно физически, меняется в пределах от 1 до 0.

4 Уравнение (11) принадлежит к рассматриваемому нами типу, где
[pic]
5 Нетрудно видеть, что функция, приведенная в сноске 4, удовлетворяет
поставленным условиям. Что условие 1њ удовлетворено, - это очевидно.
Покажем, что условие 2њ также удовлетворено. Обозначим через
[pic]функционал
[pic]
тогда [pic]и
[pic]
Но если[pic]для[pic], то[pic]и, кроме того,
[pic].
Таким образом,
[pic]
где[pic]
6 Нижеследующие вычисления могут быть сильно упрощены, если[pic] т. е.
является ограниченной функцией.
В этом случае вычисления выглядят так:
[pic]
т. е. ряд последовательных приближений сходится. Однако, мы не можем
ограничиться этим случаем, так как функционал, приведенный выше в сносках
4,5 ,не удовлетворяет этому условию.
7 [pic]- эйлеров интеграл 2-го рода. Здесь мы пользуемся формулой:
[pic]
См., например, Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа (рус. пер.
ГТТИ, 1934), глава 12.

8 Ограничение [pic]используется нами только для доказательства того,
что[pic]для всех z . Если последовательные приближения окажутся равномерно
ограниченными на некотором отрезке [pic]или для[pic], то они будут
сходиться во всей этой области и определят в ней решение уравнения (13).

8 Вычисление выполнено В.Я. Захаровым.
10 При [pic] и [pic] это уравнение превращается в (11).
1 1 В настоящем параграфе мы даем только краткий эскиз решения
формулированной задачи, подробное изложение которой (даже в более общей
постановке) мы дадим в другой работе, называемой «О функциональных
уравнениях типа Volterra и их приложениях к некоторым задачам
математической физики».