Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/olympiads/OLYMP10.pdf Дата изменения: Mon Dec 9 22:45:12 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:00:21 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I-I I КУРСОВ

кафедра Теории функций и функционального анализа кафедра Математического анализа
1. (В.К.Белошапка) Пусть > 0, > 0, x, y (, ), z = xy . Доказать, что не существует таких непостоянных бесконечно дифференцируемых функций a, b, c, что c(z) a(x) + b(y). 2. (А.М. Степин) Для функции f (x) = x-x ( > 1) и точки x0 (0, 1) найти асимптотику стремления к нулю величин f (f (. . . f (x0 ) . . .) при n .
x

3. (И.Д. Ремизов; Т.П Лукашенко) Могут ли у функции f : [0, 1] R на некотором более чем счетном множестве существовать не равные друг другу правая и левая производные? 4. (В.С.Буяров) Существует ли такая непрерывная функция f : R R, что f (f (x)) ex ? 5. (В.И. Богачев) Пусть u : R R бесконечно дифференцируемая функция, при |x| > 1 удовлетворяющая неравенству u (x)v (x) + v (x) + 1 0, где v : R R некоторая бесконечно дифференцируемая функция со свойством v(x) + при |x| +. Доказать, что R eu(x) dx < +. x 6. (В.В.Галатенко) Функция f (x) = N=1 cn qn xk , где ck ненулевые рациональные n числа, qn числа из промежутка (0; 1], kn натуральные числа, принимает целые значения в натуральных x и не тождественна нулю. Доказать, что все qn = 1. 7. (В.В.Рыжиков) Пусть множество Y [0, 1] состоит из таких чисел y = 0, y1 y2 . . . (двоичная запись: каждое yn равно 0 или 1), что для любого натурального m > N (y) выполняется неравенство m
n

n

yn >
n=1

m . 2

Доказать, что лебегова мера множества Y равна нулю. 8. (П.А. Бородин) Среди всех комплексных многочленов (z - c1 ) ћ . . . ћ (z - cn ), все нули ck которых по модулю меньше 1, найти многочлен с максимальным минимумом модуля на единичной окружности. 9. (В.И. Богачев) Нормированное пространство c0 состоит из стремящихся к нулю действительных последовательностей x = (x1 , x2 , . . .), с нормой x = max{|xn | : n = 1, 2, . . .}. На декартовом произведении c0 Ч c0 введем норму (x, y) = x + y . Существует ли линейная биекция A : c0 Ч c0 c0 , сохраняющая расстояние между точками?