Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/matan/teor-koz.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:55:25 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:06:23 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 8

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ
асс. А.И. Козко
1 год
1. Теорема Вейерштрасса. Приближение с помощью операторов
[pic] и [pic].
2. Пространства [pic], ([pic]), [pic]. Пример функции [pic], но [pic] для
любого [pic].
3. Неравенства в пространстве [pic], ([pic]). Неравенства Гёльдера,
Минковского и их обощения. Вложение пространств [pic], [pic].
4. Существование элемента наилучшего приближения для квазинормированных
пространств. Единственность элемента наилучшего приближения для строго
выпуклых квазинормированных пространств. Примеры неединственности для
[pic], [pic], [pic].
5. Критерий наилучшего приближения в гильбертовом пространстве.
6. Двойственность в случае приближения линейным подпространством.
7. Двойственность в выпуклых пространствах. Теорема о двойственном
выражении для наилучшего приближения.
8. Применение теоремы двойственности к нахождению точных констант в
неравенствах Джексона между наилучшим приближением и обобщенным модулем
непрерывности.
9. Характеризация элемента наилучшего приближения в пространстве [pic].
Теорема Колмогорова, теорема Каратеодори.
10. Вычисление наилучшего приближения для функции [pic], [pic], [pic] в
пространстве [pic], [pic].
11. Теорема Ривлина-Шапиро и следствие из нее.
12. Система Хаара и примеры. Свойства системы Хаара.
13. Единственность полинома наилучшего приближения по системе Хаара.
14. Теория Чебышева об альтернансе для приближения по системе Хаара.
Теорема Валле-Пуссена.
15. Примеры нахождения элемента наилучшего приближения:
а) для функции Вейерштрасса [pic], по тригонометрической системе;
б) для функции [pic] по системе 1, [pic], [pic] на [pic];
в) для функции [pic] по системе алгебраических полиномов степени не выше
чем n. Полиномы Чебышева.
16. Связь разложения по системам с дифференциальными уравнениями. Теорема
Стеклова для дифференциального оператора [pic].
17. Примеры разложения по тригонометрической системе, полиномы Чебышева.
18. Функции Бесселя и их свойства, собственные функции оператора Лапласа
для задачи Дирихле в круге (случай [pic]).
19. Тригонометрические полиномы. Разложение по корням.
20. Полиномы Джексона-Стечкина. Их свойства (норма в [pic], [pic],
нахождение моментов).
21. Нахождение коэффициентов полиномов Джексона-Стечкина в разложении в
ряд по косинусам.
22. Лемма о счёте нулей. Неравенства Стечкина, Бернштейна.
23. Неравенство Джексона-Никольского (разных метрик). Доказательство
неулучшаемости порядковых оценок.
24. Теорема Арестова (б/д) и получение из неё неравенства Сёге-Арестова.
25. Доказательство теоремы Арестова.
26. Обобщённый разностный оператор [pic] и его свойства. Классический
разностный оператор [pic]. Разностный оператор Туэ-Морса [pic].
27. Обобщённый модуль гладкости [pic], [pic] и его свойства.
28. Норма разностного оператора [pic] как оператора из [pic] в [pic].
29. Прямая теорема теории приближений.
30. Обратная теорема теории приближений в [pic], [pic];

Литература
1. Арестов В.В. О неравенствах С.Н. Вернштейна для алгебраических и
тригонометрических полиномов.// ДАН СССР. 1979. Т. 246. ? 6. С. 1289-1292.
2. Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических
полиномов и их производных.// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1981. Т. 45. ?
1. С. 3-22.
3. Boman J. Equivalence of generalized moduli of continuity.// Arkiv fЖr
Matematik. 1980. V. 18. ? 1. P. 73-100.
4. Boman J., Shapiro H.S. Comparison theorems for a generalized modulus of
continuity.// Arkiv for Matematik. 1971. V. 9. ? 1. P. 91-116.
5. Gelfond A.O. Sur les nombres qui ont des proprietes additives et
multiplicatives donnees.// Acta Arithmetica. 1968. V. 13. pp. 259-265.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. М., Наука, 1981.
7. Виноградов О.Л., Жук В.В. Точные оценки отклонения среднего значения
периодической функции через модули непрерывности высших порядков.//
Проблемы математического анализа. 2001. Вып 22. С. 3-26.
8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Двойственность выпуклых функций и
экстремальные задачи.// УМН. 1968. Т. 23. ? 6. С. 51-116.
9. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений М., изд-во
иностранной литературы, 1961.
10. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в [pic] с
обощенным модулем непрерывности.// Матем. сб. 2003.
11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М., Наука, 1989.
12. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М., Наука,
1970.
13. Lorentz G., Golitsihek М.V., Makovoz Y. Constructive approximation:
Advanced Problems.// Comprehensive Studies in Mathematics. 1996. Vol. 304.
14. Golitsihek M.V. Short proofs of the inequalities of SzegЖ, Markov and
Zygmund.// In: Approximation and function spaces, vol. 22, Z. Ciesielski
(ed.) Banach Center Publ. Warszaw. pp. 165-168.
15. Morse M. Recurrent geodesies on a surface on negative curvature.//
Trans. Amer. Math. Soc. 1921. Vol. 22.
16. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения М., Наука, 1977.
17. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в [pic].// Тр. МИАН. 1967. Т. 88. С.
71-74.
18. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций
тригонометрическими полиномами в [pic].// Матем. заметки. 1967. Т. 2. Вып.
5. С. 513-522.
19. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1, 2. М., Наука,
1978.
20. Prouhet M.E. Memoire sur quelques relations entre les puissances des
nombres // C.R. Acad. Sci. Paris. 1851. vol.33.
21. Shapiro H.S. A Tauberian theorem related to approximation theory.//
Acta Math. 1968. V. 120. P. 279-292.
22. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций.//
Доклады АН СССР. 1949. Т. 71. ? 2. С. 135-137.
23. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций.//
Известия АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15. С. 219-242.
24. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа
Джексона в пространствах [pic], [pic].// Матем. сборник. 1975. Т. 98 (140).
? 3 (11). С. 219-242.
25. Шмидт В. Диофантовы приближения. М., Мир, 1983.
26. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М., изд-во иностранной
литературы, 1960.
27. Thue A. эber die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser
Zeichenreihen.// Kra. Vidensk. Selsk. Skrifter. I. Mat.-Nat. Kl. 1912. Nr.
10.
28. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. М., Мир, 1985.
29. Юдин А.А., Юдин В.А. О теоремах Джексона в [pic].// Матем. заметки.
1990. Т. 48. Вып. 4. С. 152-157.