Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/opu/sites/default/files/attached_files/exist_korn_stab.pdf Дата изменения: Thu Feb 21 16:30:28 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 04:28:04 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Лекции 58. Вязкопластические среды: теорема существования, неравенства Корна, устойчивость решений.

1

Теорема существования решения вариационной задачи.

Пусть

T

топологическое пространство. Функция

рывной снизу, если для любого

cR

множество

f : T R называется полунепре{x T : f (x) c} замкнуто.

Упражнение. Предложение 1.

Доказать, что функция

f

полунепрерывна снизу тогда и только

тогда, когда ее надграфик замкнут в

T Ч R. :T R

Пусть T топологический компакт, f снизу. Тогда f достигает своего минимального значения.
Доказательство.
Пусть

полунепрерывна

c0 = inf

xT

f (x).

Тогда

{x T : f (x) = c0 } = c>c0 {x T : f (x)
жеств.

c}

непусто, поскольку является пересечением непустых вложенных компактных мно-

x



Определим канонический оператор вложения i : X X равенством i(x), x = , x, x X , x X . Напомним, что банахово пространство X называется ре-

флексивным, если оператор i сюръективен. Примерами рефлексивных пространств 1 њ1 являются Lp (, , ч), Wp (), Wp () при 1 < p < . Напомним также, что слабая топология в пространстве X задается системой окрестностей вида

U,

x , ..., x 1

m

(x) = {y X : |x (y ) - x (x)| < , j = 1, . . . , m}. j j

Следующую теорему мы приведем без доказательства.

Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар в нем слабо компактен.
Теорема 1.1.
Доказательство импликации рефлексивность



слабая компактность шара

является следствием теоремы Банаха Алаоглу.

тивным Тогда
M

Пусть

X

банахово пространство. Функционал

, если

f (x) +

при

x

f:XR MX

называется

коэрци-

.

Лемма 1.1.

Пусть X банахово пространство, замкнуто в слабой топологии.
1

выпукло и замкнуто.


Доказательство.

Пусть

xM /

. Покажем, что существует окрестность точки

x

в

слабой топологии, не пересекающаяся с M . Действительно, по теореме отделимости, существует функционал x X такой, что x , x > supy M x , y =: c. Множество {y X : x , y > c} не пересекается с M , содержит точку x и открыто в слабой топологии.

Пусть X рефлексивное банахово пространство, f : X R выпуклый непрерывный коэрцитивный функционал. Тогда f достигает своего минимального значения.
Теорема 1.2. Доказательство.
Из коэрцитивности функционала следует, что найдется такое

R>

0,

что

inf

xX

f (x) = inf

x R

f (x).

Так как пространство

X

рефлексивно, то единич-

ный шар слабо компактен. Остается доказать, что функционал в

f

полунепрерывен

снизу относительно слабой топологии. Для этого покажем, что надграфик

f

замкнут

X ЧR

относительно слабой топологии. В самом деле, так как функционал

f

явля-

ется выпуклым и непрерывным, то его надграфик выпуклый и замкнутый, а значит, слабо замкнутый в силу леммы 1.1. Приведем без доказательства теорему вложения Соболева (см. лекции предыдущего семестра).

Теорема 1.3.
1 d

+-
1 q

1 p

>0

Пусть њ . Тогда W

Rd 1 p () Lq ()

ограниченная область, 1 p < , и оператор вложения компактен.



1

q<

,

Теперь мы можем рассмотреть некоторые примеры применения теоремы 1.2. њ1 Пример 1. Пусть Rd ограниченная область, X = Wp (), 1 < p < ,




f ( u) =
где

|u(x)| dx +
p
,

g (x)u(x) dx,

gL

r r -1

(),

1 d

+1- r

1 p

>0

d u |u| = xj j =1 2

2

.

(1.1)

Из теоремы вложения С.Л. Соболева и неравенства Гельдера следует, что функционал

u


g (x)u(x) dx

непрерывен;

u



|u(x)|p dx f
удовлетворяет условиям теоремы

p

-я степень нормы пространства

X

. Тем самым,

и достигает минимума. В задаче о стационарном движении вязкопластической среды функционал держит не все производные функци когда функция

J

со-

v

, а только их комбинации вида

(e)

при достаточно больших значениях

даны нулевые граничные условия на замкнутом множестве S , в качестве про1 странства W естественно рассмотреть Wp (), а в качестве подпространства W0 W на котором минимизируется функционал

|e|

eij (v ).

имеет порядок

В случае, |e|p и за-

J

, замыкание множества бесконечно-

гладких функций с нулевой дивергенцией, равных нулю в окрестности множества њ1 S . В частности, W0 Wp (). Коэрцитивность функционала J будет вытекать из следующего результата.

2


Теорема 1.4.

1
Пусть Rd ограниченная область, . Тогда существует константа C (p) такая, что для любой функции , Rd ) выполнено
(первое неравенство Корна).







|u| dx
p
Тем самым, получаем

C (p)

|eu (x)|p dx.

(1.2)

Пример 2.
1.

Пусть диссипативный потенциал, при этом найдутся такие p что C1 |e| (e) C2 |e|p при |e| R;

: R5 R+ C2 > 0, R > 0, gL
r r -1

C1 > 0,

2. 3.

(),

1 3

+1- r

1 p

>0

;

њ1 X Wp (, R3 )

замкнутое подпространство,

J : X R,

J ( u) =

Тогда функционал

(eu (x)) dx +


g (x)u(x) dx.

J

имеет точку минимума на пространстве

X

. В частности, за-

дача о медленном стационарном движении вязкопластической среды с условиями прилипания к границе разрешима. Если область имеет липшицеву границу и на куске этой границы заданы нулевые условия, то также можно доказать неравенства Корна и тем самым получить теорему существования.

Rd ограниченная область с липшицевой границей, S непусто и 1 d 1 d открыто в . Обозначим Wp (, S, R ) замыкание по норме пространства Wp (, R ) множества бесконечно гладких функций, равных нулю в окрестности S .
Пусть

липшицевой границей, 1 что для любой функции

Теорема 1.5.

(второе неравенство Корна).





Пусть Rd ограниченная область с . Тогда существует константа C (p, , S ) такая, 1 d p (, S, R ) выполнено



|u| dx
p
Для произвольного

C (p, , S )

|eu (x)|p dx.

(1.3)

p>1

неравенства Корна доказаны в работе П.П. Мосолова

и В.П. Мясникова [4]. Идея их доказательства такая же, как у теорем вложения Соболева. В следующем параграфе мы изложим доказательство О.А. Олейник и В.А. Кондратьева для случая

p = 2.

2

Доказательство неравенств Корна при

p=2

Заметим, что неравенства достаточно проверить для бесконечно гладких функций. Поэтому всюду далее считаем, что v C ().

Доказательство первого неравенства Корна.

Имеет место тождество

2 vi eik (v ) + eij (v ) - ej k (v ), i, j, k = 1, . . . , d. xj xk xj xk xi
3

(2.1)


В частности,

vi
Пусть

d ( k=1

) 2 eik (v ) - ekk (v ) . xk xi

(2.2)

v C0 (, R3 ).
получаем

Применяя формулу Стокса и пользуясь симметричностью

eij (v ),

|v | dx = -
2




vi vi dx = -2


(2.2)



eik (v )vi dx + xk ekk (v )





ekk (v )vi dx = xi

=2 =2


eik (v )

vi dx - xk


vi dx = xi 2


eik (v )eik (v ) dx -

ekk (v )eii (v ) dx

eik (v )eik (v ) dx,

поскольку во втором слагаемом под интегралом стоит полный квадрат. Последняя величина в цепочке неравенств с точностью до некоторого множителя не превосходит |ev (x)|2 dx. Теперь перейдем к доказательству второго неравенства Корна. Сначала докажем два вспомогательных неравенства. Всюду далее для

x

будем обозначать

(x) = dist (x, ) := inf |x - y |.
y

Пусть Rd ограниченная область, найдется константа C (d) такая, что
Лемма 2.1.

v = 0

в ,

v L2 ()

. Тогда
(2.3)







(x)|v (x)| dx
2 2

C (d)

|v (x)|2 dx. |x - y |,

Доказательство.
любого

Нетрудно проверить, что

|(x) - (y )|

поэтому для

i = 1, . . . , d (x) xi 1
п.в. (2.4)

Обозначим

= {x : (x) > }.
Пусть

C0 ( )

. Так как функция

v

гармоническая, то она гладкая внутри области

.

Значит, по формуле Стокса,

( ) d v 0= (x)v (x) (x) dx = xi xi i=1



=



(x)|v (x)| dx +
2


d v (x) (x) (x)v (x)v (x) dx + v (x) dx = xi xi i=1

4


=

Пусть теперь Шварцу


d ( x ) v (x) (x)|v (x)| dx + v (x) dx. xi xi i=1
2






липшицева функция с носителем в

функции



. Тогда при малых

, h h носитель h

усреднение по Стеклову /2 содержится в . Кроме

того, функция

h

бесконечно гладкая,

- h
В силу доказанного,

C ()

h0

0, - h

L1 ()

h0

0.


/
так что
2

d h (x) v (x) h (x)|v (x)| dx + v (x) dx = 0, xi xi i=1
2
/2





d (x) v ( x) (x)|v (x)| dx + v ( x) dx = 0. xi xi i=1
2


В частности,

((x) - ) |v (x)| dx = -2
2 2

d



((x) - )

i=1

( x) v ( x) v ( x) dx. xi xi
получаем

Воспользовавшись (2.4) и неравенством

((x) - )2 |v (x)|2 dx

Если



2ab

a2 + -1 b2 , > 0,

A(d)

((x) - )2 |v (x)|2 dx +



-1







v 2 (x) dx .

=

1 , то 2A(d)

((x) - ) |v (x)| dx
2 2


C (d)



v 2 (x) dx,

где

C (d) = 4A(d)2

. Устремив

0

, получим (2.3).

Лемма 2.2.

(неравенство Харди).

Пусть
4
0

> 0 C 1 [0, ] (0) = 0
2

,

,

. Тогда
(2.5)

2 (t) dt
0

( - t)2 | (t)| dt.

Доказательство.

Покажем, что разность правой и левой части (2.5) представима

в виде полного квадрата:

4
0 2

( - t) | (t)| dt -
0




2

(t) dt =
0 2

(2( - t) (t) - (t)) dt.
2

Действительно, раскрывая скобки в правой части последнего равенства и интегрируя по частям, получаем


0


(

) 4( - t)2 | (t)|2 - 4( - t)(t) (t) + 2 (t) dt =

См. курс уравнений с частными производными или лекции предыдущего семестра

5


=
0 2

4( - t) | (t)| dt - 2
2 0



(t) dt +
2

2 (t) dt.
0

Пусть с константой L, inf
Лемма 2.3.

~ = [-1, 1]d-1 = [-2, 2]d-1 ~ z (z ) = 0 > 0 0 < 0 < 0

,

,

,

, функция

~ :R

+

липшицева
t (z )},
(2.6)

~ ~ = {(z , t) Rd : z , -

0

t

(z )}, = {(z , t) Rd : z , 0

E = {(z , t) Rd : z , 0

t

0 },

(2.7)

расстояние от точки , выполнено



(z , t) (z , t) C1 (L, 0 , 0 , d) C2 = C2 (L, 0 , 0 , d)
E
Пусть

~ до . Тогда найдутся константы такие, что для любой функции f C |f (z , t)|2 2 (z , t) dz dt.

Положим



C1 = ()

f (z , t) dz dt
Доказательство.

2

C1

f (z , t) dz dt + C2

2

(2.8)

{(z , t) : t

}.

[0, 0 ].

h (z , t) = f (z , t) - f (z , ), =

Применяя неравенство Харди, получаем

f (z , t) dz dt =
2

(f (z , ) + h (z , t))2 dz dt


2


(z

)


2

(z

)

dz


f (z , ) dt + 2


dz
( z)

h2 (z , t) dt
2

M1 (L, 0 , 0 )


f (z , ) dz + 8
2

dz


h (z , t) ( (z ) - t) t
2 2

dt

M1 (L, 0 , 0 )
Отсюда

f 2 (z , ) dz + 8

( (z ) - t)

f (z , t) t

2

dz dt.

0


f (z , t) dz dt
E 2

0



0 E

f (z , t) dz dt +
0 0


2

f 2 (z , t) dz dt f (z , t) t
2

M2 (L, 0 , 0 )
Так как функция получаем (2.8).
Множество

f 2 (z , t) dz dt + 8

( (z ) - t)2

dz dt.



липшицева с константой

такая, что для любого

(z , t)

выполнено

L, то найдется константа M3 (0 , 0 , L, d) (z ) - t M3 (0 , 0 , L, d)(z , t). Отсюда

C ()

определяется как

{f | : f C (Rd )}.

6


Следствие 2.1.

Пусть область D звездна относительно шара B . Тогда найдутся такие константы C1(D, B ) и C2(D, B ), что
f (x) dx
D 2

C1 (D, B )
B

f (x) dx + C2 (D, B )
D

2

|f (x)|2 2 (x) dx.

(2.9)

Доказательство.

Множество

D\B

можно покрыть конечным числом областей

D

1

i

m

, для которых найдутся области

~~ Di ,

i и биекции

~ ~ i : Di

i,

i со следую-

щими свойствами:

~ ћ Di Di ; ћ
i является композицией сдвига, поворота и гомотетии;
задаются формулами вида (2.6) с некоторыми

~ ћ i и i := i (Di ) (ћ) = i (ћ); ћ
пусть

0 = 0

,i ,

E = Ei

i задается формулой (2.7); тогда

- i 1 (Ei ) B

.

Остается применить лемму 2.3.

Лемма 2.4.

Пусть область D звездна относительно шара B . Тогда найдутся такие константы C3(D, B ) и C4(D, B ), что для любой функции v C (, R3) выполнено
|v (x)| dx
2 D

C3 (D, B )
B

|v (x)| dx + C4 (D, B )
2 D

|ev (x)|2 dx. w = (w1 , . . . , wn )

(2.10)

Доказательство.
шение уравнений

Воспользуемся тождеством (2.2). Пусть

ре-

wi =
с граничными условиями что

n ( k=1

) 2 eik (v ) - ekk (v ) xk xi
Положим

(2.11)

wi |

D

= 0.

z = v-w

. Из (2.11) и (2.2) следует,

zi = 0

в

D, zi C (D), i = 1, . . . , d,

(2.12)



Оценим отдельно

eij (z ) = 0 в D, i, j = 1, . . . , d. |w|2 dx и |z |2 dx. Отсюда будет следовать
D D

(2.13) оценка величины

|v |2 dx.

D
Применив (2.11), формулу Стокса и неравенство КошиБуняковского, получаем

|w| dx = -
2

wi ћ wi dx = 2
D

eik (v ) wi dx - xk


D

ekk (v ) wi dx xi

D

D

2
D

eik (v )

wi xk

wi dx+ ekk (v ) dx xi
D

1/2 1/2 M1 (d) |w(x)|2 dx |ev (x)|2 dx ,
D D

7


поэтому

|w(x)| dx
2 D
Теперь получим оценку

M2 (d)
D

|ev (x)|2 dx.

(2.14)

|z | dx
2 D

M3 (D, B )
D

|ev (x)| dx + M4 (D, B )
2 B

|v |2 dx.

(2.15)

Отсюда и из (2.14) будет следовать утверждение теоремы. zi Применив следствие 2.1 к функции f (x) = (x), получаем, что xj

|z | dx
2 D
Оценим первое слагаемое:

M5 (D, B )
B

|z | dx + M6 (D, B )
2 D

2 (x)


||=2

|D z |2 dx.

|z | dx
2 B

2
B

|v | dx + 2
2 D

|w| dx
2

(2.14)

2
B

|v | dx + 2M2 (d)
2 D

|ev (x)|2 dx.

Оценим второе слагаемое:

(x)
D 2


||=2

|D z | dx
2

(2.1)

M7 (d)

d i,j =1 D

2 (x)|eij (z )|2 dx

(2.3),(2.13)

M8 (d)

d i,j =1 D

|eij (z )|2 dx

M9 (d)

d i,j =1

|eij (v )|2 dx + |eij (w)|2 dx
D D 2 (2.14)

M10 (d)
D
Неравенство (2.15) доказано.

|ev (x)| dx + M11 (d)
2

d

|wi | dx

M12 (d)
D

|ev (x)|2 dx.

i=1 D

Доказательство второго неравенства Корна.

Для

>0

обозначим

= {x : dist (x, )
Существуют шаров 1. 2. 3.

}. G
i , звездных относительно

Bi , 0

i

>0и m, для

конечное множество областей

которых выполнены следующие свойства: при

(m Gi ), Gi i=0

1

i

m

;

G0 S , G0 = , B0 G0 \; Bi , 1 i m v
. нулем на множество

Продолжим функцию что

G0 \.

Применяя лемму 2.4, получаем,

|v (x)| dx
2 G0

C0
G0

|ev (x)|2 dx,

(2.16)

8


|v (x)| dx
2 G
i

Ci
G
i

~ |ev (x)| dx + Ci
2
. Пусть

|v (x)|2 dx, 1 { Di }

i

m.
открытыми

Остается оценить величину шарами,

|v (x)|2 dx

k i=0 покрытие



^ Di , D0 G0 = . Тогда существует шар B D0 G0 . (2.16) 2 2 2 |v (x)| dx M0 |ev (x)| dx + M0 |v (x)| dx M0
0

По лемме 2.4,

|ev (x)|2 dx. I0 = {0},

D

D0

^ B

D0 (G0 )

Для

j Z+

по индукции определим множества индексов

Ij

. Положим

I

j +1

= {i = 1, . . . , k : i I0 ћ ћ ћ Ij , l Ij : Di Dl = }. / |v (x)| dx
2 Di

Пусть доказана оценка

Mj
E
j

|ev (x)|2 dx, i Ij ,

(2.17)

Ej = (G0 ) lI0 ћћћIj Dl . Покажем, что такая же оценка выполнена для i Ij +1 . В самом деле, найдется такое l Ij , что Di Dl = . Выберем шар Dil Di Dl . По лемме 2.4, существуют такие M , M > 0, что (2.17) 2 2 2 |v (x)| dx M |ev (x)| dx + M |v (x)| dx Mj +1 |ev (x)|2 dx.
где

(

)

Di

D

i

D

il

E

j +1

3

Близость реологических моделей

Вид функции



(диссипативного потенциала) находится для каждого материала экс-

периментально. Поэтому она задана только приближенно, и возникает вопрос об устойчивости решения задачи

J (u) :=

при малых возмущениях функции щее соотношение:

(e(u)) dx -


f u dx -


P u ds inf

(3.1)



.

Под близостью диссипативных потенциалов

1 , 2

мы будем понимать следую-

|1 (e) - 2 (e)| ,
решений в зависимости от

+ max{1 (e), 2 (e)}

для всех

e,

(3.2)

малые числа. При некоторых условиях на

j будет получена оценка на разность
, если существует не-

,

.

Назовем непрерывный функционал прерывная, положительная при

J (u)

ч>0

сильно выпуклым
E (ч, c)
если

функция

такая, что

( J

u1 + u 2

)
2

1 1 J (u1 ) + J (u2 ) - E (u1 - u2 , c), 2 2

u1 , u2

c.

(3.3)

Приведем некоторые свойства сильно выпуклых функционалов:

9


1. если

J сильно выпуклый, то он строго (1 - )J (v ) при u = v , (0, 1); J
1 сильно выпуклый,

выпуклый, т.е.

J (u + (1 - )v ) < J (u) +

2. если

J

2 выпуклый, то

J1 + J

2 сильно выпуклый.

Теорема 3.1.

Пусть диссипативным потенциалам 1, 2, удовлетворяющим (3.2), соответствуют функционалы J1(u), J2(u). При этом, J1 сильно выпуклый и для него выполнено (3.3) с функцией E . Пусть u1, u2 точки минимума функционалов J1 и J2 соответственно, u1 c, u2 c. Тогда выполнена оценка
E (u1 - u2 , c)

(3.4)

2|| + max{1 (eu1 ), 2 (eu1 )} dx + max{1 (eu2 ), 2 (eu2 )} dx .

Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение.

Предложение 2.

минимума,

u0

Пусть J (u) сильно выпуклый функционал, c, u c. Тогда
E (u - u0 , c) J (u) - J (u0 ). ( )
0
Так как

u

0

его точка

Доказательство.

u

0 точка минимума, то

3 J (u0 ) 2

1 J (u) + J 2

u+u 2

.

Отсюда и из определения сильной выпуклости получаем

E (u - u0 , c)

1 1 J (u) + J (u0 ) - J 2 2

(

u+u 2

)
0

J (u) - J (u0 ).

Следствие 3.1.

единственна.!

Если функционал J сильно выпуклый, то его точка минимума
Из предположений теоремы следует, что для

Доказательство теоремы 3.1.

i=

1, 2 |J1 (ui ) - J2 (ui )| || +

Из предложения 2 получаем, что

|1 (eui ) - 2 (eui )| dx


max{1 (eui ), 2 (eui )} dx.

E (u1 - u2 , c)
откуда следует (3.4).

J1 (u2 ) - J1 (u1 )

J1 (u2 ) - J2 (u2 ) + J2 (u1 ) - J1 (u1 ),

!

Это утверждение также следует из строгой выпуклости

J

.

10


Часто в теории вязкопластических сред функция ищется решение, таковы, что



и пространство, в котором

(e(u)) dx


u ,

> 0, > 1 не зависят от u. Предполагается, что линейная часть L(u) функционала J (u) непрерывна по u. В этом случае можно получить оценку на константу c из теоремы 3.1. В самом деле, заметим, что J (0) = 0. Если u0 точка минимума функционала J , то J (u0 ) J (0) = 0, откуда u0 (e(u0 )) dx |L(u0 )| L ћ u0 .
где


Значит,

( u0

L

)

1 -1

.

Теперь приведем некоторые примеры сильно выпуклых функционалов. Пример 1. Пусть H гильбертово пространство, J (u) = u2 . В силу тождества параллелограмма

1 1 u1 2 + u2 2 = u1 + u2 2 + u1 - u2 2 , 2 2
этот функционал сильно выпуклый и

Пример 2.
функционал

E (ч, c) = 1 ч2 4

.

Из свойства 2 сильной выпуклости следует, что при

> 0,

0

J (u) =


f u dx - P u ds


( |eu | + |eu |) dx -
2

является сильно выпуклым на пространстве

Пример 3.
странство,

Имеет место

u1 , u2 : H , 2 p < , то p u 1 + u2 u1 - u dx + 2 2


неравенство Кларксона
p 2

њ1 W2 ().
: если

(H, | ћ |)

евклидово про-

dx
/

1 2

(|u1 |p + |u2 |p ) dx.
1/
,

В самом деле, из неравенства

(|u| + |v | )1 (

(|u| + |v | )

0 < < < , )

тож-

дества параллелограмма и неравенства Гельдера получаем, что при фиксированном

x u1 (x) + u2 (x) 2
p

u1 (x) - u2 (x) + 2 (

p

u1 (x) + u2 (x) 2

2

u1 (x) - u2 (x) + 2

2

p/2

=

=

|u1 (x)|2 |u2 (x)|2 + 2 2

)

p/2

1 (|u1 (x)|p + |u2 (x)|p ). 2 .

Остается проинтегрировать полученное неравенство по Из неравенства Кларксона следует, что функционал

u

11

|u(x)|p dx


при

p

2

сильно выпуклый и

E (ч, c) = чp /2 ([

p

. Оказывается, при

1
и

H=R

этот функционал также сильно выпуклый и
p-2 p-1

E (ч, c) = c

] ) 1 +1 p-1

-1

ч

p p- 1

(см. [1], [6]); квадратные скобки здесь обозначают целую часть.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] П.П. Мосолов, В.П. Мясников, Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.

[2] Л.В. Канторович, Г.П. Акилов, [3] M. Fuchs, G. Seregin,

Функциональный анализ Variation Methods for Problems from Plasticity Theory and for Generalized Newtonian Fluids
. М.: Наука, 1984. . Springer, 2000. сплошных сред,

[4] П.П. Мосолов, В.П. Мясников, О корректности краевых задач в механике

Мат. сборник

,

88(130)

:2(6) (1972), 256267.

[5] O.A. Oleinik, V.A. Kondratiev, On Korn's inequalities,

I Math.

,

308

C.R. Acad. Sci. Paris Ser.

:16 (1989), 483487.

[6] П.П. Мосолов, В.П. Мясников, Вариационные методы в теории течений жестковязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1971. [7] С.Л. Соболев,

ческой физике

Некоторые применения функционального анализа в математи-

. Изд. Ленингр. ун-та, 1950.

12