Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ODU_08.pdf Дата изменения: Wed Feb 20 20:52:10 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:07:52 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям Кафедра дифференциальных уравнений, 2008 г.

1. 2.

[10] Найдите eA , где

111 A = 1 1 1 . 111

3.

Пусть особая точка линейного векторного поля на плоскости устойчивый фокус. a) [5] За конечное ли время проходит точка траекторию от своего начального значения до начала координат? b) [10] Конечна ли длина этой траектории? [15] Возможно ли раскачать математический маятник внешней силой порядка за время порядка -1 , т. е. можно ли в задаче
x

при некотором фиксированном C > 0 для каждого полученной задачи удовлетворяло неравенству
1

x + x = f (t), Е

|f (t)|

,

t

>0

подобрать непрерывную функцию f так, чтобы решение
1?

0,

x(0) = 0,

x(0) = 0,

max |x(t)|
0 t C /

4. 5. 6.

[10] Доказать, что для любого n N функции et , et , . . . , et линейно независимы на отрезке [0; 1]. [20] Доказать, что если определитель Вронского скалярных функций f , g, h C2 (I ) на интервале I тождественно равен нулю, то на некотором интервале J I они линейно зависимы. Пусть на плоскости задано гладкое векторное поле v. Можно ли утверждать, что все непродолжаемые решения уравнения
2 n

7.

определены на всей числовой оси, если: a) [10] |v (x)| |x|, x R2 ; b) [5] |v (x)| |x|2 , x R2 ? a) [5] Нарисовать фазовые кривые уравнения
b)

x = v (x)

x + x3 = 0. Е

8.

[10] Найти период малых колебаний вблизи его нулевой неподвижной точки (т. е. предел периода колебаний, амплитуда которых стремится к нулю). [20] Может ли случиться так, что нулевое решение уравнения
x = f (x), Е

9.

устойчиво по Ляпунову, а все остальные неустойчивы? a) [10] Устойчиво ли по Ляпунову нулевое решение уравнения
x + (x)20 Е
b)
07

f C1 (R)

(f (0) = 0),

+ 2 x = 0 ( > 0)? x(t)

10.

[15] Обязательно ли существует предел произвольного ненулевого решения и чему он может быть равен? Назовем частотой функции x: [0; ) R величину
(x) = lim
T +

этого уравнения при

t

,

где
a)

(x, T )

количество нулей (с учетом кратности) функции x на промежутке [15] Оценить сверху частоту произвольного ненулевого решения уравнения
x(2
008)

(x, T ), T

(0, T ].

+ x = 0.

b) 11.

[25] Найти частоту функции
ч C1 (G)

x(t) = sin t + sin t.

[20] Пусть а



интегрирующий множитель

для уравнения
M , N C1 (G),

M (x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0, (x, y ) = C

общее решение соответствующего уравнения в полных дифференциалах
ч(x, y )M (x, y ) dx + ч(x, y )N (x, y ) dy = 0.

Какой формулой задаются все остальные интегрирующие множители исходного уравнения?