Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/samost4.pdf Дата изменения: Mon Feb 25 17:23:30 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:10:33 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

Задание 1. Метод Фурье для одномерных эволюционных уравнений.
ћ Найти собственные функции и собственные значения соответствующей спектральной задачи, дать представление решения однородной смешанной задачи (с нулевой правой частью и граничными условиями) в виде ряда; ћ подобрать частное решение неоднородной задачи при указанных в таблице правой части и граничных данных; ћ написать формулу общего решения неоднородной задачи и найти это решение (в виде ряда) при указанных в таблице начальных данных; ћ найти собственные функции сопряженной спектральной задачи; ћ проверить биортогональность собственных функций исходной и сопряженной спектральной задачи; ћ свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решить эту систему при указанных в таблице правой части, начальных и конечных данных и получить представление решения в виде ряда; сравнить полученные решения.
Уравнение, граничные условия Начальные условия Правая часть, граничные данные

Самостоятельная работа 4

1. u 2. u 3. u 4. u 5. u 6. u 7. u 8. u 9. u 10. u

utt = uxx - 2ux + f (t, x) u(0, x) = 1 (t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) ut (0, x) = x(1 - x) ut = uxx - 2ux + f (t, x) u(0, x) = x x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + ux + f (t, x) u(0, x) = x2 ut (0, x) = 1 x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) ut = uxx - ux + f (t, x) u(0, x) = 1 x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + 2ux + f (t, x) u(0, x) = x(1 - x) (t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) ut (0, x) = 0 utt = uxx + 3ux + f (t, x) u(0, x) = 1 (t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) ut (0, x) = 1 ut = uxx - ux + f (t, x) u(0, x) = ex x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx - 3ux + f (t, x) u(0, x) = 1 (t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) ut (0, x) = 0 ut = uxx - 3ux + f (t, x) u(0, x) = 1 x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + ux + f (t, x) u(0, x) = 1 ut (0, x) = 0 x (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t)

x) = x + t sin x = 1, ч(t) = 1 + t x) = x + t sin x = 1 + t, ч(t) = 1 f (t, x) = 1 (t) = t2 , ч(t) = 0 f (t, x) = t2 + sin x (t) = 1, ч(t) = 1 f (t, x) = xt + x2 (t) = t, ч(t) = t f (t, x) = et x + t (t) = et , ч(t) = et f (t, x) = xe-2t (t) = t + 1, ч(t) = 2t + e f (t, x) = xt2 (t) = 1, ч(t) = 1 f (t, x) = x(1 - x) (t) = et , ч(t) = et f (t, x) = t2 sin 2 x (t) = 1, ч(t) = t

f (t, (t) f (t, (t)


11. 12. 13. 14. 15. 16.

17.

18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

ut = uxx + ux + f (t, x) ux (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + f (t, x), u(t, 1) = ч(t) ux (t, 0) - u(t, 0) = (t) ut = uxx + f (t, x), u(t, 1) = ч(t) ux (t, 0) - u(t, 0) = (t) utt = uxx + f (t, x), u(t, 0) = (t) ux (t, 1) + u(t, 1) = ч(t) ut = uxx + f (t, x), u(t, 0) = (t) ux (t, 1) + u(t, 1) = ч(t) utt = 4uxx + f (t, x) ux (t, 0) - u(t, 0) = (t) u(t, 1) = ч(t) ut = 4uxx + f (t, x) ux (t, 0) - u(t, 0) = (t) u(t, 1) = ч(t) 4utt = uxx + f (t, x), u(t, 0) = (t) ux (t, 1) + u(t, 1) = ч(t) 3ut = uxx + f (t, x), u(t, 0) = (t) ux (t, 1) + u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + f (t, x), ux (t, 0) = (t) ux (t, 1) + 2u(t, 1) = ч(t) ut = uxx + f (t, x), ux (t, 0) = (t) ux (t, 1) + 2u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + f (t, x), ux (t, 0) = (t) ux (t, 1) + 2u(t, 1) = ч(t) ut = uxx + f (t, x), ux (t, 0) = (t) ux (t, 1) + 3u(t, 1) = ч(t) utt = uxx - 2ux + u + f (t, x) u(t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + 4ux + u + f (t, x) u(t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) ut = uxx - ux - u + f (t, x) ux (t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) ut = uxx - 2ux - u + f (t, x) u(t, 0) = (t), u(t, 1) = ч(t) utt = uxx + ux - u + f (t, x) u(t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) utt = uxx - 2u + f (t, x) ux (t, 0) = (t), ux (t, 1) = ч(t) ut = uxx + u + f (t, x)

u(0, x) = 0 u(0, x) = 0 ut (0, x) = cos u(0, x) = 0

x 2

u(0, x) = 1 - x ut (0, x) = 0 u(0, x) = 0 u(0, x) = 1 ut (0, x) = 0 u(0, x) = -1

u(0, x) = x ut (0, x) = x u(0, x) = x u(0, x) = -1 ut (0, x) = 1 - x u(0, x) = 0 u(0, x) = 0 ut (0, x) = x u(0, x) = sin x u(0, x) = cos x ut (0, x) = 1 u(0, x) = cos 2 x ut (0, x) = 0 u(0, x) = x u(0, x) = x(1 - x) u(0, ut (0, x) u(0, ut (0, u(0, x) x) = 0 = 3 sin x x) = 1 x) = 1 = sin x

f (t, x) = xt2 - 1 (t) = t, ч(t) = t - 1 f (t, x) = sin x + sin t (t) = 1, ч(t) = 0 f (t, x) = xt (t) = t, ч(t) = 1 f (t, x) = t cos 2 x (t) = 1, ч(t) = t f (t, x) = t2 (1 - x) + 1 (t) = t2 , ч(t) = t2 f (t, x) = sin 2 x (t) = 1 - t2 ч(t) = 1 + t2 f (t, x) = t3 - x (t) = t - 1 ч(t) = 2t - 1 f (t, x) = tx + e-3t (t) = 0, ч(t) = t f (t, x) = x - x5 (t) = 0, ч(t) = 1 f (t, x) = e2t - xet (t) = -et , ч(t) = -e2 f (t, x) = xt - t2 x2 (t) = 1, ч(t) = 1 f (t, x) = x cos t (t) = ч(t) = sin t f (t, x) = xt (t) = t, ч(t) = 0 f (t, x) = xt2 (t) = 1, ч(t) = -1 f (t, x) = te-2x (t) = 1, ч(t) = 1 f (t, x) = x - tex (t) = 0, ч(t) = 1 f (t, x) = x2 - sin 2 x (t) = 0, ч(t) = 0 f (t, x) = t2 (t) = t2 , ч(t) = t2 f (t, x) = x sin x (t) = 1, ч(t) = 1 + t f (t, x) = 1

t


Задание 2. Решить с помощью преобразования Лапласа задачи:
1. ut = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|
x=0

= 0, u|x=1 = t, u|t
=0

=0

= 0; = 0;

2. ut = uxx - 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 0, u|t 3. ut = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u|
x=0

= x;
t=0

= t, u|x

=

= 0, u| = 0;

4. ut = uxx + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = t, u|t 5. ut = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 1; 7. ut = uxx + ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| u|t=0 = sin 2 x; 8. ut = u
x=0

=0

= 0, u|x= = 0,
=0

6. ut = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 1, u|t
x=0

= 1;

= 0, u|x=1 = 0,
=1

u|

t=0

- 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x = 0;
xx t-2x

=0

= sin t, u|x
=0

= 0,

9. ut = uxx + e

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0 =0

= et , u|t = 0, u|

= 0; = 2t, u|
=0 t=0

10. ut = 4uxx + ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, ux |x

x=1

= 0; = 0,

11. ut = uxx + 3ux - t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = 0, u|t 12. ut = uxx - 7ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u|x u|t=0 = 0; 14. ut = u
=0

= - x;
=

= t2 , ux |x
t=0

13. ut = 2uxx + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = 2t, u|
xx

= 0;
x=

+ u - e-t sin 2x, 0 < x < , 0 < t < +, u|x=0 = 0, u|
=0

= 0,

u|

t=0

= 0; = 1;
x=1

15. ut = uxx + 2ux + u - 1, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = 1, u|t

16. ut = uxx + ux - 2u + et , 0 < x < 1, 0 < t < +, ux |x=0 = 0, u| u|t=0 = sin 2 x; 17. ut = uxx - 2ux + 5u + tx(1 - x), 0 < x < +, 0 < t < +, u| u|x=1 = 0, u|t=0 = 0; 18. ut = uxx + 4e
2t+x

= 0,

x=0

= sin t,

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = e2t , u|t

=0

= 0;
=0

19. utt = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u|x=0 = 0, u|x ut |t=0 = 0; 20. utt = uxx - 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|x ut |t=0 = -x; 21. utt = u
=0

=1

= t, u|t

= 0, = 0, = 0,

= 0, u|t = t, u|

=0

u|

t=0

- ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u|x = 0, ut |t=0 = 0;
xx

=0

x=


22. utt = uxx - ux - sin 2t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = cos x; 23. utt = u
xx

x=0

= 0, u|x = t, u|

=

= 0, = 0, = 0, = 1; = 1, = 0, = 0, = 0;

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |

x=0

t=0

ut |t

=0

= 0;
=0

24. utt = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u|x u|t=0 = 1, ut |t=0 = 0; 25. utt = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|
x=0

= 0, u|x

=

= t, u|

t=0

= 0 , ut |

t=0

26. utt = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 1, u|t ut |t=0 = 0; 27. utt = uxx + ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| u|t=0 = sin 2 x, ut |t=0 = 0;
x=0

=0

= 0, u|x

=1

28. utt = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = sin t, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 29. utt = uxx + e 30. utt = uxx + e
t-2x

x=1

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = et , u|t

=0

= 0 , ut |

t=0

t+2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 0, u|

t=0

= 0, ut |

t=0

= e 2x .


Задание 3. Решить с помощью преобразования Фурье задачи:
1. utt - 2ut = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0;
x=0

= 0, u|x

=1

= t, = x, = 0, = 0, = 0, = 1, = 0,

2. utt + 3ut - u = uxx - 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 0, u| ut |t=0 = 0; 3. utt + ut + u = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 4. utt + 2ut = uxx + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux | ut |t=0 = 0;
x=0

t=0

= t, u|x = t, u|t

=

x=0

=0

5. utt + 6ut + 9u = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|x= = 0, u|t=0 = 1, ut |t=0 = 0; 6. utt - ut = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x ut |t=0 = 0; 7. utt + ut = u
=0

x=0

= 1, u|t = 0, u|

=0

u|

t=0

+ ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| = sin 2 x, ut |t=0 = 0;
xx

x=0

x=1

8. utt + ut = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 9. utt + 2ut - 3u = u ut |t=0 = 0;
xx

=0

= sin t, u|x=1 = 0, = et , u| = 0, u|
t=0

+e

t-2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= 0,

10. utt + 4ut + 3u = 4uxx + ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, ux | u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 11. utt + ut = uxx + 3ux - t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x ut |t=0 = 0;

x=0

x=1

= 2t,

=0

= 0, u|t

=0

= - x, = t2 ,

12. utt - ut - 2u = uxx - 7ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u| ux |x= = 0, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0;

x=0

13. utt + 5ut + 6u = 2uxx + ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = 2t, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 14. utt - ut = uxx + u - e u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0;
-t

sin 2x, 0 < x < , 0 < t < +, u|x

=0

= 0, u|x = 1, u|

=

= 0, = 1,

15. utt + ut = uxx + 2ux + u - 1, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x ut |t=0 = 0; 16. utt - 2ut = u
xx

=0

t=0

u|

t=0

+ ux - 2u + et , 0 < x < 1, 0 < t < +, ux |x=0 = 0, u|x=1 = 0, = sin 2 x, ut |t=0 = 0;
x=0

17. utt + 3ut = uxx - 2ux + 5u + tx(1 - x), 0 < x < +, 0 < t < +, u| u|x=1 = 0, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0;

= sin t,


18. utt + ut - 2u = uxx + 4e ut |t=0 = 0;

2t+x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|

x=0

= e2t , u|

t=0

= 0,

19. utt - ut = uxx + 2ux + tx, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 20. utt + 2ut + u = u ut |t=0 = -x;
xx

x=0

= 0, u|x=1 = t, = 0, u|
t=0

- 3ux + t2 , 0 < x < +, 0 < t < +, u|x

=0

= 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 1, = 0,

21. utt - ut - u = uxx - ux + x sin t, 0 < x < , 0 < t < +, u|x=0 = t, u|x u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 22. utt - u = uxx - ux - sin 2t, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 0, ut |t=0 = cos x; 23. utt + ut = u ut |t=0 = 0;
xx x=0

=

= 0, u|x

=

+ ux + 2t, 0 < x < +, 0 < t < +, ux |x=0 = t, u|
x=0

t=0

24. utt + 2ut = uxx + u + et sin x, 0 < x < , 0 < t < +, u| u|t=0 = 1, ut |t=0 = 0;

= 0, u|

x=

25. utt - ut = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u| ut |t=0 = 1;

x=0

= t, u|t

=0

26. utt - 3ut = uxx + 2ux + u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = 1, u|t ut |t=0 = 0; 27. utt + ut = u

=0

u|

t=0

+ ux - 2u, 0 < x < 1, 0 < t < +, u| = sin 2 x, ut |t=0 = 0;
xx

x=0

= 0, u|

x=1

28. utt - 2ut = uxx - 2ux + 5u, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x=0 = sin t, u|x=1 = 0, u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0; 29. utt + u = u ut |t=0 = 0;
xx

+ et

-2x

, 0 < x < +, 0 < t < +, u|x , 0 < x < +, 0 < t < +, u|

=0

= et , u|t = 0, u|t

=0

= 0, = 0,

30. utt - u = uxx + e ut |t=0 = e2x .

t+2x

x=0

=0


Выяснить, при каких значениях параметра данная функция принадлежит указанному функциональному пространству. Функция Пространство

Задание 4. Функциональные пространства и особенности функций.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

|x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| |x| (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 ) x + y x + y x + y x + y x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z

H 1 (R) H 1 [0, 1] H 2 (R) H 2 [0, 1] H 1 (R2 ) H 1 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 2 (R2 ) H 2 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 1 [-1, 1] H 2 ([-1, 1] Ч [-1, 1]) H 1 [1, 2] H 2 ([1, 2] Ч [-1, 1]) H 1 (R2 ) H 1 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 2 (R2 ) H 2 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 1 ([-1, 1] Ч [-1, 1]) H 2 ([-1, 1] Ч [-1, 1]) H 1 (R3 ) H 1 ([0, 1]3 ) H 2 (R3 ) H 3 ([0, 1]3 ) H 1 (R2 ) H 1 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 2 (R2 ) H 2 ([0, 1] Ч [0, 1]) H 1 (R3 ) H 1 ([0, 1]3 ) H 2 (R3 ) H 2 ([0, 1]3 )


вать, какому функциональному пространству (указать норму) соответствует сходимость указанного ряда. В случае ряда по функциям Бесселя k нули соответствующей функции Бесселя. В случае, когда взаимно однозначного соответствия найти не удается, указать два наиболее близких пространства, принадлежность одному из которых является необходимым условием для сходимости ряда, а другому достаточным. Ряд Коэффициенты

Задание 5. Функциональные пространства и ряды. Найти и обосно-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

|ck |4 < |ck | < k |ck | < k 2 |ck | < k |ck |2 < k 2 |ck |2 < 1 k |ck | < 1 2 k |ck | < 1 k 2 |ck | < 12 k 2 ck < |ck |4 < |ck | < k |ck | < k 2 |ck | < k |ck |2 < k 2 |ck |2 < 1 k |ck | < 1 2 k |ck | < 1 k 2 |ck | < 12 k 2 ck < c2 < k k c2 < k 22 k ck < c2 < k k c2 < k 22 k ck < c2 m < ckm k ckm = c2 m < k ckm k 2 c2 m < k (k 2 + m2 )c2 m < ckm k

ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx 2 ck = 0 f (x)eikx dx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx ck = 0 f (x) sin k xdx 2 ck = 0 f (x) sin k xdx 2 ck = 0 f (x) sin k xdx 2 ck = 0 f (x) sin k xdx 1 ck = 0 f (x)J0 (k x)xdx 1 ck = 0 f (x)J0 (k x)xdx 1 ck = 0 f (x)J0 (k x)xdx 1 ck = 0 f (x)J1 (k x)xdx 1 ck = 0 f (x)J1 (k x)xdx 1 ck = 0 f (x)J1 (k x)xdx 2 2 = 0 0 f (x, y )eikx eimy dxdy 2 2 0 0 f (x, y ) sin k x sin my dxdy 2 2 = 0 0 f (x, y )eikx eimy dxdy 2 2 = 0 0 f (x, y )eikx eimy dxdy

2