Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://comet.sai.msu.ru/~dmbiz/prac/next/bincep/node3.html
Дата изменения: Thu Mar 15 16:42:25 2001 Дата индексирования: Tue Oct 2 04:19:57 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п |
- моментом прохождения перицентра орбиты;
- орбитальным периодом (в сутках);
- эксцентриситетом орбиты;
- долготой перицентра орбиты;
- полуамплитудой орбитальной лучевой скорости.
Наблюдаемая лучевая скорость цефеиды для -го момента времени
представляется в виде суммы трех членов
![]() |
(3) |
![]() |
(4) |
![]() |
(5) |
среднее движение:
![]() |
(6) |
средняя аномалия:
equation
эксцентрическая аномалия:
![]() |
(7) |
истинная аномалия
![]() |
(8) |
Практическая рекомендация: найденные значения углов на
каждом шаге вычислений рекомендуется привести к фазовому интервалу
. Для решения уравнения (3) (его также называют
уравнением Кеплера) относительно эксцентрической аномалии
для каждого момента времени обычно используют метод итераций по
в виде
![]() |
(9) |
При малых значениях эксцентриситета (что чаще всего
встречается у спектрально-двойных цефеид) процесс итераций быстро
сходится. Однако для некоторых орбит с большим эксцентриситетом,
а также при использовании методов оптимизации, где используется
перебор значений отыскиваемых параметров (например, в методе
деформируемых многогранников), возможно замедление работы
программ из-за слабой сходимости итераций. Практическая
рекомендация: чтобы сохранить физический смысл отыскиваемых
параметров, следует постоянно контролировать в ходе вычислений
неотрицательность текущих значений эксцентриситета
и
среднего движения
(или, что одно и то же, орбитального
периода
), в особенности если используются методы
оптимизации с последовательным перебором значений нелинейных
параметров.
Решение системы условных уравнений (3) сводится, таким образом, к
минимизации функции
![]() |
(10) |
Разделим линейные
и нелинейные
неизвестные параметры. Очевидно, что для
некоторого набора фиксированных четырех нелинейных параметров
оптимальные значения линейных
параметров могут быть оценены с помощью стандартного линейного
МНК. Поскольку многие методы решения нелинейных систем условных
уравнений используют в той или иной степени именно "перебор"
текущих значеnий нелинейных неизвестных, этот прием позволяет
понизить порядок системы до 4-го и заметно уменьшить
вычислительные затраты. Весьма удобен для решения задачи метод
деформируемых многогранников Нелдера-Мида (или Симплекс-алгоритм),
не требующий вычисления производных от целевой функции и при
небольшом (до 6 - 7) числе неизвестных эффективно отыскивающий
решение (см., например,
). Для упомянутых языков
имеются готовые подпрограммы с этим алгоритмом. Имеются и
"встроенные" во многие пакеты градиентные нелинейные методы
поиска решения (например, в среде MATLAB это процедура FMINU).
Начальную оценку основных орбитальных элементов - периода и
эксцентриситета - рекомендуется произвести следующим образом.
Вначале, как и ранее для оценки весов , короткий и плотный
ряд наиболее точных измерений представим в виде (1), сделав таким
образом предварительную оценку формы пульсационной кривой.
Используя найденные с помощью линейного МНК коэффициенты этого
тригонометрического ряда
, вычислим по формуле (1)
для всех моментов времени наблюдений
приближенный
пульсационный вклад
. Очевидно, что разность
является грубым представлением
орбитального движения. Остаточные уклонения
можно проанализировать с целью поиска периодичности с помощью
одной из популярных программ Фурье - анализа. Как показывает опыт,
найденный период можно использовать в качестве первого приближения
, а по форме "орбитальной кривой"
несложно оценить начальный эксцентриситет орбиты (при малом
эксцентриситете кривая симметрична по орбитальной фазе).
Примечание: По физическому смыслу задачи полуамплитуда орбитальной
скорости положительна; если в результате решения получилось
, можно поменять его знак и одновременно сделать
замену
. Уравнение (4) это
допускает.
По найденным орбитальным параметрам и коэффициентам пульсационной
кривой с помощью формул (4, 5) можно
рассчитать орбитальную и пульсационную лучевую скорость для
каждого момента времени и найти невязки решения
Средние квадраты невязок для отдельных рядов измерений ,
вычисленные по формулам