М.Лоэв, Теория вероятностей

содержание

Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Вводная часть. Элементарная теория вероятностей 9
I. Интуитивные предпосылки теории 11
1. События 11
2. Случайные события и испытания 13
3. Случайные величины 15
II. Аксиомы. Независимость и схема Бернулли 16
1. Аксиомы конечной схемы 16
2. Простые случайные величины 17
3. Независимость 19
4. Схема Бернулли 20
5. Аксиомы для счетной схемы 23
6. Элементарные случайные величины 25
7. Необходимость введения неэлементарных случайных величин 30
III. Зависимость. Цепи 32
1. Условные вероятности 32
2. Асимптотически бернуллиевская схема 33
3. Возвращение 35
4. Цепная зависимость 36
5. Типы состояний и асимптотическое поведение 38
6. Движение системы 45
7. Стационарные цепи 48
Дополнения и уточнения 52
Первая часть. Понятия теории меры 61
Глава I. Множества, пространства и меры 63
 1. Множества, классы и функции 63
1.1. Определения и обозначения 63
1.2. Разности, соединения и пересечения 64
1.3. Последовательности и пределы 66
1.4. Индикаторы множеств 67
1.5. Поля и \sigma-поля 67
1.6. Монотонные классы 68
1.7. Произведения множеств. 69
1.8. Функции и обратные функции 71
1.9. Измеримые пространства и функции 72
 2. Топологические пространства 74
2.1. Топологии и пределы 74
2.2. Предельные точки и компактные пространства 77
2.3. Счетность и метрические пространства 81
2.4. Линейность и нормированные пространства 87
 3. Аддитивные функции множеств 92
3.1. Аддитивность и непрерывность 92
3.2. Разложение аддитивных функций множеств 95
 4. Построение мер на а-полях 97
4.1. Продолжение мер 97
4.2. Произведение вероятностей 100
4.3. Согласованные вероятности на борелевских полях 102
4.4. Мера Лебега-Стильтьеса и функции распределения 105
Дополнения и уточнения 109
Глава II. Измеримые функции и интегрирование 113
 5. Измеримые функции 113
5.1. Числа 113
5.2. Числовые функции 115
5.3. Измеримые функции 117
 6. Мера и сходимость 121
6.1. Определения и общие свойства 121
6.2. Сходимость почти всюду 124
6.3. Сходимость по мере 126
 7. Интегрирование 128
7.1. Интегралы 128
7.2. Теоремы о сходимости 134
 8. Неопределенные интегралы. Повторные интегралы 139
8.1. Неопределенные интегралы и разложение Лебега 139
8.2. Произведения мер и повторные интегралы 144
8.3. Повторные интегралы и бесконечные произведения пространств 146
Дополнения и уточнения 149
Вторая часть. Общие понятия и методы теории вероятностей 159
Глава III. Понятия теории вероятностей 161
 9. Вероятностные пространства и случайные величины 161
9.1. Вероятностная терминология 161
9.2. Случайные векторы, последовательности и функции 165
9.3. Моменты, неравенства, сходимость 167
9.4. Пространства L_r 171
 10. Распределения вероятностей 177
10.1. Распределения и функции распределения 177
10.2. Отличительная особенность теории вероятностей 182
Дополнения и уточнения 184
Глава IV. Функции распределения и характеристические функции 188
 11. Функции распределения 188
11.1. Разложение 188
11.2. Сходимость функций распределения 191
11.3. Сходимость последовательностей интегралов 193
11.4. Окончательное обобщение и сходимость моментов 195
 12. Характеристические функции и функции 198
12.1. Единственность 199
12.2. Сходимость 202
12.3. Композиция функций распределения и умножение характеристических функций 206
12.4. Элементарные свойства характеристических функций. Первые применения 207
 13. Законы распределения вероятностей и типы законов 214
13.1. Законы и типы; вырожденный тип 214
13.2. Сходимость типов 216
13.3. Обобщение 218
 14. Неотрицательная определенность; регулярность 218
14.1. Характеристические функции н неотрицательная определенность 218
14.2. Регулярность продолжение характеристических функций 224
14.3. Композиция и разложение регулярных характеристических функций 227
Дополнения и уточнения 228
Третья часть. Независимость 235
Глава V. Суммы независимых случайных величин 237
 15. Понятие независимости 237
15.1. Независимые классы и независимые функции 237
15.2. Мультипликативные свойства 240
15.3. Последовательности независимых случайных величин 242
15.4.. Независимые случайные величины и произведение пространств 244
 16. Сходимость и устойчивость сумм; центрирование математическими ожиданиями и усечение 246
16.1. Центрирование математическими ожиданиями и 246
16.2. Оценки, выраженные через дисперсии 248
16.3. Сходимость и устойчивость 251
16.4. Обобщение 254
 17. Сходимость и устойчивость; центрирование медианами и симметризация 257
17.1. Центрирование медианами и симметризация 258
17.2. Сходимость и устойчивость 262
 18. Показательные оценки и нормированные суммы 268
18.1. Показательные оценки 268
18.2. Устойчивость 272
18.3. Закон повторного логарифма 274
Дополнения и уточнения 277
Глава VI. Центральная предельная проблема 283
 19. Вырожденный, нормальный и пуассоновский типы 283
19.1. Первые предельные теоремы и предельные законы 283
19.2. Композиция и разложение 286
 20. Развитие проблемы 288
20.1. Проблема и ее предварительные решения 288
20.2. Решение классической предельной проблемы 292
20.3. Нормальное приближение 296
 21. Центральная предельная проблема; случай ограниченных дисперсий 302
21.1. Развитие проблемы 302
21.2. Случай ограниченных дисперсий 304
 22. Решение центральной предельной проблемы 310
22.1. Семейство предельных законов; безгранично делимые законы 310
22.2. Условие равномерной бесконечной малости 316
22.3. Центральная предельная теорема 321
22.4. Центральный критерий сходимости 324
22.5. Нормальная, пуассоновская и вырожденная сходимости 329
 23. Нормированные суммы 332
23.1. Постановка задачи 332
23.2. Нормирующие последовательности 333
23.3. Характеризация 335
23.4. Одинаково распределенные слагаемые и устойчивые законы 339
Дополнения и уточнения 344
Четвертая часть. Зависимость 351
Глава VII. Условные распределения 353
 24. Понятие условного распределения 353
24.1. Элементарный случай 353
24.2. Общий случай 357
24.3. Условное математическое ожидание при данной функции 359
24.4. Относительные условные математические ожидания и достаточные \sigma-поля 360
 25. Свойства условных распределений 364
25.1. Свойства математических ожиданий 364
25.2. Свойства усреднения 366
25.3. Понятие условной независимости и понятие цепи 368
 26. Регулярные вероятностные функции 370
26.1. Регулярность и интегрирование 370
26.2. Разложение регулярных условных вероятностей при данных сепарабельных \sigma-полях 373
 27. Условные распределения 376
27.1. Определения и суженной интегрирование 376
27.2. Существование 378
27.3. Цепи. Экспоненциальная сходимость 384
Дополнения и уточнения 389
Глава VIII. От независимости к зависимости 390
 28. Центральная асимптотическая проблема 390
28.1. Сравнение законов 390
28.2. Сравнение слагаемых 394
28.3. Взвешенные вероятностные законы 398
 29. Центрирование, мартингалы и п. н. сходимость 405
29.1. Центрирование 405
29.2. Мартингалы; общие замечания 408
29.3. Мартингалы; сходимость и замыкание 412
29.4. Применения 418
29.5. Неопределенные математические ожидания и п.н. сходимость 422
Дополнения и уточнения 428
Глава IX. Эргодические теоремы 431
 30. Сдвиги последовательностей; основная эргодическая теорема и стационарность 432
30.1. Физические предпосылки 432
30.2. Основное эргодическое неравенство 434
30.3. Стационарность 438
30.4. Применения; эргодическая гипотеза и независимость 443
30.5. Применения; стационарные цепи 445
 31. Эргодические теоремы и L_r-пространства 451
31.1. Операции сдвига и их продолжения 451
31.2. Теорема п.н. эргодичности 453
31.3. Эргодические теоремы в пространствах 457
 32. Эргодические теоремы в банаховых пространствах 461
32.1. Эргодическая теорема с нормами 462
32.2. Равномерные Эргодические теоремы с нормами 465
32.3. Применение к однородным цепям 470
Дополнения и уточнения 474
Глава X. Свойства второго порядка 477
 33. Ортогональность 477
33.1. Ортогональные случайные величины; сходимость и устойчивость 478
33.2. Элементарное ортогональное разложение 481
33.3. Проектирование, условные распределения и 484
 34. Случайные функции второго порядка 486
34.1. Ковариации 487
34.2. Исчисление в ср. кв.; непрерывность и дифференцируемость 491
34.3. Исчисление в ср. кв.; интегрирование 493
34.4. Преобразования Фурье-Стильтьеса в ср. кв. 496
34.5. Ортогональные разложения 499
34.6. Нормальность и п.н. свойства 507
34.7. П.н. устойчивость 508
Дополнения и уточнения 512
Пятая часть. Элементы случайного анализа 517
Глава XI. Основания. Мартингалы и независимые приращения 519
 35. Основания 519
35.1. Общие положения 520
35.2. Сепарабельность 527
35.3. Выборочная непрерывность 537
 36. Мартингалы 546
36.1. Непрерывность 546
36.2. Остановка случайной функции 554
 37. Независимые приращения 560
37.1. Общие положения 561
37.2. Разложение на три части 565
37.3. Безграничная делимость; нормальный и пуассоновский процессы 570
Дополнения и уточнения 581
Глава XII. Марковские процессы 588
 38. Марковская зависимость 589
38.1. Марковское свойство 589
38.2. Регулярные марковские процессы 594
38.3. Стационарность 602
38.4. Строго марковское свойство 605
 39. Переходные вероятности с непрерывным временем 611
39.1. Дифференцирование переходных вероятностей 613
39.2. Поведение выборочных функций 621
 40. Марковские полугруппы 632
40.1. Общие положения 632
40.2. Анализ полугрупп 637
40.3. Марковские процессы и полугруппы 648
 41. Выборочная непрерывность и диффузионные операторы 658
41.1. Строго марковское свойство и выборочная непрерывность справа 658
41.2. Расширенный инфинитезимальный оператор 668
41.3. Одномерный оператор диффузии 676
Дополнения и уточнения 683
Литература 686
Алфавитный указатель 696
Список сокращений 711
Список обозначений 711