Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-homayun.pdf Дата изменения: Tue Mar 15 14:44:23 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:39:39 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 514.84,517.984.5

Рухиан Хомаюн

Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения
01.01.04 геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Шафаревич

Москва 2010


Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 1 Постановка задачи и основные определения
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линии Стокса и канонические области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Асимптотика фундаментальной системы решений . . . . . . . . . . . . . . Матрицы перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Асимптотика матрицы монодромии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

3 13
13 14 15 17 17

2 Асимптотика спектра оператора D на стандартной сфере S
2.1 2.2 2.3

19
19 21 33

Разделение переменных в спектральной задаче. Редукция к задаче с регулярными особыми точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Топология линий Стокса и асимптотика спектра . . . . . . . . . . . . . . Расположение спектра на комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . .

3 Асимптотика спектра D на поверхности вращения
3.1 3.2 3.3 3.4 Разделение переменных. Задача с особыми точками . . . . . . . . . . . . Асимптотика спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Расположение спектра на комплексной плоскости . . . . . . . . . . . . . . Условия квантования на римановой поверхности . . . . . . . . . . . . . .

42
42 44 52 54


ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.
Геометрические аспекты спектральной теории дифференциальных и псевдодифферен циальных операторов изучались в огромном количестве работ; результаты этой теории имеют много приложений в математике и теоретической физике. Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем развита значительно менее полно; как структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут быть в этой ситуации весьма экзотическими. В частности, в несамосопряженном случае к настоящему времени отсутствует общая теория квазиклассичеких асимптотик, аналогичная теории В.П. Маслова квантования инвариантных лагранжевых многообразий. В работе[5] построены спектральные серии оператора ЛапласаБельтрами со сносом в евклидовом пространстве, соответствующие асимптотически устойчивым положениям равновесия, предельным циклам и инвариант ным торам соответствующего векторного поля. В работах [11, 12, 17, 13, 15, 6, 14]полностью исследован спектр одномерного оператора Шредингера и Орра - Зоммерфельда на отрезке с потенциалами простейшего вида (линейным, квадратичным и близким к линейному); отметим, что ряд утверждений об условиях квантования содержался еще в работе [4]. В этих работах, в частности, было показано, что спектр в квазиклассическом пределе стягивается к некоторому графу на комплексной плоскости. В работах [1, 2, 8] исследован спектр одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом простейшего вида (линейный или квадратичный тригонометрический многочлен) на окружности; в частности, был найден спектральный граф и показано, что асимптотика спектра может быть вычислена из топологических условий квантования на римановой поверхности комплексной поверхности постоянной энергии. В настоящей диссертации описан спектр оператора Лапласа - Бельтрами со сносом на двумерной компактной поверхности вращения, гомеоморфной сфере (рассматривается поле скоростей, направленное вдоль паралллелей и линейно зависящее от высоты). Показано, что спектр вычисляется из условий квантования на соответствующей римановой поверхности, аналогичным условиям Бора - Зоммерфельда - Маслова [9, 10]; однако, в отличие от самосопряженного случая, в нашей ситуации достаточно требовать выполнения такого условия хотя бы на одном базисном цикле поверхности (раз-

3


ные циклы определяют разные спектральные серии). Исследован спектральный граф (состоящий из трех ребер); особенно полную информацию о нем удается получить в случае стандартной сферы тогда асимптотика спектра выражается через эллиптические интегралы. При доказательствах соответствующих теорем применяется техника, развитая в работах [16, 7] и основанная на изучении решений спектрального уравнения в комплексной области и, в частности, на исследовании топологии т.н. графа Стокса (ребра этого графа ограничивают области, в которых справедливы квазиклассические асимптотические формулы).

Цель работы.
В настоящей работе автор ставил перед собой следующие цели: 1. Описать топологические свойства спектра несамосопряженного оператора Лапласа со сносом на двумерной поверхности вращения, гомеоморфной сфере. 2. Описать квазиклассическую асимптиотику спектра несамосопряженного оператора Лапласа Бельтрами со сносом на двумерной поверхности вращения и ее связь с топологией графа Стокса. 3. Исследовать топологию спектрального графа и его расположение на комплексной плоскости. 4. Получить простые и эффективные формулы для спектральных серий в случае стандартной сферы.

Методы исследования.
Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциаль ной геометрии и топологии, спектральной теории дифференциальных операторов, аналитической теории дифференциальных уравнений. В работе используется результаты асимптотической теории дифференциальных операторов, разработанной М.В. Федорюком.

Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем: 4


1. Описана квазиклассическая асимптотика спектра оператора Лапласа-Бельтрами со сносом двумерной компактной поверхности вращения. Установлена связь с топологией линий Стокса. 2. Показано, что асимптотика спектра определяется из топологических условий квантования на римановой поверхности постоянной комплексной энергии. 3. Исследован спектральный граф; показано, что он определяется топологией графа Стокса. 4. Для стандартной сферы получены простые и эффективные формулы для асимптотических собственных чисел.

Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и математической физики.

Апробация диссертации.
ћ Конференция Современные проблемы анализа и преподавания математики, посвященная 105-летию С.М. Никольского. Москва, МГУ, май 2010.

ћ Конференция Асимптотические методы и математическая физика. Москва, ИПМех РАН, май 2010.

ћ Семинар кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механикоматематического факультета МГУ им М.В. Ломоносова.

Публикации.
Основные результаты работы опубликованы в двух статьях, ссылки [22, 23] на которые приведены в конце литературы.

5


Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения и трех глав, включающих в себя 11 разделов. Текст диссертации изложен на 57 страницах и дополняется 7 рисунками. Список литературы содержит 23 наименование.

Содержание работы
Введение.
Во введении приводится обзор ранее полученных результатов, связанных с темой диссертации, и обосновывается актуальность диссертационной работы.

Глава 1.
В первой главе приводятся постановка задачи и основные определения, используемые в диссертационной работе. В разделе 1.1 определяется несамосопряженный дифференциальный оператор:

D=

2

+ ( ,

)

на двумерной компактной поверхности вращения M , гомеоморфной сфере; оператор Лапласа-Бельтрами,

> 0, гладкое векторное поле на M .

Далее в первой главе вводятся следующие понятия: линии Стокса и канонические области, асимптотика системы решений, матрицы перехода, регулярные особые точки и матрица монодромии. Приведены асимптотические формулы для матриц перехода и монодромии.

Глава 2.
Во второй главе проводится исследование спектра оператора

D=
на стандартной сфере S2 .

2

+ ( ,

)

В разделе 2.1 показано, что, для того чтобы вычислить спектр оператора D на стандартной сфере S2 , достаточно исследовать свойства обыкновенного дифференциального 6


уравнения с регулярными особыми точками:
2

(w + P w ) + Qw = 0,
2 2 (m +m) 1-x2

где P (x) = -

2x 1-x

2

(m + 1), p(x) = (1 - x2 )P (x), Q(x) = -

+

imx- 1-x2

.

В разделе 2.2 сначала описываются разные топологические случаи строения графа Стокса. Линии Стокса на плоскости ыходят из одной точки поворота следующими леммой и теоремами:
im

и двух особых

точек -1 , +1. Условия существования спектра на стандартной сфере S2 описываются

Лемма 1. Пусть таково, что нет конечных линий Стокса. Тогда в O( 2 )окрестности точки нет точек спектра.
Конечные линии Стокса могут быть трех типов: Линия Стокса соединяет -1 и 1, Линия Стокса соединяет -1 и Линия Стокса соединяет
im im

,

и 1.

Теорема 1. Пусть линия Стокса соединяет -1 и 1. Пусть таково, что
1
1

= (2n - 2m - 1)
-1

imt - dt 1 - t2

-1

,

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).

Теорема 2. Пусть линия Стокса соединяет -1 и z0 () = /im. Пусть таково, что
1 1 = - + 2n - m 4
z0 () -1

imt - dt 1 - t2

-1

,

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).

Теорема 3. Пусть линия Стокса соединяет z0 () и 1. Пусть таково, что
1 1 = - + 2n - m 4
1 z0 ()

imt - dt 1 - t2

-1

,

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).
7


В разделе 2.3 при помощи анализа соответсвующих эллиптических интегралов изучается расположение точек спектра на комплексной плоскости. А именно, показано, что при

0 спектр концентрируется в малой окрестности графа некоторого на ком-

плексной плоскости. При каждом фиксированном m этот граф состоит из 3 тех ребер, одно из которых луч на действительной оси. Последнее обстоятельство вытекает из следующей леммы.

Лемма 2. При C \ i(-m, m)


I () = Re
0



im cos - d = 0

тогда и только тогда, когда действительное положительное число.
Два других ребра соединяют точки +im с точкой на действительной оси; единственнойть этой точки вытекает из следующей леммы.

Лемма 3. Уравнение
J () = Re
0

+



im cos - d = 0
только одно решение

на

параметр





(0, +)

имеет

,

причем

(0, m sinh ). Здесь + решения уравнения im cos - = 0 2 + = + + i ln 2
.



1+

m

2

+ m

Замечание 1. В зависимости от расположения точки спектра на комплексной плоскости , линии Стокса по-разному расположены на комплексной плоскости. Случай(1): Если точка спектра совпадает с вершиной графа, расположение линий Стокса такое, как на рис.2. Случай(2): Если точка спектра находится на линии(3)(рис.1), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 3. Случай(3): Если точка спектра находится на линии (2), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 4. Случай(4): Если точка спектра находится на кривой (1), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 5.

8


Рис. 1: Расположение спектра

Рис. 2: Линии Стокса 1

Рис. 3: Линии Стокса 2

9


Рис. 4: Линии Стокса 3

Рис. 5: Линии Стокса 4

Глава 3.
Третья глава диссертационной работы посвящена описанию спектра оператора D на поверхности вращения. В разделе 3.1 оператор Лапласа-Бельтрами записан для случая поверхности, полученной вращением графика функции x = f (z ) вокруг оси z :

1 w = g f
2 здесь g = f 2 (fz + 1).

i,j

ij gg w= ui uj 1 22 g g , 2 + 1 fz

11 1 g g + 2 + 1 z z fz f

Уравнение :
2

+ ( ,

) =

10


после разделения переменных приводится к виду:
2

(z ) +

f

z

2 2 fz + 1 - f fz fzz (fz + 1) 2 f (fz + 1)
1 2

-1 2

(z )

+

2 m2 (fz + 1) 2 + (imz - )(fz + 1) (z ) = 0, f2

где = exp(im) (z ), a(z ) = z ,угол вращения. В разделе 3.2 асимптотика спектра на поверхности вращения описана посредством следующих теорем:

Теорема 4. Пусть линия Стокса соединяет z1 и z2 , а таково, что
1 1 = n - + 2m 2
z2 -1

( - imz )(f + 1)dt
z
1

2 z

,

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).

Теорема 5. Пусть линия Стокса соединяет z1 и
1 1 = 2n - - m 4
im

im

, а таково, что
-1 2 z

( - imz )(f + 1)dz

,

z

1

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).

Теорема 6. Пусть линия Стокса соединяет
1 1 = 2n + - m 4
im

im

и z2 и таково, что
-1

z

2 ( - imz )(fz + 1)dz

,

2

~ тогда существует собственное значение оператора D такое, что ~ | - | = O( 2 ).
В разделе 3.3 описано расположение спектра на комплексной плоскости в случае поверхности вращения. Спектр концентрируется в окрестности некоторого графа, гомеоморфного графу, представленному на рис.1; каждое ребро графа пересекается вертикальной прямой не более чем в одной точке. Кроме того, доказано следующее утверждение. 11


Теорема 7. Если функция f является четной, то одно из ребер спектрального графа
лежит на действительной оси.
Наконец, в разделе 3.4 показано, что асимптотика спектра может быть вычислена из условий квантования, похожих на правила Бора Зоммерфельда Маслова [9],[10]; эти условия задаются на римановой поверхности постоянной комплексной энергии. Именно, пусть M стандартная сфера; рассмотрим риманову поверхность, заданную в C
2

уравнением (z 2 - 1)p2 + imz = . Эта поверхность гомеоморфна тору с тремя проколами; она получается из двух экземпляров комплексной плоскости z склейкой вдоль разрезов, соединяющих точки +1 и точку /im с бесконечно удаленной. На этой поверхности определяются три цикла j , место следующее утверждение.

j = 1, 2, 3 так, чтобы проекции этих циклов

на плоскость z совпадает с отрезками [-1, 1], [-1, /im], [1, /im] соотвественно. Имеет

Предложение 1. Уравнения, определяющие асимптотику спектра согласно теоремам 1 3, могут быть записаны в виде

1 2
где ч1 = 0,

pdz = n +
j

чj , 2

ч 2 = ч3 = 1 .

Замечание 2. В отличие от условий Маслова, которые должны быть выполнены на
любом цикле вещественного лагранжева многообразия, приведенные выше комплексные условия квантования должны быть выполнены хотя бы на одном цикле; разные циклы определяют разные спектральные серии.

Благодарность
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физикоматематических наук, профессору А. И. Шафаревичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механикоматематического факультета МГУ за творческую атмосферу и доброжелательное отношение.

12


Глава 1 Постановка задачи и основные определения
1.1 Постановка задачи
Рассмотрим несамосопряженный дифференциальный оператор

D=

2

+ ( ,

)

(1.1)

на двумерной компактной поверхности вращения M , гомеоморфной сфере; здесь

оператор Лапласа Бельтрами,

> 0, гладкое векторное поле на M . Наша 0.

цель вычисление асимптотики спектра оператора D при

Поверхность M возникает при вращении графика положительной функции x = f (z ) вокруг оси z ; f определена на отрезке [z1 , z2 ], причем f (z1 ) = f (z2 ) = 0 (точные условия на f сформулированы ниже). В качестве координат на M выберем пару z , , где угол вращения, а в качестве векторное поле вида = a(z ) функция. В первой части работы мы рассмотрим самый простой случай, когда M стандартная сфера S2 : x2 + y 2 + z 2 = 1; в дальнейшем вычислим спектр оператора D для произвольной поверхности вращения и выясним, как он зависит от геометрии M . Отметим, что оператор D не самосопряжен (и даже не симметричен) в L2 (M ); сопряженный оператор задается выражением


, a(z ) линейная

D =

2

- ( ,
13

).


Спектр этого оператора при

0 концентрируется вблизи некоторого графа на

комплексной плоскости; расположение графа зависит от вида поверхности M . После разделения переменных спектральная задача для оператора D сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с особыми точками (соответствующими полюсам поверхности вращения). Мы изучаем асимптотику решений этого уравнения в комплексной плоскости, применяя технику линий Стокса и канонических областей; ниже приводятся необходимые сведения.

1.2 Линии Стокса и канонические области
Рассмотрим уравнение
2

(w + P w ) + Qw = 0

(1.2)

где параметр

0, функции P ,Q мероморфны в комплексной плоскости переменной

z . Мы будем рассматривать функции, имеющие полюса не выше первого порядка.

Определение 1.2.1. Точкой поворота называется нуль или полюс функции Q; порядок нуля называется порядком точки поворота (полюса считаются точками поворота порядка -1).

Определение 1.2.2. Обозначим
z

S (z0 , z ) =
z
0

Q(t)dt

где z0 точка поворота. Максимальная связная компонента линии уровня

ReS (z0 , z ) = 0
называется линией Стокса (ЛС).
Линии Стокса обладают следующими свойствами:

(1) Линия Стокса начинается в точке поворота и заканчивается либо в точке поворота , либо в бесконечности.

(2) Линия Стокса не может содержать точки поворота внутри себя. (3) Линия Стокса не может пересекать себя или другую линию Стокса. (4) Из точки поворота кратности d выходят d + 2 линии Стокса.
14


Объединение всех ЛС уравнения называется графом Стокса. Граф Стокса не может содержать топологической окружности. Линии Стокса разбивают плоскость C на области, гомеоморфные полуплоскости или полосе.

Определение 1.2.3. Канонической областью называется область на комплексной
плоскости, содержащая внутри себя ровно одну линию Стокса, ограниченная другими линиями Стокса и такая, что функция S (при выборе непрерывной ветви корня) взаимно однозначно отображает эту область на комплексную плоскость с конечным или бесконечным числом вертикальных разрезов.
Каноническая область может быть задана точкой поворота и линией Стокса, выходящей из нее (эта линия содержится внутри канонической области).

1.3 Асимптотика фундаментальной системы решений
Рассмотрим два случая. 1. Пусть сперва коэффициенты P и Q уравнения (1.2) голоморфные функции. Фиксируем тройку (l, z0 , D), где z0 точка поворота, l выходящая из нее линия Стокса, и D соответствующая каноническая область. Определим ветвь функции S (z0 , z ) в D так,чтобы

I mS (z0 , z ) > 0, z l.
В области D существует фундаментальная система решений уравнения (1.2) со следующей асимптотикой:

u(z ) = cQ

-1 4

1 (z ) exp{ S (z0 , z )}(1 + O( ))

v (z ) = cQ

-1 4

1 (z ) exp{- S (z0 , z )}(1 + O( )).

Здесь c нормировочная постоянная; фиксируем ее условиями:

|c| = 1, lim arg[cQ
z z
0

-1 4

(z )] = 0.

Определение 1.3.1. Пара функций u, v называется канонической фундаментальной
системой решений (ФСР), соответствующей тройке (z0 , l, D).
15


В пересечении Dj Dk двух канонических областей любое решение w(z ) можно представить в виде:

w(z ) = j uj + j vj = k uk + k vk ;
коэффиценты , связаны посредством матрицы j k : k = j k j . k j

Определение 1.3.2. Матрица j k называется матрицей перехода между тройками
(zj , lj , Dj ) и (zk , lk , Dk ).
В следующем параграфе приводится асимптотика этих матриц при

0.

2. Пусть коэффициенты P , Q имеют полюс в точке z0 . Фиксируем точку a в окрестности точки z0 , не лежащую на выходящей из z0 линии Стокса. В окрестности точки a определены два линейно независимых ростка аналитический функций решения уравнения (1.2). Их можно аналитически продолжить в окрестность точки z0 с разрезом вдоль кривой l; в этой области существуют два решения с асимптотикой следующего вида:


w1,2 (z , ) = w1,2 (z , , a) exp{
k=1

(+ )-

k 2

z

yk (t)dt}(1 + O( ))
a

(1.3)

где:

w1,2 (z , , a) = Q(z )

-1 4

f (a, z ) exp{+i
z

-

1 2

S (a, z )}

S (a, z ) =
a

Q(t)dt,
z

1 f (a, z ) = exp{- 2 y0 = - y (z ) = i 2 Q(z )

P (t)dt}
a

Q (z ) P (z ) - , 4Q(z ) 2
k

k+1

[yk (z ) + P (z )yk (z ) +
j =0

yj (z )yk-j (z )],

y1 (z ) =

i 2 Q(z )

[y0 (z ) + (

Q (z ) 2 Q2 (z ) )- ]. 4Q(z ) 4

Ряды здесь и всюду ниже понимаются как асимптотические. В параграфе 1.5 приведена асимптотика матрицы оператора монодромии в базисе w1 , w2 .

16


1.4 Матрицы перехода
Асимптотика матриц перехода, определенных в пункте (1.3), зависит от взаимного расположения троек (l, z , D); выделяется четыре элементарных матрицы перехода, комбинируя которые, можно двигаться по произвольным цепочкам канонических областей. Первый тип:(l, z1 , D) (l, z2 , D) меняется только направление ЛС между двумя точками поворота (такой переход существует только для конечной ЛС):

=e
где = |S (z1 , z2 )|, ei0 =
c1 c2 i0

e

0
i1

e

-i 1



0

.

Второй тип:(l1 , z1 , D) (l2 , z2 , D) меняется и линия Стокса и точка поворота; каноническая область общая, причем лучи S (l1 ) и S (l2 ) направлены в одну сторону:

= ei0
где = S (z1 , z2 ), Re > 0, e
i0

e-

1




0 e
1



0



=

c c

1 2

.

третий тип:(l, z0 , D1 ) (l, z0 , D2 ) меняется только каноническая область:

=
где

1+ w
12 11

w12 1 + 22



11 = 22 = O( ), w

12

1 = O(exp(-2 (a+ - t))), w

21

1 = O(exp(-2 (a- - t)))

t > 0, t 0, -a- < ReS < a+ .
Такая матрица при

0 стремится к единичной.

Четвертый тип:(l1 , z0 , D1 ) (l2 , z0 , D2 ) точка поворота фиксирована, меняются каноническая область и линия Стокса:

= e-
i 6

01 1i + O( ).



1.5 Асимптотика матрицы монодромии
Рассмотрим окрестность регулярной особой точки уравнения (2.1) с разрезом вдоль линии Стокса; будем считать верхним берегом разреза тот, на котором I mS > 0. Пусть x 17


точка, лежащая на верхнем берегу разреза, и кривая + (x) соединяет постоянную точку

a (в D) и x ( I mz > 0 на этой кривой).Обозначим wj (x + i0, ) (j = 1, 2) решение, полученное при аналитическом продолжении ростка wj вдоль + (x), а через wj (x - i0, ) решение, полученное продолжением wj при вдоль - (x) кривой, симметричной + (x) относительно вещественной оси. Положим w = (w1 , w2 )t вектор решений уравнения

(1.2); матрица оператора монодромии в базисе w определяется следующим образом: w(x - i0, ) T1 ( )w(x + i0, ).
Асимптотика этой матрицы имеет вид:

t t
где
21

11

= O( ),

t t

12

=A

= -A-1 a-1 + O( ), +

22

= 1 + a-1 + O( ), +


a+ = exp{2 i+ },

A = exp{
k=0

k 2

k }.

Здесь + характеристические показатели особой точки z0 , k коэффициенты, вычисляемые по рекуррентным формулам. Таким образом, известна асимптотика матрицы оператора монодромии в фиксированном базисе; будем называть этот базис базисом

стандартных решенй (в отличие ок канонических ФСР, опредеделнных в п.1.3).

18


Глава 2 Асимптотика спектра оператора D на стандартной сфере S
2

В этой главе изучается спектральная задача для оператора D на стандартной сфере. Мы вычисляем асимптотику спектра этого оператора и определяем расположение точек спектра на комплексной плоскости.

2.1 Разделение переменных в спектральной задаче. Редукция к задаче с регулярными особыми точками
Если векторное поле v направлено вдоль параллелей, переменные в спектральной задаче разделяются и вопрос сводится к изучению спектра обыкновенного дифференциаль ного оператора. В этом параграфе приводятся соотвествующие формулы. Напомним, что оператор D имеет следующий вид:

D=

2

+ ( ,

),

где оператор Лапласа-Бельтрами. В координатах (, ) ( широта, долгота,

[- /2, /2], [0, 2 ]) этот оператор выглядит следующим образом = 1 2 1 cos + cos cos2 2
(2.1)

Спектральная задача для оператора D в кординатах , запишется так: 19


2

(

1 Y 1 2Y Y cos + ) + a() = Y , 2 2 cos cos v=a .

где:

После замены Y = u() () предыдущее уравнение запишется в виде:
2

(

1 2 2u u - tan - u 2 ) + a() u = u() (); 2 2 cos
, получаем для u:
2

подставляя = e

im

(

2u u m2 - tan - u) + imau = u 2 cos2

или, после замены sin = x
2

2u u m2 2 ( 2 (1 - x ) - 2x - )u + ima(x)u = u x x 1 - x2

. Обозначим u = (1 - x2 ) 2 w(x) и перепишем последние уравнения в виде:
2
m

(

2 w ( x) w(x) (1 - x2 ) - 2x(m + 1) - (m2 + m)w(x)) + ima(x)w(x) = w(x) 2 x x

и при a(x) = x получаем:
2

2 w(x) w(x) ( (1 - x2 ) - 2x(m + 1) - (m2 + m)w(x)) + imxw(x) = w(x) 2 x x

Очевидно, последнее уравнение можно переписать так:
2

(

2 w(x) w(x) (1 - x2 ) - 2x(m + 1) - (m2 + m)w(x)) + (imx - )w(x) = 0 x2 x

2

(

2 w(x) w(x) (1 - x2 ) - 2x(m + 1) ) + (- 2 (m2 + m) + imx - )w(x) = 0 2 x x
2

(w (x) -

2x (m2 + m) imx - (m + 1)w (x)) + (- 2 + )w(x) = 0 1 - x2 1 - x2 1 - x2

(2.2)

Ясно, что уравнение (2.2) имеет вид:
2

(w + P w ) + Qw = 0
2 2 (m +m) 1-x2

(2.3)

где P (x) = -

2x 1-x2

(m + 1) ,p(x) = (1 - x2 )P (x), Q(x) = -
20

+

imx- 1-x2

imx- 1-x2

.


В уравнении (2.3) функции P, Q голоморфный в любой односвязной области комплексной плоскости x, не содержащей отрезка [-1, 1]. Уравнение имеет 2 особые точки x = 1,x = -1; обе являются регулярными с характеристическими показателями

(0, + ),(0, - ),где + = 1 +

p(+1) 2

.

Таким образом, исследование спектра исходного оператора сводится к описанию спектра обыкновенного дифференциального оператора (2.3) с двумя регулярными особыми точками. Ясно, что в особых точках (соответствующих полюсам сферы) надо требовать аналитичности собственной функции. Таким образом задача сводится к отысканию асимптотики чисел , для которых существует решение уравнения (2.3), аналитическое в обеих особых точках x = +1. Далее в этой главе решается именно эта задача.

2.2 Топология линий Стокса и асимптотика спектра
Рассмотрим линии Стокса уравнения (2.3). Имеется две точки поворота порядка -1 (особые точки +1) и одна точка поворота порядка 1 (точка x0 = логические случаи.
im

). Асимптотика

спектра определяется топологией графа Стокса; ясно, что возможны следующие топо-

Случай 1. Все 5 линий Стокса заканчиваются в бесконечности; в этом случае нет
конечных линий Стокса.

Случай 2. Одна из трех линий Стокса, выходящих из точки поворота x0 , заканчивается в особой точке; две других заканчиваются в бесконечности.

Случай 3. Две из трех линий Стокса, выходящих из точки поворота x0 , заканчиваются в особых точках, а третья уходит на бесконечность.

Случай 4. Линия Стокса выходящая из одной особой точки, заканчивается в другой; линии, выходящие из точки x0 , заканчиваются в бесконечности. Связь топологии линий Стокса с асимптотикой спектра описыается приведенными ниже леммой и теоремами.

Лемма 2.2.1. Пуст таково ,что нет конечных линий Стокса.Тогда в O( 2 )
окрестности точки нет точек спектра.

Доказательство. Для того что бы комплексное число было точкой спектра, необходимо и достаточно, чтобы существовало решение уравнения (2.3), однозначное в окрест21


ностях особых точек z = 1 и z = -1. Пусть T1 , T2 матрицы операторов монодромии, соответствующих особым точкам x = +1 и x = -1 соотвественно в некотором базисе; указанное однозначное решение существует, если существует двумерный вектор l, для которого

l T1 = l , l T 2 = l .
Существование l зависит от матриц T1 ,T2 ; мы вычислим асимптотику этих матриц. Обозначим через w1 , w2 фундаментальную систему решений уравнения (2.3), определенную в окрестности особой точки x = -1 по формулам п.1.5; аналогичные решения, соответстующие точке x = 1, обозначим u1 , u2 . Через a1 будем обозначать точку, фигурирующую в определении решений u, а через a2 соответствующую точку для решений

w. Напомним что для решений u u(x - i0) = T1 u(x + i0),
причем матрица монодромии T1 в базисе u имеет следующую асимптотику:

T1 =
откуда

O( ) -A
-1 -1 a+ 2

A
2


2

+ O( ) 1 +

a-1 +

+ O( ),

u1 (x - i0) = O( 2 )u1 (x + i0) + Au2 (x + i0), u2 (x - i0) = (-A-1 a-1 + O( 2 ))u1 (x + i0) + (1 + a +
Аналогично, в окрестности точки x = -1 имеем
-1 +

+ O( 2 ))u2 (x + i0)

~ w(x - i0) = T1 w(x + i0), ~ где T1 матрица монодрамии, соответствующая точке x = -1 в базисе w. Ее асимптотика имеет вид

~ T1 =
откуда

O( ) ~ ~+ ~ -A-1 a-1 + O( 2 ) 1 + a

2

~ A
-1 +

,

+ O( 2 )

~ w1 (x - i0) = O( 2 )w1 (x + i0) + Aw2 (x + i0) ~~ w2 (x - i0) = (-A-1 a-1 + O( 2 ))w1 (x + i0) + (1 + a-1 + O( 2 ))w2 (x + i0)). ~+ +

22


Таким образом, нам известны асимптотики матриц монодромии в разных базисах; чтобы выписать условия принадлежности точки спектру оператора D, надо вычислить матрицу перехода между этими базисами (точнее, ее асимптотику). В нашем случае это достаточно просто, поскольку окрестности точек x = +1 (без разрезов вдоль выходящих из них линий Стокса) лежат в одной канонической области. Отсюда аналогично [16] получаем, что w1 = c1 u1 , w2 = c2 u2 ; поэтому

~ c1 u1 (x - i0) = O( 2 )c1 u1 (x + i0) + Ac2 u2 (x + i0) ~~ c2 u2 (x - i0) = (-A-1 a
-1 +

+ O( 2 ))c1 u1 (x + i0) + (1 + a ~

-1 +

+ O( 2 ))c2 u2 (x + i0),

откуда следуют формулы для асимптотики матрицы монодромии T2 , соответствующие особой точке x = -1 в базисе u (u(x - i0) = T2 u(x + i0)): ~ c2 O( 2 ) A c1 T2 = ~-1 a-1 + O( 2 )) c1 1 + a-1 + O( 2 ) ~+ (-A ~+ c2 Таким образом, найдена асимптотика матриц двух операторов монодромии в одном и том же базисе u; это позволяет выписать условие существования у этих матриц общего собственного вектора l. Для его координат l1 , l2 получаем:

l1 = l1 O( 2 ) + l2 (-A-1 a-1 + O( 2 )), +
и

l2 = l1 A + l2 (1 + a-1 + O( 2 )) + ~ c2 l2 = (l1 A + l2 (1 + a ~ c1

c1 ~ l1 = l1 O( 2 ) + l2 (A-1 a-1 + O( 2 )) , + c2

-1 +

+ O( 2 ))

Отсюда следует соотношение на элементы матриц T , представляющее собой уравнение на точки спектра оператора D:

Aa+ c2 + O( 2 ). = ~a+ c1 A~
Напомним (см. п.1.5), что

A=e ~ A=e
откуда

k k=0

~

k

, ,

k k=0

k

A =e ~ A a+ =e a+ ~

k k=0

(k -k ) ~

i(p(1)+p(-1))

.

23


с другой стороны, по определению решений u, w имеем:

c2 = c1

w2 u2 w1 u1

=e

2[(

i

a1 a2

imt- 1-t2

dt)+(

j j =0

a1 a2

yj (t)dt)]

и уравнение на точки спектра принимает вид:

e

2[(

i

a1 a2

imt- 1-t2

dt)+(

j j =0

a1 a2

yj (t)dt)]

= e

i(p(1)+p(-1))+

k k=0

(k -k ) ~

+ O( 2 ).

(2.4)

Ясно, что асимптотические ряды
j j =0 a a1

yj (t)dt
2

и

k k=0

(k - k ) ~
imx- 1-x2

ограничены при образом, что

0; с другой стороны, ветвь корня
a
1

фиксирована таким

Im
a
2

imt - dt < 0. 1 - t2
i a1 a2 imt- 1-t2

Это значит, что функция

e
экспоненциально растет при

2[

dt]

0, поэтому функция
j j =0 a1 a2

e

2[(

i

a1 a2

imt- 1-t2

dt)+(

yj (t)dt)]

- e

i(p(1)+p(-1))+

k k=0

(k -k ) ~

не обращается в нуль в рассматриваемой точке , откуда по теореме Гурвица вытекает, что в O( 2 )-окрестности такой точки нет точек спектра оператора D.

Замечание 2.2.1. Из утверждения В леммы (2.2.1) следует, что точки спектра
лежат в окрестностях множеств на комплексной плоскости , для которых граф Стокса содержит конечные линии. Конечные типы линии Стокса могут быть трех типов: линия Стокса соединяет точки -1 и 1. линия Стокса соединяет точки -1 и линия Стокса соединяет точки
im im

.

и 1.

Ниже отдельно разбирается каждый из этих случаев и доказывается, что все они вносят вклад в спектр. 24


Теорема 2.2.1. Пусть линия Стокса соединяет особые точки -1 и 1. Пусть таково, что

1

1

= (2n - 2m - 1)[
-1

imt - - dt] 1 - t2

1

~ тогда существует собственное значение оператора D, лежащее в O( 2 )окрестности точки .

~ | - | = O( 2 ).

Доказательство. В этом случае, аналогично разобранному в лемме 2.2.1, достаточно
описать условия существования вектора l, для которого lTj = l, j = 1, 2 (здесь, как и ранее, Tj матрицы двух операторов монодромии, записанные в общем базисе). Для рассматриваемого расположения линий Стокса асимптотика обеих матрицы Tj в одном и том же базисе вычислена в работе М.В. Федорюка [16]. Именно, если u1 , u2 решения, определенные выше (см. доказательство предыдущей леммы), то в базисе u матрица монодромии T1 определена формулами п.1.5, а матрица T2 состоит из элементов ij следующего вида (см. [16]):

11 = 1 + a-1 , - 12 = -AB a-1 , -
и


21

22

=0




= -(AB )-1

A = exp{
k=0
i imt- 1-t2

k

k },

B=e



dt+

k k=0



yk (t)dt

.

Здесь кривая, обходящая конечную линию Стокса, соединяющую точки +1. Старшая часть B при

0 имеет вид i
1

B = exp{-2

|
-1

imt - |dt + i(+ + - - 1)}[1 + O( 2 )]. 2 1-t

Теперь уравнение на точки спектра выписывается точно так же, как равенство (2.4); оно имеет вид

B = a- a+ ,
или

e

i

1 -1

imt- 1-t2

dt

= e-i
25

(2m+1)

+ O( 2 ).


Здесь мы учили, что + = 1 + уравнения

P (1) 2

= 1 - (m + 1) и - = 1 -

P (-1) 2

= 1 - (m + 1).

Теперь из теоремы Гурвица вытекает, что в O( 2 )-окрестности каждого решения

1

1 -1

imt - dt = (2n - 2m - 1) 1 - t2

расположена точка спектра оператора D. Теорема доказана.

Теорема 2.2.2. Пусть линия Стокса соединяет -1 и x0 ().Пусть таково, что
1 1 = (- + 2n - m)[ 4
x0 () -1

imt - -1 dt] . 1 - t2

~ Тогда существует соответственное значение оператора D, для которого ~ | - | = O( 2 ).

Доказательство. Вопрос снова сводится к вычислению асимптотик матриц операторов монодромии в общем базисе. Мы уже видели, что топология графа Стокса существенно влияет на эти асимптотики. Если точки -1 и z0 () соединены линией Стокса, возникает новое расположение канонических областей. В отличие от предыдущих случаев, мы не можем вычислить матрицы монодромиии в общем базисе, используя только аналитическое продолжение базисных решений стандартные решения (см п.1.5), определенные в окрестности разных особых точек, соответствуют разным каноническим областям, поэтому приходится использовать матрицы перехода, описанные в п. 1.4. В нашем случае возможны две различных топологии графа Стокса. Именно, рассмотрим точку поворота x0 () и рассмотрим объединение двух бесконечных линий Стокса, выходящих из этой точки. Полученная кривая делит комплексную плоскость на две части; особые точки +1 могут лежать либо в одной из них, либо в разных. В первом случае окрестности особых точек (без разрезов) попадают в область, не содержащую линий Стокса, и вычисление асимптотик матриц монодромии аналогично приведенному при доказательстве леммы 2.2.1 и теремы 2.2.2. Рассмотрим второй случай; введем следующие обозначения. Пусть l , l1 , l2 три линии Стокса, выходящие из x0 () =
im

, причем l ограни-

ченный путь между -1 и x0 (), l1 линия Стокса, лежащая слева от l, и l2 линия Стокса, лежащая справа от l (т.е. поворот от l к l1 вокруг x0 происходит против часовой стрелки, а от l к l2 по часовой стрелке). Отметим, что пути l1 , l2 заканчиваются в бесконечности. Обозначим через D область между кривыми l1 и l2 , содержащую l, 26


через D1 область между l и l2 , содержащую l1 , и через D2 область между l1 и l, содержащую l2 .Наконец, линию Стокса, выходящую из точки x = 1 обозначим через l (рис.2.1):
3

Рис. 2.1: расположение линий Стокса и канонических областей Пусть w1,2 стандартные решения, соотвествующие точке x = -1 (см. п. 1.5), v1,2 стандартные решения, соответствующие точке x = 1. Поскольку известны асимптотики операторов монодромиии, соотвествующих особым точкам +1, в базисах v
1,2

и w1,

2

соответственно, для того, чтобы выписать уравнение на собственные числа, достаточно найти асимптотику матрицы перехода между этими базисами. Для этого рассмотрим канонические ФСР, соответствующие точке поворота x = x0 () и линиям Стокса l, l1 , l мую матрицу равенством
2

(см. п.1.3); будем обозначать их u, , (u1 , 1 ), (u2 , 2 ) соответственно. Определим иско-



v = 1 w2 v2 w1



и представим ее в виде произведения:

= 4 3 2
где:

2 : v

1,2

- u1 ,

1

2 : (l3 , 1, D1 ) - (l1 , x0 (), D1 ) - 1 1 0 e 2 = ei0 1 0 e 1 3 : u1 , 1 - u, 3 : (l1 , x0 (), D1 ) - (l, x0 (), D)
27


3 = e
-i
6

1 + O( ) i(1 + O( ))
2 2 ,2



0

1

4 : u, - w1

4 : (l, x0 (), D) - (l, -1, D) - 1 1 0e 4 = 1 e 1 0
Здесь
x0 ()

1 =
-1 1

imt - dt 1 - t2 imt - dt. 1 - t2

1 =
x0 ()

Приведенные формулы следуют из определения канонических фундаментальных систем решений и из формул для асимптотик матриц перехода, приведенных в п. 1.4. Вычисляя произведение, получаем (1 + O( 2 ))e -i 6 = 4 3 2 = e 0

- 1 (1 +1 )

i(1 + O( 2 ))e- e
1

1


(1 -1 )

(1 +1 )

.

Напомним, что Re1 = 0 (потому что линия Стокса соединяет -1 и x0 ()), т.е.

e

x0 () -1

imt- 1-t2

dt

=e

поэтому, (1 + O( 2 ))e = e-i 6 0

i

- 1 (1 +i)

i(1 + O( ))e e
1

2

- 1 (i-1 )

. 1 в базисах w,

(i+1 )

Далее, пусть T , T матрицы монодромии, соответствующие точкам ного вектора l = lT имеет вид:

v соответственно; их асимптотики приведены в п.1.5. Условие существования собственc1 = -A-1 a-1 + c2

и

c1 ~ ~~ = -A-1 a+ -1 . c2 ~ Из равенства l1 w1 + l2 w2 = l~ v1 + l~ v2 с учетом вычисленной асимптотики матрицы 1 2
перехода получаем:

c1 = c1 (1 + O( 2 ))e ~

- 1 (1 +i)

+ c2 i(1 + O( 2 ))e
(i+1 )

- 1 (i-1 )

c2 = c2 e ~

1

28


откуда:

c1 ~ c1 (1 + O( 2 ))e- = c2 ~
1

1

(1 +i)

+ c2 i(1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

c2 e

1

Поскольку Re1 > 0, e-

1

экспоненциально мало; поэтому
-1

ie-

2i 1

~~ (1 + O( 2 )) = -A-1 a+

~ = -A-1 a-1 . -

Это и есть уравнение на собственные числа. Для вычисления его асимптотики напомним, что a+ = exp{2 i+ }, где + = 1 + Уравнение принимает вид:
p(+1) 2

~ иA=e

k k=0

~

k

.

ie
или

-i 1

(1 + O( 2 )) = -e-i ei

1



,

= 2

-

ei 2 e-
Отсюда получаем:



i1

(1 + O( 2 )) = -ei

( 1 -)

.

ei

(- 1 + + ) 4 2

(1 + O( 2 )) + e-

i(- 1 + + ) 4 2

=0

По теореме Гурвица, корни этого уравнения близки к корням уравнения

e

i(- 1 + + ) 4 2

+ e-i

(- 1 + + ) 4 2

= 0;

точнее, точки спектра находятся в O( 2 )-окрестностях решений уравнений

1 2 cos(- + + ) = 0, 42
или

1 - = + 2n - 4 2

Подставляя сюда выражение для , получаем

-
или, окончательно

1

x0 () -1

imt - dt = + 2n - 2 1-t 4 2

1
и теорема доказана.

1 = (- + 2n - m)[ 4

x0 () -1

imt - -1 dt] 1 - t2

29


Теорема 2.2.3. Пусть линия Стокса соединяет x0 () и 1. Пусть таково, что
1 1 = (- + 2n - m)[ 4
1 x0 ()

imt - - dt] 1 - t2

1

~ тогда существует соответственное значение оператора D, для которого ~ | - | = O( 2 ).

Доказательство. Ситуация аналогична рассмотренной при доказательстве предыдущей теоремы. Будем считать, что объединение двух бесконечных линий Стокса, выходящих из точки поворота x0 () разделяет точки +1 и введем следующие обозначения. Пусть l , l1 , l2 три линии Стокса, выходящие из x0 () =
im

, причем l1 огра-

ниченный путь между 1 и x0 (), l2 линия Стокса, лежащая слева от l, и l1 линия Стокса, лежащая справа от l (т.е. поворот от l к l2 вокруг x0 происходит против часовой стрелки, а от l к l1 по часовой стрелке). Отметим, что пути l, l2 заканчиваются в бесконечности. Обозначим через D область между кривыми l1 и l2 , содержащую l, через

D1 область между l и l2 , содержащую l1 , и через D2 область между l1 и l, содержащую l2 (рис.2.1). Наконец, линию Стокса, выходящую из точки x = -1 обозначим через l
(рис.2.2):
3

Рис. 2.2: расположение линий Стокса и канонических областей Пусть w1,2 стандартные решения, соотвествующие точке x = -1 (см. п. 1.5), v1,2 стандартные решения, соответствующие точке x = 1. Рассмотрим канонические ФСР, соответствующие точке поворота x = x0 () и линиям Стокса l, l1 , l2 (см. п.1.3); будем обозначать их u, , (u1 , 1 ), (u2 , 2 ) соответственно. Обозначим через матрицу перехода от w к v :

: w1,2 - v1
30

,2


и представим ее в виде произведения:

= 4 3 2 .
Здесь

2 : w

1,2

- u,

2 : (l2 , -1, D) - (l, x0 (), D) 1 0 e- 1 2 = ei0 1 1 0 e, 1 =
x0 () -1 imt- 1-t2

dt. Далее, 3 : u, - u1 ,
1

3 : (l, x0 (), D) - (l1 , x0 (), D1 ) 0 1 3 = e-i 6 2 2 1 + O( ) i(1 + O( )) 4 : u1 , 1 - v1
,2

4 : (l1 , x0 (), D1 ) - (l1 , 1, D1 ) 1 0 e - 1 T4 = ei0 1 1 e 0,
где 1 =
1 x0 () imt- 1-t2

dt и Re1 = 0 (линия Стокса соединяет x0 () и 1), поэтому

e

1

1

= ei

1

для матрицы получаем

= 4 3 2 =
откуда

0 e
i
1

e

-i 1

0
2

1
2

e

-1


1

0 e
1

0
1

1 + O( ) i(1 + O( ))
(i+1 )

0

1

,

T = (1 + O( 2 ))e- 0

(1 + O( 2 ))e- e
1

1

(i-1 )

(i+1 )

.

Поэтому, если l1 w1 + l2 w2 = ~ (1 + O( l 1 = ~2 l откуда

~1 v1 + ~2 v2 , то l l
2

))e 0

- 1 (i+1 )

(1 + O( 2 ))e- e
1

1

(i-1 )

(i+1 )

l 1 , l2

~1 = l1 (1 + O( 2 ))e- l

1

(i+1 )
1

+ l2 (1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

~2 = l2 e l

.

31


Таким образом, получаем:

~1 l l1 (1 + O( 2 ))e- = ~2 l

1

(i+1 )

+ l2 (1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

l2 e

1

.

С другой стороны, если l, ~ собственные векторы соответствующих матриц монодроl мии, то

c1 ~ ~~ = -A-1 a+ c2 ~
1

-1

~ = -A-1 a- -

1

Поскольку e что



1

экспоненциально растет (т.е. Re1 > 0), из последнего равенства следует,

c1 c1 ~ ~- = -A-1 a-1 = ( e c2 ~ c2
1

2

(i-1 )

+ ie

-2i



)(1 + O( 2 )).

Поскольку e-

1

экспоненциально убывает, получаем

~ -A-1 a-1 = ie- -
или

2i 1

(1 + O( 2 )) = ei 2 e-



2i 1

(1 + O( 2 ))

-e

-i i 1

e

= ei 2 e



-i 1

(1 + O( 2 )).

Это и есть уравнение на собственные числа. По теореме Гурвица корни уравнения

e-i

( + - 1 ) 2 4

+ ei(

2

+ - 1 ) 4

(1 + O( 2 )) = 0

находятся в O( 2 )-окрестностях корней уравнения

e-

i( + - 1 ) 2 4

+ ei

( + - 1 ) 2 4

= 0.

Таким образом, точки спектра находятся в O( 2 )-окрестностях корней уравнения

1 2 cos( + - ) = 0, 24
находятся из равенств

1 + - = + 2n 24 2 1 =- + 2n + 4 2

или

Наконец, подставляя выражение для , получаем

1
и теорема доказана.

1 = (- + 2n - m)[ 4

1 x0 ()

imt - - dt] 1 - t2

1

32


2.3 Расположение спектра на комплексной плоскости
В предыдущем параграфе получены уравнения, описывающие асимптотику спектра оператора Лапласа со сносом на стандартной сфере S2 . Эти уравнения выражаются через эллиптические интегралы. В этом параграфе при помощи анализа соответствующих интегралов мы выясним расположение спектра на комплексной плоскости.

Замечание 2.3.1. Мы будем рассматривать интегралы вида


imt - dt. 1 - t2

Замена t = cos приводит этот интеграл к виду



imt - dt = - 1 - t2




im cos - d.

Конечно, в нашей ситуации роль будут играть вполне определенные пути на комплексной плоскости.
В следующих двух утверждениях мы будем имеет дело с этими интегралами только в отношении равенства их нулю:

Лемма 2.3.1. При C \ i(-m, m)


I () = I m
0



im cos - d = 0

тогда и только тогда, когда действительное отрицательное число.

Доказательство. Пусть C \ i(-m, m), = 1 + i2 и 1 0; тогда:
Re(im cos - ) = -
1

0
3 2

для любого (0, ). Поскольку i(-m, m) то arg(im cos - ) [ , / 2 3 5 7 arg im cos - [ 4 , 4 ] или arg im cos - [ 4 , 4 ].

]. Поэтому

Напомним что, при C \ i(-m, m) не существует (0, ) , для которого im cos - = 0; поэтому I m im cos - = 0 и, следовательно, I m 0 im cos - d = 0. Значит, если


Im
0



im cos - d = 0

то

Re < 0.
33


С другой стороны, если 1 R- то Re(im cos - ) = -Re > 0 для любого (0, ), поэтому можно зафиксировать ветвь корня с разрезом вдоль луча (-, 0]. Зафикси руем такую ветвь условием Re im cos - > 0. Теперь надо показать ,что при любом фиксированном значении Re, подынтегральная функция в I () строго монотонно убывает по I m для любого

(0, ).Деиствительно, -i 1 I m im cos - = Im = -Re <0 2 2 im cos - 2 im cos -
по выбору ветви корня. Поэтому уравнение I () = 0 при фиксированном Re имеет не более одного решения по I m. Осталось доказать, что для любого (-, 0):


Im
0



im cos - d = 0

; тогда из уже доказанного будет следовать,что 0 I ((C \ i(-m, m)) \ (-, 0)). Заме/ тим, что при таком подынтегральная функция в I () меняет знак при симметрий относительно . 2

Действительно, arg im cos - (0, ) по выбору ветви корня и 1 sig ncos( arg (im cos - )) = sig n(cos) 2

следовательно, по формуле косинуса половинного угла:

1 cos( arg (im cos - )) = sig n(cos). 2
Значит



1-

m2 cos2 +

2

2

.

4 I m im cos - = m2 cos2 + 2 sig n(cos). 1 -
и, кроме того,

m2 cos2 +

2

2
m2 cos2 +

Im

im cos( - ) - = -

4

m2

cos2

+ sig n(cos). 1 -

2

2

2

.

Поэтому при (-, 0):


Im
0



im cos - d = I m
0

2





im cos - d + I m
2



im cos - d = 0

и лемма доказана. Значит, мы доказали что часть спектра, определяемая условиями теоремы (2.2.1), лежит вблизи действительной оси (точнее, отрицательной полуоси). 34


Замечание 2.3.2. Решение уравнения im cos - = 0 (точка поворота в координате
) имеет вид: + = -i ln(i +
можно объяснить в следующее:



-2 - m2 ) - ln m

+ = + arccos[ +2 i ln
Re m

sig nI m m2

|

2 | +1- m
Re 2 ) m

(|

2 I m 2 | + 1)2 - 4( ) ]+ m m
(| m |2 + 1)2 - 4( I m 2 ) m I m 2 ) m

+

1 - | m |2 + 2( 1 - | m |2 +

+

(| m |2 + 1)2 - 4(

где Re = 0.При (-, 0), из последних равенств следует, что:

+ = +(

+ i ln( 2

1+(

2 ) + )) m m

Лемма 2.3.2. Уравнение
+

J () = I m
0



im cos - d = 0

на параметр (0, +) имеет только одно решение 0 , причем 0 (-m sinh , 0). 2

Доказательство. При (-, 0) образ пути интегрирования под действием
функции im cos - не переходит через луч (-, 0). Значит, можно зафиксировать ветвь корня с разрезом вдоль этого луча. Выберем такую ветвь:


Тогда получаем:
+

: C \(-, 0] {z C |I mz > 0}

Im
0



1

1

im cos - d = I m
0 2

0

im cos(0 r) - dr = I m
0 m

0

im cos(0 r) - dr,

где = + r , + =

+ i ln(

1 + ( m )2 +

) , r R.

Рассмотрим производную подынтегрального выражения по параметру :

I m[0

im cos(0 r) - ] 0 = -I m . 2 im cos(0 r) -

поскольку для (r) = im cos(+ r) - при (-, 0) имеем равенство:

ei0 r + e (r) = im cos(+ r) - = im 2
35

-i0 r

- = im

e

m

r

+ e- 2

m

r

- ,


то

+ e- m r I m (r) = m ->0 2 Re (r) = - > 0 e

m

r



то есть (r) лежит во внутренности первого квадрата, а arg (r) (0, /2), Значит (r) не пересекает луча (-, 0] при r (0, 1) что позволяет нам выбрать ветвь корня, как и ранее, с разрезом вдоль (-, 0]. Тогда получаем:

arg
откуда:

0 2 im cos(0 r) -

= arg 0 - arg 0

(r) = arg 0 -

1 3 arg (r) (0, ), 2 4

> 0. 2 im cos(0 r) - Значит, в этом случае так же, как и раньше, мы можем доказать, что производная Im
подынтегрального выражения в J ():

Re[0

im cos(0 r) - ] 0 <0 = -R e 2 im cos(0 r) -

для любого на (-, 0) и для любого r (0, 1). Таким образом, подынтегральное выражение строго монотонно убывает по на (-, 0) для любого r (0, 1).Значит (так как интегрирование ведется по множеству положительной меры) и сам интеграл

J () монотонно убывает по по на (-, 0). Отсюда следует, что уравнение J () = 0
на параметр J () (0, +) может иметь не более одного решения. Оценим J (0) (здесь учтено, что + (0) = + i ln( 1 + 0 + 0) = ): 2 2
+ (0)

J (0) = I m
так как



im cos d = I m
0

2



im cos d < 0,

im cos (1 + i).(0, +) на интервале (0, )(по выбору ветви корня), а 2 значит, I m im cos < 0 на всем интервале интегрирования.
При = -m sinh значит:
2



0

имеем z+ =

2

+ i , arg z+ = 2

4

и мы знаем,что arg (r) ( , ). 2

arg(+
То есть

im cos(+ r) - )|

=-m sinh

2

= arg + +

3 1 arg (r) + ( , ) = ( , ). 2 4 42 24 >0

I m(+

im cos(+ r) - )|

=-m sinh

2

при любом r (0, 1), откуда J (-m sinh ) > 0. Таким образом J (0) < 0, J (m sinh ) > 0. 2 2 Так как функция J () непрерывна по то отсюда следует ,что существует точка

(-m sinh , 0) в которой J () = 0. Кроме того, эта точка, по доказанному, единственная. 2
36


Замечание 2.3.3. Совершенно аналогично работам [1,2] доказывается, что части
спектра, описанные в теоремах 2.2.2 и 2.2.3, располагаются вблизи двух кривых, соединяющих точку 0 , описанную в предыдущей лемме, с точками +im, причем эти кривые симметричны относительно действительной оси. Таким образом, спектр в пределе концентрируется в окрестности трехвалентного графа с вершиной в точке

0 , ребра которого определяются мнимыми частями условий квантования, полученных выше (см. теоремы 2.2.1 2.2.3). В зависимости от расположения точки спектра на комплексной плоскости , линии Стокса по-разному расположены на комплексной плоскости. Случай(1): Если точка спектра совпадает с вершиной спектрального графа (т.е. точкой, указанной в лемме 2.3.2), расположение линий Стокса такое, как на рис. 2.4. Случай(2): Если точка спектра находится на линии(3)(рис. 2.3), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 2.5. Случай(3): Если точка спектра находится на линии (2), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 2.6. Случай(4): Если точка спектра находится на кривой (1), то линии Стокса расположены так, как показано на рис. 2.7.

Рис. 2.3: Расположение спектра

Отметим, что в областях (ii) и (iii) нет точек спектра; эти области соответствуют графам Стокса, не содержащим конечных линий (случай общего положения).

37


Рис. 2.4: Линии Стокса 1

Рис. 2.5: Линии Стокса 2

Рис. 2.6: Линии Стокса 3 38


Рис. 2.7: Линии Стокса 4

Замечание 2.3.4. Можно найти направления, в которых линии Стокса выходят из
точек x = -1 ,x = 1 и x =
im

. Для этого достаточно разложить соответствующие

подинтегральные выражения вблизи этих точек и вычислить асимптотику функции

S при приближении к точке поворота. Приведем соответствующие формулы.
Случай(1): Пусть линия Стокса выходит из точки x = -1, тогда при x -1 :

q (x) =
поэтому
x

imx - 1 - x2 imt - dt 1 - t2

+ im (x + 1) -2

-1

S (x) =
-1

+ im (x + 1) . 1 -2 2

1 2

Уравнение линии Стокса имеет вид I mS (x) = 0, т.е. асимптотически

Im

-( + im)(x + 1) = 0.

Если t = ( + im)(x + 1), то t < 0 и можно вычислить касательную к линии Стокса в виде:

x = -1 +

t t ? = -1 + ( - im) + im | + im|2
39


= -1 +

t (1 - i(2 + m)). | + im|2

Поскольку 1 < 0 и 2 + m > 0, линия Стокса выходит из точки x = -1 вверх и вправо. Случай(2):Пусть линия Стокса выходит из точки x = 1, тогда:

q (x) =
поэтому

imx - 1 - x2 imt - dt 1 - t2

im - (x - 1)-1 , 2 im - (x - 1) . 1 2 2
1 2

x

S (x) =
1

Уравнение линии Стокса имеет вид I mS (x) = 0, т.е. асимптотически

Im

(im - )(x - 1) = 0

если t = (im - )(x + 1) то t > 0 и можно вычислить касательную к линии Стокса в виде:

x=1+

t t ? =1+ ( + im) im - |im - |2 t =1+ (1 + i(m - 2 )) |im - |2
im

Поскольку 1 < 0 и m - 2 > 0 и линия Стокса выходит из точки x = 1 вверх и влево. Случай(3):Пусть линия Стокса выходит из точки x0 = , тогда:

q (x) =

imx - = 1 - x2

im(x - x0 ) = 2 1 + m2

im3 . x - x0 . m2 + 2

Уравнение линии Стокса имеет вид I mS (x) = 0, т.е. асимптотически
x

I mS (x) = I m
x
0

im3 x - x0 dt = 0. m2 + 2 z0 (x - x0 ) 2 где z0 =
i 3i 2 3

Можно вычислить асимптотику S : S

im3 m2 +

2

= |z0 |ei и x - x0 =

|x - x0 |ei поэтому S |z0 |.|x - x0 | 2 e 2 e
3 2
3

|S |ei(

2

+

3 2

)

.

По определению линии Стокса, sin( + 2 смотрим несколько случаев.

)=0и=

2k 3

- . 3
im3 m2 +
2

В этом случае направление линий Стокса зависит от значения z0 =

. Рас-

ћ Если действительное число, то
ходится на мнимой оси ( = ). 2

m3 m2 +2

также действительное число и z0 на-

40


ћ Если мнимое число, то = I m и |I m| < m значит m2 + 2 = m2 - I m2 > 0,
поэтому в этом случае также мнимой оси ( = ). 2
m3 m2 +
2

действительное число и z0 находится на

ћ Если = + i2 то z0 = im3 =2 m2 + 2 m+
2

im3 - 2 + 2i 2 2

im3 m2 - 2 + 2i 2

2

im3 -im3 2i2 im3 22 m3 +. 2 =2 + . m2 - 2 (m - 2 )2 m - 2 (m2 - 2 )2 2 2 2 2
значит относительно предыдущей ситуации ( = i2 ) точка z0 находится правее и направление линии Стокса тоже вращается направо ( < ). 2

ћ Если = 1 + i то z0 = im3 =2 m2 + 2 m-
2

im3 + 2 + 2i 1 1

im3 m2 + 2 + 2i 1

1

im3 -im3 2i1 im3 21 m3 + =2 + . m2 + 2 (m2 + 2 )2 m + 2 (m2 + 2 )2 1 1 1 1
Поскольку 1 < 0, поэтому относительно ситуации ( = 1 ) точка z0 находится левее и линии Стокса тоже вращается налево ( > ). 2

Замечание 2.3.5. По расположению линий Стокса и их направлению можно сказать, что с ними происходит при переходе из одной области на плоскости в другую. Например, при переходе параметра из области (I I ) в (I I I ) через линию (3) на рисунке (2.1), линии Стокса вращаются влево. Так как в (I I ) имеет вид = 1 + i
2

и, если при переходе через линию (3), становится действительной, причем мнимая часть уменьшается, то линии Стокса вращаются налево ( > ). При переходе из 2

(3) в (I I I ) ситуация аналогична.

41


Глава 3 Асимптотика спектра D на поверхности вращения
В этой главе мы изучаем асимптотику спектра оператора D на произвольной компактной поверхности вращения, гомеоморфной сфере. Мы начнем с формулировки задачи и ее редукции к обыкновенному дифференциальному уравнению.

3.1 Разделение переменных. Задача с особыми точками
В этом пункте мы будем рассматривать поверхность M , полученную вращением гладкой кривой, заданной на плоскости (x, z ) уравнением x = f (z ), z [z1 , z2 ], вокруг оси z . Относительно f предполагается, что f (z ) =

(z - z1 )(z - z2 )f0 (z ), где f0 многочлен,

не обращающийся в нуль в достаточно большой области на комплексной плоскости, содержащей отрезок [z1 , z2 ] действительной оси. Такие условия обеспечивают гладкость поверхности вращения M в полюсах z1 , z2 . Параметрические уравнения поверхности имеют вид:

r(z , ) = (f (z ) cos , f (z ) sin , z ),
где угол вращения. Оператор Лапласа, в координатах z , имеет вид:

1 = g
где

i,j

ij gg ui u

j

(3.1)

u1 = z , u2 = , g = det g
42

ij


и g ij обратная матрица к метрическому тензору (rz , rz ) (rz , r ) gij = (r , rz ) (r , r ). В координатах z , оператор имеет вид:

=

f

1 2 + 1 z fz

1 2 + 2 2 2 f fz + 1 z f

(3.2)

Мы рассматриваем уравнение
2

+ ( ,

) =

где = a(z )



.

После разделения переменных при a(z ) = z получаем:
2

( (z ) +

f

z

2 2 fz + 1 - f fz fzz (fz + 1) 2 f (fz + 1)
1 2

-1 2

2

(z )) + (

2 m2 (fz + 1) 2 + (imz - )(fz + 1)) (z ) = 0 f2 (3.3)

где = exp(im) (z ). Отметим, что, если f (z ) =
2



1 - z 2 , предыдущее уравнение принимает вид:

(

2 w(x) w(x) m2 (1 - x2 ) - 2x - w(x)) + imxw(x) = w(x). x2 x 1 - x2

Конечно, это исследованное выше уравнение (случай стандартной сферы). Так же, как и в случае сферы, полученное уравнение содержит две особые точки z1 , z2 (отметим, что f (z1 ) = ,

f (z2 ) = Кроме того, имеется одна точка поворота imz = .

Найдем характеристические показатели особых точек. В окрестности регулярной z - z1 w(z ) (или f (z ) = особой точки z1 (или z2 ) функция f имеет вид f (z ) = z - z2 w(z )), где w аналитическая функция. Наше уравнение имеет вид (1.2), где:

P (z ) =
или

f

z

2 2 fz + 1 - f fz fzz (fz + 1) 2 f (fz + 1)
1 2

-1 2

P (z ) =
и

fz fz fzz -2 f fz + 1

2 Q(z ) = (imz - )(fz + 1).

43


В окрестности особой точки (например, z1 ) уравнение (3.3) имеет вид:

(z - z1 )2 a(z ) (z ) + (z - z1 )b(z ) (z ) - m2 c(z ) (z ) = 0,

(3.4)

где a, b, c аналитические функции, равные 1 в точке z1 . Пусть = (z - z1 ) w(z ) решение уравнения (3.4) (w(z ) аналитическая функция); тогда, если

(z ) = (z - z1 ) (w0 + w1 (z - z1 ) + w2 (z - z1 )2 + .....),
то будем иметь:

(z ) = (z - z1 )-1 (w0 + w1 (z - z1 ) + w2 (z - z1 )2 + .....) + (z - z1 ) (w1 + 2w2 (z - z1 ) + .....)

(z ) = (-1)(z -z1 )

-2

(w0 +w1 (z -z1 )+w2 (z -z1 )2 +.....)+2(z -z1 )-1 (w1 +2w2 (z -z1 )+.....)+ (z - z1 ) (2w2 + 6w3 (z - z1 ) + .....).

Подставляя эти разложения в уравнение (3.4), получим:

(z - z1 )2 (z ) = ( - 1)(z - z1 ) (w0 + w1 (z - z1 ) + w2 (z - z1 )2 + .....)+ 2(z - z1 )+1 (w1 + 2w2 (z - z1 ) + .....) + (z - z1 )+2 (2w2 + 6w3 (z - z1 ) + .....)
Поскольку

m2 (z ) = m2 (z - z1 ) (w0 + w1 (z - z1 ) + w2 (z - z1 )2 + .....)

(z -z1 ) (z ) = (z -z1 ) (w0 +w1 (z -z1 )+w2 (z -z1 )2 +.....)+(z -z1 )+1 (w1 +2w2 (z -z1 )+.....),
приравниая к нулю коэффициент при (z -z1 ) , получаем характеристическое уравнение:

( - 1) + - m2 = 0,
откуда находим характеристические показатели: = +m или + = |m| , - = -|m|.

3.2 Асимптотика спектра
Для того, чтобы описать асимптотику спектра в случае поверхности вращения, мы применим тот же метод, что и в главе 2. Именно, мы рассмотрим точки поворота и линии Стокса уравнения (3.3) и, пользуясь информацией о канонических областях, вычислим асимптотику матриц операторов монодромии в одном и том же базисе. 44


Замечание 3.2.1. В нашем случае точки поворота нули и полюса функции
2 q (z ) = (imz - )(fz + 1)

; так же, как и в случае сферы, их три две особые точки z1 и z2 (полюса поверхности) и одна точка поворота порядка 1 z0 () =
im

.

Леммы (2.2.1) без изменений переносится на наш общий случай; таким образом, если таково, что граф Стокса не содержит конечных линий, то в O( 2 )-окрестности этой точки нет точек спектра.

Теорема 3.2.1. Пусть линия Стокса соединяет z1 и z2 , а таково, что
1 = (n - 1 + 2m)( 2
z z1
2

2 (imz - )(fz + 1))dt)-1 .

~ Тогда существует собственное значение оператора, для которого ~ | - | = O( 2 ).

Доказательство. аналогично доказательству теоремы 2.2.1; кратко приведем соответствующие рассуждения. Пусть w1 и w2 решения уравнения (3.3) в окрестности точки

z1 , определенные в п. 1.5 (аналогичные решения в окрестности точки z2 обозначим v
и v2 . Как уже отмечалось:

1

w1,2 (x + i0) = -i|q (x)|

-

1 4

[1 + O( )] exp{

2

i
a

z

|
1

q (t)|dt -

1 2

p(t)dt}
+

v1,2 (x + i0) = -i|q (x)|

-

1 4

[1 + O( 2 )] exp{

i
a

z

|
2

q (t)|dt -

1 2

p(t)dt}.

+

Аналогично доказательству теоремы 2.2.2 устанавливается, что отношение c функций w1 и v1 имеет вид:

1

-i|q (x)|- 4 [1 + O( 2 )] exp{- w1 = c1 = 1 v1 -i|q (x)|- 4 [1 + O( 2 )] exp{-
Пренебрегая слагаемыми порядка
2

1

i i

z a1 z a2

| |

q (t)|dt - q (t)|dt -

1 2 + 1 2 +

p(t)dt} p(t)dt}

.

, после элементарных преобразований получаем:
a a
2 1

c1 =

w1 i = exp{+ v1

|

q (t)|dt +

1 2

a a
2

1

p(t)dt}.

Аналогично вычисляется связь между w1 и v1 :

c2 =

i w2 = exp{- v2

a a
2

1

|
45

q (t)|dt -

1 2

a a2

1

p(t)dt}.


Отношение

c c

2 1

имеет вид:

c2 i = exp{2 c1
таким образом:

a2

|
a1

q (t)|dt +


p(t)dt;

c2 i = exp{2 c1

a a
1

2

|

q (t)|dt + i}

С другой стороны, как и в предыдущей главе, известно, что (обозначения те же, что в гл. 2 и п.1.5):

c2 Aa+ = ~~ c1 Aa+ A =e ~ A
k k=0

где

(k -k ) ~

e

0

-0 ~

1,

a+ = exp{2 i+ }, a- = exp{2 i- }.
Отсюда получаем

a+ = exp{2 i(+ - - )} = exp{4m i}, a- i
z z
1 2

откуда

exp{2
или

2 (imz - )(fz + 1))dt + i} = exp{4m i + 2n i}

1

= (n -

1 + 2m)( 2

z z1

2

2 (imz - )(fz + 1))dt)-1 .

Теорема доказана.

Замечание 3.2.2. Соединение двух особых точек линией Стокса самая простая ситуация; в этом случае можно найти соотношение между базисами, определенными вблизи особых точек, не прибегая к аппарату канонических областей и матриц перехода. Далее рассматриваются случаи соединения линией Стокса точки поворота

z0 () =

im

с одной из особых точек.
im

Теорема 3.2.2. Пусть линия Стокса соединяет z1 и
1 1 = (2n - - m)[ 4
im

, а таково, что
1

z

2 ( - imz )(fz + 1)dz ]-

1

~ тогда существует собственное значение оператора D, для которого: ~ | - | = O( 2 ).
46


Доказательство. Точка поворота уравнения (3.3)имеет вид z0 =

im

. Аналогично до-

казательству теоремы 2.2.2, будем считать, что две бесконечные линии Стокса, выходящие из точки поворота, разделяют особые точки (в противном случае особые можно воспользоваться аналитическим продолжением). Пусть l , l1 , l2 три линии Стокса, выходящие из z0 () =
im

, причем l ограниченный путь между z1 и x0 (), l1 линия

Стокса, лежащая слева от l, и l2 линия Стокса, лежащая справа от l (т.е. поворот от

l к l1 вокруг z0 происходит против часовой стрелки, а от l к l2 по часовой стрелке).
Отметим, что пути l1 , l2 заканчиваются в бесконечности. Обозначим через D область между кривыми l1 и l2 , содержащую l, через D1 область между l и l2 , содержащую l1 , и через D2 область между l1 и l, содержащую l2 . Наконец, линию Стокса, выходящую из точки z2 обозначим через l3 . Пусть w1,2 стандартные решения, соответствующие точке z = z1 (см. п. 1.5), v1,2 стандартные решения, соответствующие точке z = z2 . Поскольку известны асимптотики операторов монодромиии, соотвествующих особым точкам z2,1 , в базисах v
1,2

и w1,

2

соответственно, для того, чтобы выписать уравнение на собственные числа, достаточно найти асимптотику матрицы перехода между этими базисами. Для этого рассмотрим канонические (ФСР), соответствующие точке поворота z = z0 () и линиям Стокса

l, l1 , l2 (см. п.1.3); будем обозначать их u, , (u1 , 1 ), (u2 , 2 ) соответственно. Определим
искомую матрицу равенством



w v 1 = 1 w2 v2
и представим ее в виде произведения:



= 4 3 2
где:

2 : v

1,2

- u1 ,

1

2 : (l3 , z2 , D1 ) - (l1 , z0 (), D1 ) - 1 1 e 0 2 = ei0 1 0 e 1 3 : u1 , 1 - u, 3 : (l1 , z0 (), D1 ) - (l, z0 (), D)

47


3 = e
-i
6

1 + O( ) i(1 + O( ))
2 2 ,2



0

1

4 : u, - w1

4 : (l, z0 (), D) - (l, z1 , D) - 1 1 0e 4 = 1 e 1 0
Здесь
z0 ()

1 =
z
1

2 (imt - )(fz + 1)dt z
2

1 =
z0 ()

2 (imt - )(fz + 1)dt.

Выражения для матриц j приведены в [16] и в п.1.4 (см. определение канонических (ФСР) и матриц перехода). Таким образом, для искомой матрицы получаем - 1 (1 +1 ) - 1 (1 -1 ) 2 2 (1 + O( ))e i(1 + O( ))e . = 4 3 2 = e-i 6 1 (1 +1 ) 0 e Поскольку линия Стокса соединяет z1 и z0 (), Re1 = 0, т.е. e
z0 () z1



2 (imt-)(1+fz )dt

=

ei , откуда =e
-i
6

(1 + O( ))e 0
2

- 1 (1 +i)

i(1 + O( ))e e
1

2

- 1 (i-1 )

.
в базисах w, v

(i+1 )

Пусть T , T матрицы монодромии, соответствующие точкам z собственного вектора l = lT имеет вид:

2,1

соответственно (см. п.1.5 для соотвестсвующих асимптотик). Условие существования

c1 = -A-1 a-1 + c2
и

c1 ~ ~~ = -A-1 a+ -1 . c2 ~

Из равенства l1 w1 + l2 w2 = l~ v1 + l~ v2 с учетом приведенной выше формулы для асимп1 2 тотики матрицы перехода получаем:

c1 = c1 (1 + O( 2 ))e ~

- 1 (1 +i)

+ c2 i(1 + O( 2 ))e
(i+1 )

- 1 (i-1 )

c2 = c2 e ~

1

48


откуда:

c1 ~ c1 (1 + O( 2 ))e- = c2 ~
- 1 1

1

(1 +i)

+ c2 i(1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

c2 e

1

Заметим, что Re1 > 0, т.е. e

экспоненциально мало; поэтому
-1

ie-

2i 1

~~ (1 + O( 2 )) = -A-1 a+

~- = -A-1 a-1 .

Это и есть уравнение на собственные числа. Поскольку a+ = exp{2 i+ }, где + =

1+

P (z2,1 ) 2

~ иA=e

k k=0

k ~

, уравнение имеет вид:

ie
или

-i 1

(1 + O( 2 )) = -e-i ei

1



,

= 2

-

ei 2 e-
Отсюда получаем:



i1

(1 + O( 2 )) = -ei

( 1 -)

.

ei

(- 1 + + ) 4 2

(1 + O( 2 )) + e-

i(- 1 + + ) 4 2

=0

По теореме Гурвица, корни этого уравнения расположены в O( 2 )-окрестностях решений уравнений

e

i(- 1 + + ) 4 2

+ e-i

(- 1 + + ) 4 2

= 0;

последнее можно переписать в виде

1 2 cos(- + + ) = 0, 42
или

1 - = + 2n - 4 2

Подставляя сюда выражение для , получаем

-

1
z

z0 () 2 (imt - )(fz + 1)dt =
1

+ 2n - 4 2

или, c учитывая выражение для ,

1
и теорема доказана.

1 = (- + 2n - m)[ 4

x0 () z 2 (imt - )(fz + 1)dt]
1

-1

В конце этого пункта мы рассмотрим последний случай соединения точек поворота линиями Стокса. 49


Теорема 3.2.3. Пусть линия Стокса соединяет
1 1 = (2n + - m)[ 4
im

im

и z2 , а так, что

z

2 ( - imz )(fz + 1)dz ]-1

2

~ тогда существует соответственное значение оператора: ~ | - | = O( 2 ).

Доказательство.Пусть l , l1 , l2 три линии Стокса, выходящие из z0 () =

im

, причем

l1 ограниченный путь между z2 и x0 (), l2 линия Стокса, лежащая слева от l, и l1
линия Стокса, лежащая справа от l (т.е. поворот от l к l2 вокруг x0 происходит против часовой стрелки, а от l к l1 по часовой стрелке). Отметим, что пути l, l2 заканчиваются в бесконечности. Обозначим через D область между кривыми l1 и l2 , содержащую l, через D1 область между l и l2 , содержащую l1 , и через D2 область между l1 и l, содержащую l2 . Наконец, линию Стокса, выходящую из точки z1 обозначим через l (рис.2.2): Пусть w1,2 стандартные решения, соответствующие точке z1 (см. п. 1.5), v1,2 стандартные решения, соответствующие точке z2 . Рассмотрим канонические (ФСР), соответствующие точке поворота z0 () и линиям Стокса l, l1 , l2 (см. п.1.3); будем обозначать их u, , (u1 , 1 ), (u2 , 2 ) соответственно. Обозначим через матрицу перехода от w к v :
3

: w1,2 - v1
и представим ее в виде произведения:

,2

= 4 3 2 .
Здесь

2 : w

1,2

- u,

2 : (l2 , z1 , D) - (l, z0 (), D) 1 e- 1 0 2 = ei0 1 1 0 e, 1 =
z0 () z1 2 (imt - )(fz + 1)dt. Далее,

3 : u, - u1 ,

1

3 : (l, z0 (), D) - (l1 , z0 (), D1 )
50


3 = e
-i
6

1 + O( ) i(1 + O( ))
2 2 ,2



0

1

4 : u1 , 1 - v1

4 : (l1 , z0 (), D1 ) - (l1 , 1, D1 ) - 1 1 0 e T4 = ei0 1 1 e 0,
где 1 =
1 x0 () 2 (imt - )(fz + 1)dt и Re1 = 0 (поскольку линия Стокса соединяет
1

z0 () и z2 ), поэтому e



1

= ei 0 e
i
1

1



. Таким образом, для матрицы получаем

= 4 3 2 =
откуда

e

-i 1

0
2

1
2

e

-1


1

0 e
1

0
1

1 + O( ) i(1 + O( ))
(i+1 )

0

1

,

T = (1 + O( 2 ))e- 0

(1 + O( 2 ))e- e
1

1

(i-1 )

(i+1 )

.

Поэтому, если l1 w1 + l2 w2 = ~ l (1 + O( 1 = ~2 l откуда

~1 v1 + ~2 v2 , то l l
2

))e 0

- 1 (i+1 )

(1 + O( ))e e
1

2

- 1 (i-1 )

(i+1 )

l 1 , l2

~1 = l1 (1 + O( 2 ))e- l

1

(i+1 )
1

+ l2 (1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

~2 = l2 e l
Таким образом, получаем:

.

~1 l l1 (1 + O( 2 ))e- = ~2 l

1

(i+1 )

+ l2 (1 + O( 2 ))e-
(i+1 )

1

(i-1 )

l2 e

1

.

С другой стороны, если l, ~ собственные векторы соответствующих матриц монодроl мии, то

c1 ~ ~~ = -A-1 a+ c2 ~
1

-1

~ = -A-1 a- -

1

Поскольку e что



1

экспоненциально растет (т.е. Re1 > 0), из последнего равенства следует,

c1 c1 ~ ~ = -A-1 a-1 = ( e - c2 ~ c2
1

2

(i-1 )

+ ie

-2i



)(1 + O( 2 )).

Поскольку e-

1

экспоненциально убывает, получаем

~- -A-1 a-1 = ie-

2i 1

(1 + O( 2 )) = ei 2 e-
51



2i 1

(1 + O( 2 ))


откуда находим уравнения на собственные числа

-e

-i i 1

e

= ei 2 e



-i 1

(1 + O( 2 )).

По теореме Гурвица корни уравнения

e-i

( + - 1 ) 2 4

+ ei(

2

+ - 1 ) 4

(1 + O( 2 )) = 0

находятся в O( 2 )-окрестностях корней уравнения

e-

i( + - 1 ) 2 4

+ ei

( + - 1 ) 2 4

= 0.

Другими словами, точки спектра находятся в O( 2 )-окрестностях корней уравнения

1 2 cos( + - ) = 0, 24
которые находятся из равенств

1 + - = + 2n 24 2
или

1

=-

+ 2n + 4 2

Наконец, подставляя выражение для , получаем

1
и теорема доказана.

1 = (- + 2n - m)[ 4

1 x0 ()

2 (imt - )(fz + 1)dt]-1

3.3 Расположение спектра на комплексной плоскости
Спектр на комплексной плоскости расположен вблизи множества, определяемого условиями квантования, полученными в в предыдущих теоремах. Мнимые части этих условий определяют кривые, в O( 2 )-окрестностях которых расположен спектр (ребра спектрального графа).
2 Обозначим q (z ) = (-imz )(fz +1), тогда ребра определяются условием вещественно-

сти интеграла



q (t)dt, где путь на комплексной плоскости. Напомним что на сфе2 0

ре было доказано,что I m

q (t)dt = 0 тогда и только тогда ,когда -действительное

отрицательное число. Для произвольной поверхности вращения это, вообще говоря, не 52


так; можно лишь высказать некоторые утверждения о расположении соответствующего ребра спенктрального графа. Именно, рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве леммы 2.3.1, показывают, что любая вертикальная прямая пересекает ребро спектрального графа, заданное уравнением
z2 z 2 (imt - )(fz + 1)dt = 0
1

не более одного раза. Это следует из неравенства

Im 2

z z
1

2

q (z )dz =



z 2 z
1

2

Im

q (z )dz = I m

2 fz + 1

q (z )

i = Re

2 fz + 1

q (z )

>0

(см. лемму 2.3.1); здесь 2 = I m. Действительно, из этого неравенства следует, что подинтегральная функция строго монотонна по 2 , а значит, обращается в нуль не более одного раза. Аналогичное свойство справедливо и для двух других ребер это следует из неравенств

Im 2 Im 2

im

q (z )dz > 0 q (z )dz > 0.

z

1 im

z

2

Доказательство аналогично доказательству леммы 2.3.2. В заключение отметим, что при четной функции f одно из ребер графа лежит на действительной оси. Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.3.1. Пусть z1 = -z2 и функция f четная. Тогда
z
2

Im
z1

2 ( - imz )(fz + 1)dz = 0

тогда и только тогда ,когда -действительное отрицательное число.

Доказательство. Достаточно проверить, что при указанных мнимая часть интеграла обращается в нуль. Для этого сделаем в интеграле замену переменной z = z2 ; получим при = 1 :

1

1

Im
-1

( - imz2 )(f

2 z2

+ 1)d(z2 ) = I m
-1

z2

( - imz2 )(f

2 z2

+ 1)d.

Заменяя = cos , находим:
0

Im


z2

( - imz2 )(f
53

2 z2

+ 1)d =


0

Im
0

z

2

( - imz2 cos )(

1 f 2 z2

2 cos

+ 1)d(cos ) =

-I m


z2 sin


( - imz2 cos )(

1 1 2 . 2 f + 1)d = 2 z2 sin

Im
0

2 2 ( - imz2 cos )(f + z2 sin2 )d =
2

-I m
0

imz2 cos -

2 2 f + z2 sin2 d

+I m
0

2

imz2 cos -

2 2 f + z2 sin2 ( - )d = 0

.

3.4 Условия квантования на римановой поверхности
Полученная асимптотика спектра может быть вычислена из условий квантования, похожих на правила Бора Зоммерфельда Маслова ([9],[10]); эти условия задаются на римановой поверхности постоянной комплексной энергии. Именно, пусть M стандартная сфера; рассмотрим риманову поверхность, заданную в C2 уравнением

(z 2 - 1)p2 + imz = . Эта поверхность гомеоморфна тору с тремя проколами; она
получается из двух экземпляров комплексной плоскости z склейкой вдоль разрезов, соединяющих точки +1 и точку /im с бесконечно удаленной. На этой поверхности определяются три цикла j ,

j = 1, 2, 3 так, чтобы проекции этих циклов на плос-

кость z совпадали с отрезками [-1, 1], [-1, /im], [1, /im] соотвественно. Следующее утверждение непосредственно вытекает из теорем 2.2.1 2.2.3:

Предложение 3.4.1. Уравнения, определяющие асимптотику спектра, могут быть
записаны в виде

1 2

pdz = n +
j

чj , 2

где ч1 = 0,

ч 2 = ч3 = 1 .

Замечание 3.4.1. В отличие от условий Маслова, которые должны быть выполнены на любом цикле вещественного лагранжева многообразия, приведенные выше комплексные условия квантования должны быть выполнены хотя бы на одном цикле; разные циклы определяют разные спектральные серии.

54


Литература
[1] С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич, Спектр и псевдоспектр несамосопряженного оператора Шрeдингера с периодическими коэффициентами, Матем. заметки, 80:3 (2006), 356366 [2] С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич, Квантованные римановы поверхности и квазиклассические спектральные серии для несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами, ТМФ, 148:2 (2006), 206226 [3] И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн, Введение в теорию линейных несаосопряженных операторов, М., Наука, 1965. [4] Ю.Н. Днестровский, Д.П. Костомаров, О задачах на собственные значения для уравнений второго порядка в случае нелинейной зависимости от параметра , ДАН, 1963, 52:1, 28-30. [5] C.Ю. Доброхотов, Виктор Мартинес Оливе, В.Н. Колокольцов. Мат. Заметки, 1995, 58(2), 880-884 [6] А. В. Дьяченко, А. А. Шкаликов, О модельной задаче для уравнения ОрраЗоммерфельда с линейным профилем, Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 7175 [7] М. А. Евграфов, М. В. Федорюк, Асимптотика решений уравнения w (z ) -

p(z , )w(z ) = 0 в комплексной плоcкости z, УМН, 21:1 (1966), 350
[8] А. И. Есина, А. И. Шафаревич Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шрeдингера с комплексным потенциалом Матем. заметки, 2010, 88:2, 229248 [9] В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во Моск. ун-та, М., 1965 55


[10] В.П. Маслов, Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М., Наука, 1987. [11] С. А. Степин. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному. УМН, 50:6 (1995), 219220 [12] С. А. Степин О спектральных свойствах задачи ОрраЗоммерфельда при исчезающей вязкости Функциональный анализ и его приложения, 1996, 30:4, 8891 [13] С. А. Степин, А. А. Аржанов, Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера, Докл. РАН, 378:1 (2001), 1821 [14] С.А. Степин, В.А. Титов. О концентрации спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений, Доклады РАН, 2007, 75:2, 197-200. [15] С. Н. Туманов, А. А. Шкаликов, О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения ОрраЗоммерфельда с профилем Пуазейля, Изв. РАН. Сер. матем., 66:4 (2002), 177204 [16] М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Справочная математическая библиотека, Наука, М., 1983 [17] А. А. Шкаликов, О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи, Матем. заметки, 62:6 (1997), 950953 [18] E. B. Davies, Pseudospectra of dierential operators, J. Operator Theory, 43:2 (2000), 243262 [19] S.Yu.Dobrokhotov, V.N. Kolokoltsov, V.Martinez Olive. Quasimodes of the diusion operator - + V , corresponding to asymptotically stable limit cycles of the eld V. Sobretiro de Sociedad Matematica Mexicana, 1994, 11, 81-89. [20] P. G. Drazin, W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge Monogr. Mech. Appl. Math., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981 [21] [L. N. Trefethen, Pseudospectra of linear operators, ISIAM 95, Proceedings of the Third international congress on industrial and applied mathematics (Hamburg, 1995), Math. Res., 87, Akademie Verlag, Berlin, 1996, 401434

56


[22] Roohian Н. Semiclassical Asymptotics of the Spectrum of a Nonselfadjoint Operator on

the Sphere / H. Roohian, A. I. Shafarevich // Russian Journal of mathematical Physics
16, 2. 2009. p. 309314. [23] Roohian H. Semiclassical Asymptotics behavior of the Spectrum of a Nonselfadjoint

El liptic Oprator on a Two-Dimentional Surface of Revolution / H. Roohian,
A. I. Shafarevich // Russian Journal of mathematical Physics 17, 3. 2010. p. 328333.

57