Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2009-dip-dushin.pdf Дата изменения: Wed May 6 03:57:00 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:51:22 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Дипломная Работа

Интегрируемый случай Ковалевской-Яхьи.

студента 5 курса К.Е.Душина

Научный руководитель: академик РАН А.Т.Фоменко

Москва 2009


Содержание
1 Введение 2 Постановка задачи Ковалевской-Яхьи 3 Вычисление бифуркационных диаграмм 4 Лиувиллева классификация известных случаев 2 3 7 8

5 Продолжение грубой Лиувиллевой классификации с осей на всю плоскость 20

1


1 Введение
Мы будем рассматривать задачу о движении тяж?лого гиростата с постоянным гиростатическим моментом, в постановке которой важные результаты принадлежат Н.Е.Жуковскому, П.В.Харламову и другим классикам отечественной и мировой механики. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой проблеме. Прежде всего это связано с современными методами явного интегрирования уравнений, с качественными исследованиями динамических систем, с интегрируемостью по Лиувиллю. Гиростату С.В.Ковалевской посвящено не так много работ. П.В.Харламов предложил рассмотреть гиростат, распределение масс которого подчинено условиям С.В.Ковалевской, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Им указано инвариантное соотношение, позволяющее в эллиптических функциях проинтегрировать этот частный случай. Как показал Х.М.Яхья, интеграл С.В.Ковалевской может быть обобщ?н на гиростат при условиях, указанных П.В.Харламовым. П.Е.Рябовым были вычислены бифуркационные множества интегралов энергии и площадей, и дана их классификация. Также им были построены диаграммы случая Яхьи (нулевая постоянная площадей) с помощью методов компьютерного моделирования. П.В.Морозов в своей работе исследовал глобальные топологические инварианты слоений Лиувилля (инварианты ФоменкоЦишанга) интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи (для случая нулевой постоянной площадей). В настоящей работе сделано почти полное продолжение грубой Лиувиллевой классификации для любых значений параметров (постоянная площадей и гиростатический момент). А именно, продолжены все семейства торов и все, кроме четырех, типы их перестроек. Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику А.Т.Фоменко, доценту А.А.Ошемкову, кандидату ф/м наук П.Е.Рябову, кандидату ф/м наук П.В.Морозову за постоянное внимание к работе, множество ценных замечаний и консультаций. Работа была проведена совместно с П.П.Андреяновым и Н.С.Логач?вой.

2


2 Постановка задачи Ковалевской-Яхьи
Случай интегрируемости Ковалевской-Яхьи является обобщением классического волчка Ковалевской на случай задачи о движении тяжелого гиростата. Приведем конкретный вид уравнений и первых интегралов этой системы. Рассмотрим алгебру Ли e(3) группы Ли E (3) движений трехмерного евклидова пространства. На линейном пространстве e(3) определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций f и g :

{f , g }(x) = x([dx f , dx g ]),
где x e(3) , а [, ] - коммутатор в алгебре Ли e(3). В канонических координатах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ) на линейном пространстве e(3) эта скобка записывается следующим образом:

{si , sj } = ij k sk ,
где

{ri , sj } = ij k rk ,

{ri , rj } = 0,

(1)

1 = (i - j )(j - k )(k - 1 А матрица (s,r) скобки Ли-Пуассона выглядит так: 0 s3 -s2 0 r3 -r2 -s3 0 s1 -r3 0 r1 s2 -s1 0 r2 -r1 0 (s,r) = 0 r3 -r2 0 0 0 -r3 0 r1 0 0 0 r2 -r1 0 0 0 0 1 i, j, k 3,
ij k

i).

Пусть на e(3) задана некоторая функция Гамильтона H (s, r). Рассмотрим систему уравнений: si = {si , H }, ri = {ri , H } (2)
2 2 2 Функции f1 = r1 + r2 + r3 и f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 лежат в ядре скобки ЛиПуассона и поэтому являются первыми интегралами уравнений (2). На совместных четырехмерных поверхностях уровня функций f1 и f2 : 2 2 2 4 Mg = {f1 = r1 + r2 + r3 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g },

ограничение системы (2) представляет собой гамильтонову систему с двумя 4 степенями свободы. Поверхности Mg являются неособыми гладкими симплектическими подмногообразиями в e(3) , диффеоморфными T S 2 . Симплектическая структура задается ограничением скобки Ли-Пуассона из объемлющего пространства e(3) . 4 Система будет интегрируемой на поверхности Mg , если на ней существует функционально независимая с H гладкая функция K (s, r), такая что {H, K } = 0. Если такая 4 функция существует глобально на всем e(3) , то на каждом Mg возникает интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы. Параметр g имеет физический смысл постоянной площадей. 3


Рассмотрим следующее обобщение гамильтониана Ковалевской:

H=

s2 s2 (s3 + )2 1 + 2+ + a1 r1 + a2 r2 A1 A2 A3

Как впервые указал Х.М.Яхья [1, 2] для него существует дополнительный интеграл четвертой степени:

K=(

s2 - s2 s1 s2 1 2 + a2 r2 - a1 r1 )2 + ( - a1 r2 - a2 r1 )2 - 2A A

4r3 2 (s + 2)(s2 + s2 ) - (a1 s1 + a2 s2 ) 2 1 23 A A В нашем случае, гиростат подчин?н следующим условиям: главные моменты инерции удовлетворяют соотношениям A1 = A2 = 2A3 := 2A (), гиростатический момент постоянен и направлен по оси динамической симметрии волчка 1 = 2 = 0, := 3 = 0 (), параметры a1 и a2 задают положение точки подвеса волчка в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, центр масс находится также в этой плоскости. При = 0 получаем классический случай Ковалевской. Линейной заменой координат на e(3) A s1 = 2 (-a1 s1 + a2 s2 ), ~ ~ s = A (-a s - a s ), 2 2~ 1 1~ 2 2 s3 = A s3 , ~ 2 a1 (3) ~ a2 ~ r1 = - r1 + r2 , r2 = - a2 r1 - a1 r2 , ~ ~ r3 = r3 , ~ = A ~
2

где = a2 +a2 , добиваются исключения параметров A, a1 , a2 . В новых переменных 1 2 (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ), скобка Ли-Пуассона, будет пропорциональна исходной: ~~~~~~

(s,r) = ~~

2 A

(s,r)

Интегралы f1 , f2 останутся точно такими же, а гамильтониан и дополнительный интеграл K примут упрощенный вид:

s2 s2 (s3 + )2 - r1 , H= 1+ 2+ 4 4 2 s1 s2 s2 - s2 2 1 + r1 )2 + ( + r2 )2 - (s3 + 2)(s2 + s2 ) - 2r3 s1 . 2 1 4 2 2 Здесь и далее мы для простоты используем старые обозначения для новых переменных. K=(
4


Уравнения (2) в координатах записываются в виде: s2 s2 r3 s1 = - (s3 + 2), r1 = - r2 (s3 + ), 2 2 s1 s1 r3 s2 = - (s3 + 2) + r3 , r2 = - + r1 (s3 + ), 2 2 s1 r2 s2 r1 s3 = -r2 , r3 = - . 2 2 Для дальнейших исследований нам будет также удобно пользоваться координатами ( , ), в которых уравнения Эйлера-Пуассона (движения произвольного твердого тела с закрепленной точкой) имеют вид: d1 + (A3 - A2 )2 3 + 2 3 - 3 2 = (e2 3 - e3 2 ) , dt d 1 dt = 3 2 - 2 3 . d 3 + (A2 - A1 )1 2 + 1 2 - 2 1 = (e1 2 - e2 1 ) , dt (4) d3 = - . 21 12 dt d 2 dt + (A1 - A3 )3 1 + 3 1 - 1 3 = (e3 1 - e1 3 ) , d2 = 1 3 - 3 1 . dt Здесь - вектор угловой скорости тела-носителя; e - единичный вектор, который направлен из неподвижной точки к центру масс; - параметр Пуанкаре, равный произведению веса гиростата на расстояние от его центра масс до неподвижной точки. Связь между координатами (s, r) и ( , ) устанавливает следующая лемма:

Лемма. (А.О.Ошемков [3]) Отображение : R6 (s, r) R6 ( , ) задаваемое
формулами

si = -(Ai i + i ), ri = i ,
устанавливает изоморфизм системы (2) и системы (4).

(5)

При этом гамильтониан и функции f1 и f2 в координатах ( , ) с учетом соотношений (), () примут вид:
2 2 H = A1 + A2 + 2 2 2 f1 = 1 + 2 + 3 , 2 A3 + a1 1 + a2 2 , 2 f2 = 2A1 1 + 2A2 2 + (A3 + )3 .

А матрица (

, )

(

, )

скобки Ли-Пуассона будет выглядеть так: -A3 - 0 2 0 - 23 22 4A A3 + 0 -1 23 0 - 21 4A 1 -2 1 0 -2 1 0 = 2 0 0 0 - 23 A 0 3 0 -1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 - 22 2 5


Выберем подвижные оси так, чтобы центр масс находился на первой из них: (e1 , e2 , e3 ) := (1, 0, 0) и сделаем замену (он позволяет избавиться от параметров A, a1 , a2 ): ~ i = A (i ), = , ~i i (6) ~ = A, = t A,
здесь - единица измерения угловой скорости. Обратная величина A единица измерения времени. Матрица формы (, ) имеет вид: ~~ -3 - ~~ 0 2 ~ 0 - ~3 ~2 4 2 2 3 + 3 ~ ~4 ~ 0 -1 ~ 0 - ~1 2 2 1 -2 ~ 1 ~ 0 -2 1 ~ ~ 0 (, ) = ~~ A 0 - ~3 2 ~ 0 0 0 2 ~3 2 0 -1 ~ 0 0 0 1 ~ - ~2 0 0 0 0 2 2 A

-

Запишем уравнения движения гиростата в безразмерных величинах ( , ), ~~ и вернем для новых переменных прежние обозначения (уберем тильдочки):

2 2 3 1 2 3

= (3 - 2 = -(3 = 2 , = 2 3 - = 3 1 - = 1 2 -
1

)2 , - )1 - 3 , 3 2 , 1 3 , 2 1 ,
A

(7)

где точка - дифференцирование по безразмерному параметру = Первые интегралы системы перейдут в следующие функции:

t.

f1 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1. (3 + )3 = g, 2 3 2 H 1 2 + 2 2 + - 1 = h, 2 K (1 2 - 2 2 + 1 )2 + (21 2 + 2 )2 + f2 1 1 + 2 2 + +2(3 - )(
1 2

+ 2 2 ) + 41 3 = k ,

6


Таким образом у нас есть четыре системы координат, между которыми мы можем свободно перемещаться, пользуясь приведенными выше заменами:

(s, r) - - ( , ) - (3) (6) (s, r) ~~ ( , ) ~~

(5)

4 На всяком четырехмерном симплектическом многообразии Mg для заданных значений , g мы получаем интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, задаваемую парой (Hg, , Kg, ).По теореме Лиувилля, которая подробно обсуждается, например, в [4, т.1. 1.5], всякая неособая компактная совместная поверхность уровня интегралов является объединением некоторого числа двумерных торов.

Определение. Слоением Лиувилля, отвечающим интегрируемой системе,

4 называется разбиение многообразия Mg на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов H, K .

3 Вычисление бифуркационных диаграмм
В этом пункте мы излагаем результаты М.П.Харламова и П.Е.Рябова, которые будут использованы нами в дальнейшем, а также вводим необходимые понятия и обозначения. Введ?м отображение момента, которое определяется следующим образом:
4 H Ч K : Mg R2 (h, k )

(8)

Определение. Образ критических точек при отображении момента называется
бифуркуционной диаграммой
,g h,k

.

Заметим, что здесь параметры и g зафиксированы. Бифуркационная диаграмма представляет собой набор гладких кривых, имеющих точки пересечения, касания и возврата. В [5] указаны кривые на плоскости R2 (g , ), разделяющие области с различными типами бифуркационных диаграмм. А также найден явный вид бифуркационных кривых на плоскости R2 (h, k ). Обозначим через (g , ) множество, которое состоит из тех значений (g , ) R2 (g , ), при переходе через которые меняется вид сечения ,g плоскостью h,k {g = const, = const}. Тогда это множество устроено следующим образом:

7


Теорема 1. (П.Е.Рябов)
1 (g , ) = 1 - 4g = 0, 4t4 - 1 2 (t) = -2t3 , - 4t2 3 (s) = 4 (t) = 5 (t) = s2 - 1 3 , -s 4s - (3t2 - 1)2 , 4t3 -

(g , ) =

5 i=1

i , где

1 , t - , 0 , 2 , s [-1, 0), , (t2 - 1)3 t3 , , t [-1, 0).

(t2 - 1)3 , 2t3

(3t2 - 1)2 2t3

Бифуркационное множество ,g , согласно следующим утверждениям, выглядит h,k так:

Теорема 2. (П.Е.Рябов) Все критические значения отображения момента (8) в задаче С.В.Ковалевской-Х.М.Яхьи принадлежат 1 2 , т.е.
,g 1 2 , h,k
где

1 :

k = 1, h -1,

k = 1 + (h - 2 h , 2

2 2 ) 2

,

g = 0;

g 2 h = 1 + - 1 , 2 4 k = 1 + 1 + 2g 1 ,

2

g = 0,

2 :

h 0, k = 0,

= 0;

h = 2g 2 - - s + 2s2 , 2 k = -42 g 2 + (s + 2 )2 -

2

2

2 (2 +2s2 ) s2

,

= 0.

Теорема 3. (П.Е.Рябов)

В случае 1 - 4g 0 для s (-, s1 ) на кривой 2 отсутствуют критические движения. В случае 1 - 4g < 0 для s (-, s ) на кривой 2 отсутствуют критические движения. Через s обозначается одно из значений параметра на кривой 2 , для которого i пересекаются, s1 =
-1- 1-162 g 8g 2
2

.

4 Лиувиллева классификация известных случаев
Выше у нас описано бифуркационное множество. Оно представляет собой 18 областей, в которых бифуркационные диаграммы гомеоморфны друг другу. Эти области набзовем цифрами 1-9, и 1 -9 . Так же будем называть соответствующие им диаграммы. Диаграммы, соответствующие отрезкам осей в плоскости R2, g будем называть 1k , 2k , 6k , 7k для случая Ковалевской ( = 0) и 1m, 2m, 6m, 7m 8


для случая Морозова (g = 0). Диаграмму, соответствующую началу координат в R2, назовем 0 (см. рис.1): g

Сговоримся называть области, на которые делит плоскость R2, множеcтво g (g , ) областями, а области, на которые делит плоскость R2 бифуркационная h,k диаграмма - камерами. Гладкие куски дуг бифуркационных диаграмм (бифуркационные кривые делятся на такие куски точками касания, пересечения и возврата) будем иногда называть стенками. Дальнейшее исследование бифуркационного множества подразумевает грубую 9


(а затем и тонкую) Лиувиллеву классификацию. Она уже была частично проведена. А именно на двух осях:

= 0 - случай Ковалевской (А.Т.Фоменко и А.В.Болсинов [4]) и g = 0 - (П.В.Морозов [9]).
Приведем ее здесь. Все куски гладких дуги бифуркационных диаграмм мы обозначим малыми греческими буквами с индексами. В их прообразах лежат боттовские перестройки торов Лиувилля, которые описываются 3-атомами. Их типы указаны ниже в табл.2. Регулярные точки отображения момента на R2 (h, k ) являются образами некоторого количества несвязных торов Лиувилля. Эти торы естественным образом разбиваются на семейства. Мы обозначили их римскими цифрами I - V I I I (см табл.1). семейство I II III IV V VI VII VIII число торов Лиувилля 1 2 1 1 1 1 2 2 Таблица 1. кривая 2 1 - A 2 - B 3 - A 4 - B 5 - C2 6 - нет перестройки 7 - 2A 1 - 2A 2 - 2B 6 - 2B 7 5 - 4A 1 3 - 2A кривая 1 1 - A 2 - B 3 - A 4 - B 5 - 2A 6 - 2A 7 - 2A 1 - 2 A 2 - 2B 6 - 2B 7 5 - 4A 1 3 - 2A

Таблица 2.

Замечание. Здесь встречаются атомы следующих типов: A,

A , B , C2 . В случаях, когда g = 0 не появится новых перестроек. Также не появятся новые семейства торов.

10


В случаях Ковалевской и Морозова следует различать по 4 бифуркационных диаграммы, также особым является случай g = = 0. Ниже приведены изображения этих девяти диаграмм с расставленными на них семействами и перестройками торов.

11


12


13


14


15


16


17


18


19


5 Продолжение грубой Лиувиллевой классификации с осей на всю плоскость
Теорема. В предположении боттовости нашей системы, можно узнать семейства
и перестройки торов Лиувилля на всем квадранте {g > 0, > 0}, за исключением четырех перестроек (3 , 5 , 3 , 5 ), для этого достаточно информации, имеющейся в уже изученных случаях Ковалевской и Морозова. Все данные отмечены на схематических рисунках бифуркационных диаграмм (см. ниже).

Доказательство. Покажем здесь наглядно, как расставить на диаграммах семейства и перестройки. I. Для начала заметим, что многие камеры и стенки на бифуркационных диаграммах из разных областей совпадают (то есть на них можно поставить одинаковые буквы). При переходе из любой области (на которые R2 делится ,g разделяющими кривыми i ) в соседнюю с ней, бифуркационные диаграммы изменяются лишь локально. То есть большинство камер и стенок в паре соседних диаграмм остаются прежними. Покажем это на примере перехода от диаграммы 1' к диаграмме 9 (см. также рис.1):

Видим, что произошли только локальные изменения - клюв 3 2 проткнул стенку 1 . Аналогичные локальные изменения, как можно непосредственно убедиться, происходят и во всех других случаях. Почему эти локальные изменения диаграмм не влекут глобальных изменений в их лиувиллевом устройстве? () Рассмотрим множество ,g , как четырехмерное многообразие в R4 ,h,k . Одинаковые ,g h,k ,g камеры на соседних диаграммах являются одной камерой в h,k (из одной камеры можно попасть в другую при помощи гладкой кривой, зависящей от параметров g и ). Для того чтобы () было верно, нужна боттовость (невырожденность) нашей системы. 20


II. Подробнее разберем продолжение перестроек и семейств торов в диаграмму 4, зная устройство диаграмм 1m, 1k и 2k. Для этого мы перейдем в диаграмму 1 (1k 1 1m), потом в диаграмму 2 (1 2 2k ), потом в диаграмму 3 (2 3, и, наконец, в диаграмму 4 (см. рис.)

Cначала мы должны совершить переход от 1m и 1k к 1. Он замечателен тем, что зная отдельно классификацию 1m или 1k, полностью продолжить все в 1 не удалось бы. Но эти два случая так замечательно друг друга дополняют, что продолжение возможно! Переход от 1k к 1: Эти диаграммы отличаются тем, что крайняя левая стенка 1 3 разделилась на две - 1 и 3 (которые, вообще говоря для этой диаграммы являются новыми, но, как мы увидим потом, они придут из диаграммы 1m) и появилась точка касания стенок 5 с 3 , образовав две новые - 2 и 6 (которые также имеются в диаграмме 1m). Заметим, что при переходе от 1 к 1k, эта точка касания уходит на бесконечность. Далее, в трещину между стенками 1 и 3 затекло семейство торов I, а все остальные семейства и перестройки не изменяются в силу боттовости системы. Переход от 1m к 1: Эти диаграммы отличаются тем, что стенка 1 3 разделилась на две - 1 и 3 (которые уже есть в 1k) и появилась точка касания стенки 5 с 3 , образовав две новые - 2 и 6 (которые также имеются в диаграмме 1k). Заметим, что при переходе от 1 к 1m, эта точка касания уходит на бесконечность. Далее, в трещину между стенками 1 и 3 затекло семейство торов I (все очень похоже на переход от 1k к 1). Итак, мы продолжили классификацию в нашу первую камеру. Перейдем теперь от 1 к 2. Эти диаграммы превращаются друг в друга так: точки N1 , B1 , X1 схлопываются в одну точку в момент перехода через разделяющую кривую в R2 , а затем расходятся обратно, превращаясь в точки ,g N2 , B2 , X2 . На бифуркационной кривой при этом происходит следующее: особые точки были в порядке "пересечение-возврат-касание а становятся - "касаниевозврат-пересечение". Клюв 4 3 заворачивается внутрь клюва 3 4 , исчезает стенка 5 , появляются 6 , 1 и 2 (мы их узнаем из 2k). Область II исчезает, и появляется область I,VI,VIII (которая также есть в 2k). Все остальное неизменно. Переход от 2k к 2: Абсолютно аналогично переходу от 1k к 1. То есть эта локальная перестройка диаграмм не пересекается с перестройкой между 1 и 2. 21


Переход от 2 к 3 заключается в том, что клюв 1 2 пересекает стенку 3 . При этом появляются три новых камеры (ограниченных соответственно стенками (3 , 2 , 5 ), (3 , 5 , 1 ) и (3 , 4 , 2 )), и две новых перестройки (3 , 5 ). Камера с семействами I,VI при переходе от 2 к 3 разделится на две части (две последних новых камеры), но в каждой из них эти семейства сохраняются (из-за того, что из одной части можно попасть в другую при помощи гладкой кривой, зависящей от параметров g и ). Камера, ограниченная стенками (3 , 2 , 5 ) будет содержать семейства V,IV (это будет видно при переходе от 3 к 4). Таким образом, во всех камерах нам стали известны семейства торов. С перестройками на этой диаграмме, к сожалению, метод не помогает. Появляются новые стенки 3 и 5 , типы которых мы не можем пока узнать (после доказательства теоремы см. гипотезу на этот счет). Переход от 3 к 4. Объясним, почему в первой новой камере (для перехода от 2 к 3) будут семейства V,IV. При переходе из 3 в 4, клюв 5 3 4 6 перестает пересекать стенку 2 2 2 и наша новая камера соединяется с камерой, ограниченной 6 , 6 и 6 , в которой как раз и живут эти два семейства торов. Диаграмма 4 менее интересна, чем диаграмма 3, потому что 3 содержит все, что есть в 4. Итак, цель нашего путешествия достигнута. Мы попали в диаграмму 4. III. Аналогичными рассуждениями были продолжены перестройки и семейства торов на все 18 диаграмм. Появились четыре новых стенки, которым не удалось приписать какую-либо известную перестройку из случая Ковалевской или Морозова. Новых семейств торов не появилось. Обход камер удобно делать в следующем порядке, за два прохода:

012 3 4 5 1 9 8 7 6, 0 1 2 3 4 5 1 9 8 7 6.
Это наглядно показано на следующих рисунках. На первом нарисованы пути обхождения диаграмм по плоскости R2 , два следующих иллюстрируют связь ,g между соседними диаграммами - картиночки с диаграммами имеют общую сторону, если соответствующие области в R2 граничат между собой. На этих ,g рисунках хорошо видна локальность в различиях между соседними диаграммами, затем приведен 21 рисунок, на котором в описанном выше порядке расположены наши диаграммы с расставленными на них семействами и перестройками торов Лиувилля. Проверка продолжения в остальные области предоставляется читателю.

Замечание. Гипотеза насчет четырех неизвестных перестроек.

В работе Н.С.Логачевой были вычислены индексы и типы критичеких точек, являющихся положениями равновесия (или, что то же самое, точками пересечения бифуркационных кривых). Каждая стенка, отвечающая неизвестной перестройке, входит одним концом в такую точку. И каждая из этих перестроек оказывается центровой, то есть представляет собой один или несколько атомов A. Если типа критической точки действительно достаточно для определения перестройки, то тогда грубая Лиувиллева классификация случая КовалевскойЯхьи может считаться завершенной.
22


23


24


25


26


27


28


29


30


31


32


33


34


35


36


37


38


39


40


41


42


43


44


45


Список литературы
[1] Yehia Н.М. New integrable cases in dynamics оf rigid bodies. - Mech. Res. Com., 1986, Vol. 13(3), рр.169-172. [2] Яхья Х.М. Новые uнтегрuруемые случаu задачu о двuженuu гuростата. Becтник МГУ сер. мaтeм., механ., 1987, 4, с. 88-90 [3] А.А.Ошемков Труды Семинара по векторному и тензорному анализу вып. 25 часть 2. Издательство Московского Ун-та, 1993. [4] Болсuнов А.В., Фоменко А. Т. Интегрuруемые гамuльтоновы cucтeмы. Геометрuя. Топологuя. Классuфuкацuя. - Изд-во УдГУ 1999. [5] П.Е.Рябов Бифуркационное множество задачи о движении тв?рдого тела вокруг неподвижной точки в случае Ковалевской-Яхьи.Дисс.Волгоград 1997. [6] Харламов М.П, Рябов ПЕ. Бuфуркацuu первых uнnегралов в случае Ковалевскоq-Яхьи. - Регулярная u хаотuческая динамика, 1997, т.2, 2. [7] Г.Г.Аппельрот Не вполне симметричные тяж?лые гироскопы // Движение тв?рдого тела вокруг неподвижной точки. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940.С.61-155. [8] М.П.Харламов Топологический анализ интегрируемых задач динамики тв?рдого тела. Л.:Изд-во Ленинградского ун-та, 1980. [9] П.В.Морозов Лиувиллева классификация некоторых интегрируемых систем механики твердого тела Москва - 2006. [10] Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // ДАН СССР, 1986, т.287, No.5, с.1071-1075. Объем 0,3 п.л. [11] Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости// Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307. Объем 2 п.л. [12] Фоменко А.Т., Цишанг Х. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем// Известия АН СССР, 1988, т.52, No.2, с.378-407. Объем 2 п.л. [13] Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю// Функц. анализ и его приложения. 1988, т.22, вып.4, с.38-51. Объем 1 п.л. [14] Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем// УМН, 1989, т.44, вып.1 (265), с.145-173. Объем 2 п.л. 46


[15] Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. - Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575. [16] Болсuнов А.В., Puxmep П, Фоменко А. Т. Meтoд круговых молекул u тоnологuя волчка Ковалевской. - Mameм. сборнuк, 2000, т. 191, N 2, с. 3-42. [17] Топалов П. Вычuсленuе тонкого uнварuанта Фоменко-Цuшанга для основных uнтегрuруемых случаев двuженuя твердого тела. - Maтeм. сборнuк, 1996, т. 187, И3, с. 143-160.

47