Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/fomenko/myth-sec7.php
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Sat Apr 9 22:34:52 2016
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: массивные звезды
Математика и Живопись / Кафедра Дифференциальной геометрии и приложений /
DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


МАТЕМАТИКА И МИФ СКВОЗЬ ПРИЗМУ ГЕОМЕТРИИ
А.Т.ФОМЕНКО
Посвящается моим родителям
Валентине Поликарповне
и Тимофею Григорьевичу

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. Геометрические образы и ассоциации в математике
   1. Образы в топологии
   2. Образы в теории многообразий
   3. Образы в математическом анализе
   4. Образы в теории дифференциальных уравнений и физике
   5. Образы в вариационном исчислении
   6. Образы в алгоритмической и компьютерной геометрии
   7. Образы в общематематических концепциях
Ю.И.Манин. ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ



7. ОБРАЗЫ В ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЯХ



МАТЕМАТИКА: ЗВЕЗДНАЯ ДИАГРАММА ГЕРЦШПРУНГА–РЕССЕЛА

Чтобы выяснить, нет ли какой-нибудь зависимости между спектральным классом и светимостью звезды, в начале ХХ века два астронома — голландец Герцшпрунг и американец Рессел — независимо друг от друга построили следующую диаграмму. Вдоль горизонтальной оси они отложили последовательность спектральных классов, а по вертикальной оси — абсолютные звездные величины звезд. Причем так, чтобы они убывали вверх по оси и, следовательно, светимости росли. Каждая звезда изобразилась на диаграмме точкой. Оказалось, что искомая зависимость существует. Звезды расположились на диаграмме не хаотически, а вдоль нескольких «линий». На рисунке условно изображена так называемая главная последовательность звезд и субкарлики. В астрономии эта диаграмма сегодня называется диаграммой спектр-светимость. Наше Солнце расположено приблизительно в центре изогнутой, «утолщенной» линии. Сегодня нет общепризнанной версии — какова природа этой зависимости.

МИФОЛОГИЯ

Библейское пророчество Даниила рассказывает о пире царя Валтасара, прогневавшего Бога. Валтасар — сын Навуходоносора — устраивает пир, на котором пользуется священными сосудами, захваченными его отцом в Иерусалиме. Из стены храма появилась человеческая рука, пальцы которой написали на стене три загадочных слова: Мене, Текел, Упарсин. В ту же самую ночь Валтасар был убит (Даниил 5).



ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ

Дж.Дж.Фрэзер сообщает следующий факт. Правитель города Каликута на Малабарском берегу носил титул Саморина. В прошлом, по истечении двенадцатилетнего царствования, Саморин был обязан публично перерезать себе горло. Смерть до окончания этого срока спасала его от мучительной церемонии публичного самоубийства на воздвигнутом специально для этой цели помосте. Сначала он давал пир многочисленной местной знати. По окончании пира приветствовал гостей и всходил на эшафот, чтобы на глазах присутствующих надлежащим образом исполнить мрачный ритуал. Тут же на престол поднимался следующий царь. Впрочем, такие обычаи, вероятно, существовали лишь ограниченное время. Следующие правители наконец пришли к простой и здравой мысли, что вместо себя можно посылать на эшафот «заместителя». Например, преступника. Либо же трансформировать кровавый ритуал в некий символический и неопасный обряд. Именно это вскоре и произошло в реальной истории средневековых обычаев престолонаследия.



ПОРТРЕТ ЕЛЕНЫ КУЗЬМЕНКО

Известно, что текстовая и зрительная информация часто избыточна. Например, из литературного текста можно, без особого ущерба для понимания, выбросить фрагменты многих слов. А иногда и целые слова, встречающиеся внутри устойчивых, привычных словосочетаний. При этом, смысл текста не утратится. Точно так же, из зрительного образа можно удалить многие фрагменты, и тем не менее он останется узнаваемым. Конечно, нужно удалять лишь малосущественные детали, сохраняя главное. На этой идее основаны многие современные методы теории распознавания образов. Женский портрет лишен некоторых деталей, и тем не менее, он сохраняет самые существенные, характерные, легко узнаваемые черты оригинала. Отсюда видно — насколько устойчиво зрительное восприятие к «белому шуму» помех.



МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

Алгоритмическая неразрешимость задачи классификации многообразий в размерностях, больших чем три. Одним из проявлений математической бесконечности является алгоритмическая неразрешимость некоторых задач топологии. Каждое гладкое компактное многообразие можно представить в виде симплициального комплекса. Следовательно, составив таблицу, в которой перечислены все симплексы, их грани и коэффициенты инцидентности, мы можем задать многообразие таблицей, рассматривая ее как код многообразия. Возникает задача алгоритмической классификации многообразий фиксированной размерности. А именно, существует ли алгоритм, действующий «по единой программе» (допускающий в принципе реализацию на компьютере) и отвечающий на вопрос: определяют ли два произвольных кода (поданных на «вход» алгоритма) диффеоморфные (или гомеоморфные) многообразия или нет? Многообразия размерности 1 и 2 классифицированы. Причем это описание очень простое. Относительно многообразий размерности 3 ситуация существенно иная. Сегодня пока неизвестен алгоритм распознавания и классификации. Далее, доказано, что многообразия размерностей 4, 5, 6 и т. д. невозможно классифицировать. Это — строгая математическая теорема. Итак, начиная с размерности 4, не существует алгоритма, определенного на множестве кодов всех многообразий и отвечающего на вопрос: задают ли два любые кода, поданные на его «вход», диффеоморфные многообразия или нет.

МИФОЛОГИЯ

Майя есть непреодолимая для обыкновенного человека и неизбежная иллюзия текучести бытия. Школа Шанкары признает майю необъяснимой и отождествляет ее с «незнанием». Это — некая вселенская нереальность. Философские школы по-разному трактовали это индийское мировоззрение. Действительность понимается лишь как греза божества, а мир — это божественная игра. Часто майя выступает как божественная женщина небесного происхождения. Иногда майя появляется как обман, хитрость, колдовское изменение вида.



АНТИДЮРЕР. ИЗ АВТОРСКОГО ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА»

В истории живописи особое место занимают художники XVI–XVII веков. В их работах ярко отразились средневековая философия и научные концепции той эпохи. Интересно проследить эволюцию научных представлений за прошедшие с тех пор 300 лет. Так возник мой цикл работ «Диалог с авторами XVI века». Настоящая работа возникла как результат размышлений над известной гравюрой А.Дюрера «Меланхолия». За прошедшие со времен Дюрера три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений. Приведем пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. У нас он заменен десятичным разложением числа e:

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967…

Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см. цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены первые 121 знаков десятичного разложения числа e. Такие десятичные разложения (некоторых иррациональных чисел) используются как датчики случайных чисел. Дело в том, что последовательность цифр десятичного разложения числа e (или, например, числа π), является (в некотором смысле, который мы здесь не уточняем) случайной последовательностью. Сегодня, при помощи компьютеров, вычислено много тысяч знаков десятичного разложения чисел π и e. Зритель может также найти здесь изображение сепаратрисной диаграммы критической точки индекса 1 гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве. Это «колокольчик» с языком-сепаратрисой (рядом с числом e).

МИФОЛОГИЯ

Средневековый мистицизм достиг одной из своих вершин в толковании чисел, пытаясь при помощи арифметических операций над числами, открыть законы бытия. Например, характер протекания времени зависел от того — кто «наблюдает» за ним. Считалось, что один день творения для Бога — это тысяча лет с точки зрения обычного человека. Складывая числа, средневековый мистик был убежден, что он «суммирует» отвечающие им сущности.



АНТИБРЕЙГЕЛЬ. ИЗ ЦИКЛА «ДИАЛОГ С АВТОРАМИ XVI ВЕКА»

Работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля "Алхимики". Понятия математической бесконечности (уходящие за горизонт чаши с расплавленным металлом), динамических потоков, аналитических функций (облака в небе), гомеоморфизма и гомотопии (в виде деформаций человеческого тела). Отражена эволюция математических представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля.

МИФОЛОГИЯ

Согласно убеждению средневековых алхимиков, металлы образуют единую систему, шкалу. Следовательно, могут превращаться друг в друга. Особое внимание уделялось превращениям, в результате которых должно было получиться золото. Многие легенды описывают попытки средневековых мастеров изготовить золото из более распространенных металлов. Например, из свинца. Даосские алхимические трактаты уделяли особое внимание киновари, наделяя ее волшебными свойствами. Считалось, что при правильной многократной перегонке киновари можно получить не только золото, но даже эликсир бессмертия. Согласно некоторым рецептам, в особенно критические моменты изготовления золота, в кипящий расплав нужно добавлять такие совершенно необходимые компоненты, как сушеный хвостик мыши и т.п. Алхимики работали при дворах европейских монархов, постоянно держа их в напряжении обещаниями "вот-вот" получить груды золота. Неудачи объяснялись, естественно, происками врагов. Впрочем, современная химия в значительной мере выросла из алхимии. Как астрономия - из астрологии.



МУЗЫКАЛЬНЫЙ КЛУБ "ТОПАЗ" МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Юмористический рисунок посвящен юбилею музыкального клуба, организованного А.Т.Фоменко в 1963 году для студентов и сотрудников механико-математического факультета Московского государственного университета. Изображены (в шутливой манере) студенты и аспиранты (математики и физики), принимавшие в разные годы активное участие в работе клуба. Слева направо: Александр Звонкин, Анатолий Фоменко, Юрий Лезнер (внизу), Владимир Кузнецов (вверху), Энно Йоон, Валерий Пахомов. Сидящая мужская фигура справа - композитор XIX века Антон Брукнер, произведения которого часто исполнялись и обсуждались на заседаниях клуба.



ПОРТРЕТ ЖЕНЫ ТАТЬЯНЫ

Математика присутствует здесь в виде сложного рельефа двумерных поверхностей. Характер линий излома, особых точек и ветвей поверхностей напоминает об аналитических функциях. Справа можно увидеть листы однозначности римановой поверхности алгебраической функции.



БИБЛЕЙСКАЯ ЛЕГЕНДА О СТРАШНОМ СУДЕ

Из цикла "Апокалипсис". "И увидел я мертвых, малых и великих, стоящих пред Богом, и книги раскрыты были,... и судимы были мертвые по написанному в книгах, сообразно с делами своими... И кто не был записан в книге жизни, тот был брошен в озеро огненное."(Апокалипсис. 20:12-15). Средневековая легенда утверждает, что скоро (относительно конкретных сроков имеются разногласия) состоится второе пришествие Христа-судьи. Он призовет всех на суд и воздаст каждому по делам его. Мотив суда тесно связан с действиями дьявола, выступающего в качестве оппонента Иисуса. Считается, что в будущем сатана получит кратковременный реванш во времена антихриста, однако затем будет окончательно заключен в аду. Средневековая фантазия была неутомима в описании образа сатаны, приписывая ему смешение антропоморфных и животных черт. Пасть сатаны отождествлялась со входом в ад, у него - три лица (красное, бледно-желтое и черное), шесть крыльев нетопыря.



АПОКАЛИПСИС

Геометрическая фантазия на темы библейской книги Апокалипсис. Использованы разнообразные математические образы. Например, математическая бесконечность, гомотопия и гомеоморфизм (деформации человеческих тел), элементы фрактальной геометрии, линзовые пространства - класс многообразий из трехмерной топологии, особые точки алгебраических поверхностей. Мотив Страшного Суда - один из самых популярных в средневековой идеологии. Злые люди будут отделены от добрых, "плевелы" от "пшеницы". Вселенная придет в движение, космос содрогнется. Земля и море, звери, птицы, рыбы, отдают назад поглощенные ими тела мертвецов. Человек, очнувшийся от смертного сна, со страхом видит перед собой Христа-судью и ждет приговора. Раскрываются книги, где записаны все свершенные дела. Меркнут луна и солнце, звезды падают с неба, небо лопается и сворачивается как свиток. Земля разрезается гигантской трещиной, достигающей ада.



ИСКУШЕНИЕ СВЯТОГО АНТОНИЯ

По мотивам известной средневековой легенды об искушении святого Антония. Использован язык математических образов. Видны поверхности Бельтрами. Это - "трубы", "воро'нки", на которых реализуется гиперболическая метрика (метрика Лобачевского). Математическая бесконечность, гомеоморфизм, непрерывная деформация. Напоминается также о некоторых знаменитых математических задачах: о проблеме Ферма и проблеме Пуанкаре (является ли односвязное компактное трехмерное многообразие стандартной сферой). Обе эти проблемы были решены уже после того как рисунок был создан.

МИФОЛОГИЯ

Согласно легенде о святом Антонии, он выдержал невероятные испытания и искушения, посланные ему. Сюжет был популярен в средневековой живописи. К нему обращаются и современные авторы, усматривая здесь общечеловеческий смысл, сохраняющий актуальность во все эпохи. Бе'сы (особенно распространенные в средневековой Европе) - это бывшие ангелы, отпавшие от Бога и ставшие слугами сатаны ("ангелами бездны"). Они искушают людей, но особенным их вниманием пользуются монахи, отшельники,