|
Пусть F - представление группы G в линейном пространстве L. Нас интересуют полилиненйные
формы W в L, инвариантные относительно F(G). Такие объекты интересны для изучения когомологий
(кососимметрические формы), для изучения инвариантов представления- инвариантных функций на L
(симметрические полилинейные формы W(x_1,..,x_n), рассмотренные для x=x_1=...=x_n ) и тому подобные объекты.
Построение полилинейных форм в L удобно производить в том случае, когда пространство L является матричным
пространством. А именно, будем рассматривать в качестве полилинейных форм на L: W(x_1,...,x_n)=Tr(x_1,...,x_n),
где x_1,...,x_n - матрицы из L, "." означает матричное умножение, Tr означает след.
Указанные полилинейные формы можно подвергнуть симметризации. Ситуация, при которой пространство
представления является матричным, естественно возникает при следующих обстоятельствах.
ПустьG/H -однородное пространство, g.h- алгебры Ли групп G,H. Рассмотрим представление Ad(H)
на g в предположении, что G линейная (матричная) группа. Имеет место разложение линейных
(матричных) пространств на инвариантные и неприводимые относительно Ad(H) подпространства g=h+b_1+...b_k,
в которых действуют неприводимые представления Ad(H), F_1,...,F_k. При этом полилинейные формы
W(x_1,...,x_n)=Tr(x_1,...,x_n), на b_j, j=1,...,k, инвариантны относительно F_j.
Описанный способ построения инвариантных полилинейных форм называется принципом включения и
может быть применен к некоторым задачам тензорной алгебры.
|
