Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec06.pdf Дата изменения: Tue Apr 15 00:00:00 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:43:48 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 6. Моды шепчущей галереи в произвольных телах вращения
М.Л.Городецкий 15 апреля 2008 г.

1

Асимптотика решений скалярного волнового уравнения

Ранее были рассмотрены моды шепчущей галереи в круговых цилиндрических и сферических телах. К сожалению, соответствующие координатные системы практически исчерпывают класс систем координат, в которых векторные уравнения допускают разделение переменных и решения выписываются в явном виде (см. Лекцию 2). Между тем, большой интерес представляют резонаторы, форма которых отлична от сферической или цилиндрической. Так, в частности, уплощение резонатора позволяет избавиться от большой плотности частотного спектра собственных мод [1, 2]. Технология прецизионного микротокарного точения позволяет получать осесимметричные резонаторы с произвольной образующей не только из стекол, но и из кристаллических материалов [3]. Для получения приближенного решения для мод шепчущей галереи в произвольных телах ограничимся скалярным уравнением, поскольку у мод высокого порядка для двух типов колебаний основная часть энергии сконцентрирована в одной из компонент, направленных в экваториальной плоскости, вблизи которой циркулирует мода приблизительно вдоль оси (

E

) или

Hz (H

), а

z

z Ez

компонента поля подчиняется скалярному уравнению

Гельмгольца. Введем естественную ортогональную систему координат ла вращения с поверхностью



длиной нормали от поверхности к данной точке, а

a @ z A

таким образом, чтобы

@



; ; A для те являлась

длина дуги на по-

верхности резонатора от экватора до нормали. Например, в сферической системе координат эти новые координаты линейно связаны со сферическими:



запишется следующим образом ([4], с.138):

a a

r,

a a@=P A

. В этих координатах уравнение Лапласа

r2 Е C k2 Е a H
1


Рис. 1: Система приповерхностных координат для расчета мод шепчущей галереи

aI a I r A k@ p h a @ ; A a x2 C y2 @ h h I 2a r h h h @ h 4 I I 1 @ a
h h

C I2
Здесь



@2 @ 2

rk

C @@ hhh @@ C @@ hhh @@ 2 @ @ 1 @ I C @ I r @ rk @ @ k

@ @









!

35

(1)

rk

локальный радиус кривизны образующей поверхности.

rk

a IC

4



53=2 d2 2 dz 2

0

d2 dz 2

(2)

Если эта кривизна мало меняется в области распространения моды шепчущей галереи, что, например, строго выполняется для сферы и тора, то:

rk @

A9 a

rk

@HA

a rk

C @rk A os@=rk A 9
2

a



I

2 Park



I

a


(3)


При этих приближениях, производя следующую замену переменных

Еa

R@ AS @

A I



2 1=2 Park



I

1=2 rk



I
и

1=2 ; a

(4)

и раскладывая все коэффициенты до членов порядка вести разделение переменных:



2

можно произ-

@2S @ 2 @2R @2

C C

l m
4

k2

2 ! I C R aI2 C rI2 2 amr RaIr2 S a H 3k 2 k2 k m2 I I I 2 Pm2 Pl a2 lm C Pa a r a3 r

(5)

k

m k

35

R

aH

Задание 6.1 Вывести эти уравнения.

Теперь заменой переменных

нение для функций Гаусс-Эрмитта

S HH
где

a @ amr2 4a1r2 A 1=4 3 2 ~ 2 =2 Hp @A ~ ~ S @A a e ~ C @Pp C I 2AS a H;
k k

~

мы получаем урав-

:

(6)

Hp

полином Эрмитта порядка

условия целочисленности

p:

p.

Константа разделения находится из

mn


a @Pp C IA



m2 a3 rk

RaI 2
1=

1=

2

2 rk 3

II C I R a2 r2 k


(7)

Это уравнение заменой переменных



a Pm2 C P

a3 l m rk

I @I a=rk A2 P

2 2 k2 2 Pm2 C P aa3 m 1 lm aa=r A2 2= a lm =rk 2 @I k

3

сводится к уравнению для функции Эйри.

R@ AHH R@ R@ A a Ai @ A
ственно,

AaH
(8)

Если потребовать равенство нулю на границе

ka



:

a

q

, то мы можем найти собственные асимптотические значения

R@

a HA a H C O@l

и, соответ-

ka

al

q

1=

P

l

3

C

r

a @p rk

l C I=PA p C q P R

2 1=3

2=3

A

(9)

Это решение совпадает с более точным решением, которое мы получим позднее, вплоть до последнего члена, который должен быть равен 2 l ? = q .

1 3 3 20 2

3


2

Угловые сферические функции в квантовой механике

У мод типа шепчущей галереи

поле сосредоточено в кольцевой "экваториальной"области вблизи поверхности резонатора. При этом максимальная концентрация поля достигается для мод типа мум (

T E @T M A`mq (`

$ m, q ( `)

электромагнитное

моды будут называться в дальнейшем фундаментальными модами шепчущей галереи). Угловые функции в сферическом резонаторе те же самые, которые появляются при решении квантовой задачи о движении электрона в центральном поле. Поэтому существует тесная аналогия между электронным облаком в атоме и модами сферических резонаторов. Обычно в атомах рассматривают моды низкого порядка с небольшим главным квантовым числом

? $

T p E @T M A``1 , (` a m, q a = `) в меридианальном

I

), которые имеют один узкий макси-

и радиальном (

?r=r $

` 2=3

). Такие

n

и, соответственно, азимутальным квантовым числом

`

и

m.

Однако

в современной экспериментальной квантовой физике широко применяются так называемые возбужденные ридберговские атомы с электроном, находящимся на дальнем уровне с большим номером

n

. Такие атомы имеют кван-

товые переходы, лежащие в СВЧ диапазоне, и позволяют осуществлять эксперименты на уровне взаимодействия отдельных атомов с отдельными фотонами. При этом наибольшей чувствительностью к внешним воздействиям и наибольшее время жизни имеют состояния, имеющие максимальный угловой и магнитный момент и соответствующие максимальным значениям чисел

`иm

[5]. Электронные облака в таких атомах соответствуют фунда-

ментальным модам шепчущей галереи сферических резонаторов. Фундаментальные моды с

`

гауссовы пучки, испытывающие многократное полное внутреннее отражение от внутренней поверхности сферы и циркулирующие в экваториальной плоскости. Расширение этой квазигеометрической интерпретации на моды с

a

m

можно интерпретировать как узкие

`

ности

Ta

m

` m

не является вполне очевидной. Попробуем разобраться. С ростом раз, широтное распределение становится быстро осциллирующей

функцией по



с резким обрезанием вблизи углов

max

Оказывается, произвольная сферическая функция может быть смоделирована как результат суперпозиции наклоненных фундаментальных циркулярных мод или вырожденной прецессии одной такой наклоненной моды. ( Запишем преобразование из системы угловых сферических координат ) в систему собственных сферических угловых координат, (

a =P Ѓ ros@

m=`A

.

;

#; ')

связан-

ной с фундаментальной наклоненной прецессирующей моды, описываемой углами Эйлера ( , круг оси оси

y

z

,

). При этом первый угол

как раз и описывает прецессию, угол

начальный поворот во поворот вокруг новой

фиксированный угол наклона фундаментальной прецессирующей

моды и



третий поворот вокруг новой оси

z

описывает фазу фундамен-

тальной моды.

os # a os os  C sin os@ A sin
4




sin # sin@' A a sin sin@ A sin # os@' A a sin os@ A os  os sin
Поэтому



(10)

Y`` @#@;  ; A; '@;  ; AA=C`` a P`` @os #Aei`' a @P` IA33@ei' sin #A` (11) a @P` IA33ei` @sin os@ A os  os sin  C i sin sin@ AA` :
Покажем, что угловую функцию с номером модам, отличающимся лишь углом угол

`

и произвольным

разложить по наклоненным на фиксированный угол







m

можно

фундаментальным

. Пока не будем обращать внимание на

и вычислим вспомогательный интеграл:

I

a CI
`

2 0

``

eim Y`` @#; 'Ad
2 0

a

(12)

@ IA @P` IA33

e im

@os sin  sin os os  C i sin sin A` a
. I

d

Здесь сделана замена переменных

Легко проверить, что этот

интеграл удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

И поэтому

I

a sin`

m 

a ` os   sin @I C os  Am F @; A
@I @

m

(13)

и, следовательно, выражение

sin
от

` m



@I C os  A

I

m

(14)



не зависит. Наконец, формально подставляя



нивая результат с известным интегралом Гейне:

a =P

в (13) и срав-

P
получаем

m `

Cm @os A a @` P`3 A3

2 0

e im

@os C i sin sin A`

d;

(15)

Y`m @;

A a j`; mi a C`m @` C mA3 @ IA` m C`` P`3@Pl IA33 sin` m  @I C os  Am @` C mA3@` mA3 p P @P`A3 sin` m@ =PA os`+m@ =PA
5

2 0

eim Y`` @#@;  A; '@;  AAd

a
(16)

p

2 0

eim Y`` @#@;  A; '@;  AAd


Такое преобразование можно рассматривать как вариант обратного преобразования Вигнера:

` W`m @

A a @l C m@PlA3 mA3 sin` m @ =PA os`+m @ =PA A3@l ` j`; `; @;  Ai a W`m @ Ae im j`; mi
m= `::`

H H ` W`mH @ Ae i(m m) j`; mH id

s

(17)

и может быть получено из него следующим образом:

2 0

j`; `; @;  Aieim d a

m= `::`

a P

` W`m @ Aj`; mi

(18)

Следует отметить, что в вырожденном случае идеальной сферы угол наклона фундаментальных мод максимума при



в разложении может быть формально Любая сколь угодно малая эллиптич-

любым, хотя нормирующий множитель в знаменателе и имеет два резких



ность снимает вырождение и наклоненные фундаментальные моды становятся неустойчивыми и начинают прецессировать вокруг оси возмущения, распадаясь на систему собственных функций новой системы. Абсолютная величина прецессии при этом несущественна, поскольку в пределе бесконечной добротности все резонаторы можно считать несферичными. Продолжая квантово-механическую аналогию, можно отметить, что в случае большого времени жизни атомных уровней, даже слабое внешнее поле снимает вырождение уровней из-за эффекта Штарка или Зеемана и, таким образом, дает естественную ось для определения и квантования собственных значений оператора проекции углового момента Можно показать, что угол наклона один оборот волна Эйлера

a Ѓ ros@

m=`A.

ei`'



Lz

.

не может быть произвольным. За

получит фазовый сдвиг равный

ется полярным углом в новой системе координат ( ,

, 

относительно исходной ( ,



' #)

повернутой на углы

`?

os

 ('

явля-

) системы координат). С другой поэтому мы получаем условие: (19)

стороны, при резонансе этот фазовый сдвиг должен быть равен фазовому сдвигу в экваториальной плоскости

Ѓm? и os  a Ѓ m : `

Этот простой анализ, демонстрирующий дискретизацию угла наклона



,

дает квазигеометрическую интерпретацию природы сферических гармоник

Y`m

, аналогичную квантованию проекции углового момента

Lz

в квантовой

механике (угловые сферические функции являются также собственными функциями оператора углового момента). Модель прецессирующей моды может показаться аналогичной векторной модели, предложенной еще Зоммерфельдом и широко используемой в квантовой теории углового момента [6], но это не так. В модели Зоммерфельда состояния

j`mi

представляются

6


вектором

`,

длиной

p

классическая модель (орбитальное движение электрона) хотя и обладает наглядностью, но требует постулирования квантования величины квазиклассических орбит, имеющих значение равное

`@`

C IA

прецессирующим вокруг оси

z

. Такая чисто

z

-проекций

углового момента. В описываемом здесь подходе рассматривается прецессия

гауссовым пучкам. Разница особенно очевидна для самой фундаментальной моды, которая в векторной модели сама описывается прецессирующим под углом моды легко получается в квазиклассическом методе эйконала, однако, оказывается, она следует и из точного разложения сферических функций. Рассмотрим, к чему приводит малая сплюснутость (вытянутость) вдоль оси

`" h

z

-проекции углового момента

. Этот подход существенно ближе к оптике и квазиклассическим

ros@

`= `@`

p

C IAA

вектором

`.

Модель прецессии фундаментальной

щей от времени с учетом прецессии можно записать в виде:

? ( P

z

. Если эллиптичность сфероида мала (угловой сдвиг на один оборот

=m,

то разложение для скалярной сферической функции, завися-

e i!`` t
где

2 0

eim Y`` @#@

C t;  A; '@ C t;  Ad

; !``

(20)

невозмущенную собственную частоту фундаментально циркулярной моды. Заменой переменных мы сразу получаем выражение для частотного расщепления

a?

!=P`

круговая фазовая скорость прецессии и

означает

e i(!`` +m
)t

2 0

eim Y`` @#@;  A; '@;  AAd

G e i

(!`` +m
)t Y`m :

(21)

Оценку частотного расщепления мод сфероида проще всего сделать в геометрическом приближении. При этом подходе требуется всего лишь вычислить периметр наклоненного эллипса. Если эксцентриситет сфероида равен

"

, то наклоненный под углом



нутом сфероиде будет иметь ту же большую полуось

a ros@m= `@` C IAA
a

p

эллипс в сплюс-

и эксцентриситет

"H
с точностью до второго по триситета

a

s

"2

@I os2  A I "2 os2 

Периметр эллипса, как известно, не имеет аналитического выражения, но

"

$ I,

при

` m

"H

( `, "H
LH

порядка (даже для больших значений эксцен мало) может быть записана в виде:

a Pa I "R



H2



;

(22)

и, следовательно,

?!o 9 Pa LH a "2 sin2  ! Pa R@I "2 os2  A
7

(23)


"H

a " sin

Аналогичным образом, в вытянутом эллипсоиде (



aH

)

a

a=

p

I "2 sin

2

,

?!p 9 "2 sin ! R

2

(24)

Расчет методом теории возмущений в первом приближении, сделанный в работе [7] (принцип изложен в Лекции 2) приводит к результату:

?! 9 @`2 m2 A ! P`@` C IA "2 b a a 2 1=3 9 P @ba A
Хотя это выражение с точностью до

(25)

"2

и совпадает с предыдущими выра-

жениями, но точность обоих приближения недостаточна для оценки расщепления в перспективных резонаторах с большим эксцентриситетом, которые должны обладать прореженным спектром. Общее рассмотрение сфероидальных резонаторов с более точными приближениями будет проведено далее.

3

Радиальные функции, аналогия с квантовой механикой и ВКБ

Радиальная часть уравнения для скалярного потенциала Дебая вид:

r

имеет

d 2d r r r2 dr dr

I





2 l@l rC IA r C k0 n@rA2 r a H 2

(26)

Радиальная часть уравнения Шредингера после отделения угловой части выглядит следующим образом:

d 2 dїr r r2 dr dr
2 k0 n 2 @ r

I





l@l rC IA їr C PM E V @rA їr a H 2 "2 h
, появляется полная аналогия [8]. При этом его энергия,

(27)

Если переписать последнее слагаемое в первом из уравнений в виде

импульс фотона,

2 2 A a k0 C k0 n2@rA I E a h! "

M

a

h! c2

,

hk "0

V @r V ? @r

h2 2 A a P"M k0 @I n2@rAA;

(28)

а эффективный потенциал, учитывающий центробежный потенциал

Aa

h " 2 k2 k2 n2@r PM 0 0

C IA ! a " 2 h A C r2 PM
l@l
8

?

? 2 k 0 k ?2 :

(29)


(в квантовой механике используется локальный импульс Здесь введено обозначенеи

k?

, которое соответствует локальному импульсу

p

квантовой механике:

a hk "

?

в

k?2 @r
Величина

Aa

2 k0 n 2 @ r

A l@l rC IA a k2 l@l rC IA 2 2
k?

(30)

положительна, то фотон может свободно распространяться, если же она отрицательна, то мы находимся в классически-запрещенной зоне, в которой локальное волновое число затухает. Заменой чисто мнимое и поле экспоненциально

h2 ?2 2M k @r

A

аналогична кинетической энергии. Если эта величина

r

ной (в сферических координатах такая замена означает переход от функций Бесселя к функциям Риккати-Бесселя), уравнение сводится к простейшему одномерному уравнению Шредингера для движения частицы при наличии потенциала:

~ a ї@rA=r

можно избавиться в уравнении от первой производ-

~ h2 2 ї@ ~ ~ (31) P"M d dr2rA C V ? @rAї@rA a E ї@rA; То же самое уравнение получается и для радиальной функции в цилин~p дрических координатах заменой ї@A a ї@A= . При этом в центробеж2 ный потенциал в знаменатель вместо `@` C IA входит выражение m I=R.
n
Построим график при

Как видно из рисунка, потенциал имеет вид классической потенциальной ямы с четырьмя областями. Границы областей находятся из решения уравнений

r < a и n@ r k?2 @r

AaI
:

V ? @r

A

при

r>a

для сферического резонатора, в котором h2 . в единицах

2M

n@ r

Aa

AaH

k0 nrmin a l@l C IA p k0 rmax a l@l C IA
В областях I (

p

(32)

r < rmin

) и III (

затухает. В области потенциальной ямы I I (

a < r < rmax ) поле экспоненциально rmin < r < a) фотон распроr > rmax
)

страняется между поверхностью резонатора и границей центробежного потенциала, которая является каустикой. Наконец, в области IV ( потенциальный барьер области I I I. Если длина волны много меньше чем характерный масштаб изменения потенциала, (за исключением областей разрыва): фотон распространяется как убегающая волна, протуннелировавшая через

k0

? ) VI? dV ; dr
? eЃi k dx

(33)

то можно решение уравнения выписать, согласно методу ВКБ в виде:

~ ї@rA a



(34)

9


Рис. 2: Эффективный потенциал в сферическом диэлектрическом микрорезонаторе

10


Рис. 3: Поведение фотона в эффективном потенциале диэлектрического резонатора

11


Граничные условия на гладких границах и непрерывность функции

~

при переходе других границ областей позволяют сшить решения в разных областях, а применение условий квантования Бора-Зоммерфельда позволяет определить собственные частоты.
Задание 6.2 Найдите приближение для функций Риккати-Бесселя первого и второго рода в ВКБ приближении, постройте графики и сравните с самими функциями.

4

Метод ВКБ для нахождения собственных значений в произвольных телах вращения

Для нахождения собственных частот аксиально симметричных резонаторов в работе [9] был предложен метод, основанный на квазиклассическом квантовании поперечного волнового числа



. Аналогичный метод рассмотрен в

работе [1]. В адиабатическом приближении, когда граница резонатора медленно по сравнению с длиной волны меняется вдоль по оси

zи

( k0

w @ z

A
,

распределение поля можно приблизительно представить в виде:

где

 @z

Aa

q

їG

eЃi (z)dzЃim R@A;



(35)

2 k2 ymq =2 @z A, ymq w

собственные решения характеристиче-

ского уравнения для бесконечного цилиндра (см. Лекцию 4), а радиальные решения, выражающиеся через функции Бесселя внутри и функции Ханкеля

Тогда в соответствии с условием квантования Бора-Зоммерфельда:

H (2) @xmp =w
2 kmpq

A

снаружи.

R@=w @z AA, J @ymp =w A

I P
Здесь в ноль.

s

 @z Adz

aP

z2 4

z

1



2 ymq 2 @z w

51=

2

A

dz

a P@p C I A P

(36)

z1 и z2

точки поворота, когда выражение под корнем обращается

Рассмотрим, как этот метод работает для идеальной сферы в случае простейших нулевых граничных условий (вытекающего поля снаружи нет). В этом случае точное решение известно

tmq , w @z A a sin a z=z1 и 2 2 2 @yq ymq A=ymq
z1 4

a2



z 2 , z1;2

aЃ

q

kmpq a a y q 2 2 a2 ymq =kmpq . Делая

a

tm+1=2 q

,а

ymq 2

a

замену переменных

раскладывая интеграл в ряд по малому параметру , получаем:

a

z

1

2 kmpq



51=2 2 ymq dz a2 z 2

a

ymq

os2 =2 I C os2 3 7 5 9 C V STR C SU C P IHPR
p

IC

2

=2

p

d ::: :
!
(37)

12


Оборачивая ряд, из условия квантования Бора-Зоммерфельда находим уравнение для искомого функций Бесселя [10]:

y mq

a

kmpq a

, используя разложение для корней

ymq

a

tmq

a


m 1=3 Q 2 1=3 m q C PH q m P P 4 RUWq RHq 4 m 5=3 q

3 C q C IH m IRHH P



1
(38)

SHRHHH
3

P

можно получить:

y;q

a C



4

Q2 C PH q 5P 3 C IH @Pp C IA2 q IRHH C QP P
q P
1=



1=3 1



p C q @PIPC IA P



2=3

Сравнивая это выражение с истинным рядом для из (38) формальной заменой

m

том члене и приходим к выводу, что метод Сумецкого дает относительную точность собственных частот порядка тику: Применяя этот метод к сфероиду с полуосями

3 a m C I=P,
O@ 5=3

t q

, получающегося

видим отличие в четвер-

A

.

a и b,

получим ассимпто-

ka

a

q

1=

P

3

Q C @Pp C IA@a bA C PH Pb

2 1=3 C O@ 2=3 A; q

P

повидимому, верную также только до четвертого члена разложения.

5

Геометрическое приближение волновой оптики. Уравнения эйконала.

Аналогом квазиклассического приложения в волновой оптике является приближение геометрической оптики, которое математически выражается в методе эйконала. Математические основания лучевой интерпретации волновых уравнений оптики были заложены Гамильтоном [11] и Дебаем [12] и получили дальнейшее развитие уже в наше время [13, 14, 4, 15]. Такое асимптотическое приближение позволяет не только весьма просто описывать распространение излучения в неоднородных средах, но и решать различные граничные задачи, включая дифракционное рассеяние [16] и расчет собственных значений и полей в резонаторах [17, 18], что представляет особенный интерес для анализа микрорезонаторов. Лучевой приближение обычно рассматривается как асимптотическое решение скалярного волнового уравнения Гельмгольца, к которому, как было показано выше, непосредственно сводится векторное уравнение в важнейших координатных системах (декартова, цилиндрическая, сферическая).

13


Асимптотическое решение волнового уравнения в приближении медленного в масштабе длины волны изменения показателя преломления и граничных условий можно искать в виде плоских волн с медленно меняющимися в пространстве амплитудами и фазами. Удобно, как предложил Дебай [12], воспользоваться разложением поля по обратным степеням волнового числа

k0

[15]:

ї@rA a

I
m=0

Am @ r A @ik0Am

eik0 S(r) : k0

(39)

После подстановки этого ряда в уравнение Гельмгольца и приравнивания нулю коэффициентов при одинаковых степенях система связанных уравнений: получается бесконечная

Функцию ческого

S @rA принято вслед ! изображение), а Am

@rS A2 a n2 P@rA0rS A C A0 ?S a H P@rAmrS A C Am ?S a ?A

(40) (41)

m 1

(42)

за X.Брунсом называть эйконалом (от грепервое из уравнений системы, описываю-

щее эту функцию, уравнением эйконала. Эйконал эффициентов

S

имеет размерность

длины и имеет смысл оптического пути. Уравнения для амплитудных коназывают уравнениями переноса нулевого, первого и т.д. порядков. Полученная система проще исходного уравнения Гельмгольца, поскольку состоит из уравнений в частных производных первого порядка, которые с помощью метода характеристик сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям [15]. Формально полученная система уравнений позволяет получить решение уравнения Гельмгольца с любой точностью, хотя сходимость решения в общем виде пока не доказана. Однако часто ограничиваются лишь рассмотрением уравнения эйконала и уравнения переноса нулевого порядка. Для целей анализа мод шепчущей галереи этого приближения также вполне достаточно. В системах координат, в которых векторное волновое уравнение не сводится к скалярному, приближение эйконала, тем не менее, для мод типа шепчущей галереи работает достаточно хорошо для тех компонент электрического или магнитного поля, которые являются доминирующими для данного типа колебаний, и в основном определяют собственные частоты резонатора. Так, для колебаний, близких к TE-типу это меридиональная электрическая и нормальная к поверхности магнитная компонента, и наоборот для колебаний, близких к TM. Можно, однако, действуя более последовательно, ввести разложения Дебая непосредственно для электрического и магнитного полей [13]:

E@rA a

I
m=0

E m @ rA @ik0 Am
14

eik0 S(r)


H@rA a

I
m=0

Hm @rA e @ik Am
0

ik0 S (r)

:

(43)

После подстановки этих рядов в уравнения Максвелла получаем [13, 15]:

@rS A2 a
r r r r
случаях совпадают.

S S S S

? ? ? ?

H0 C E0 a H Hm C Em a r ? Hm 1 E0 H0 a H Em Hm a r ? Em 1
S



(44)

(45)

Легко видеть, что уравнения для эйконала

в векторном и скалярном

Список литературы
[1] X. S. Y. V. S. Ilchenko, M. L. Goro detsky and L. Maleki, Opt. Lett. 26, 256 (2001). [2] S. M. S. D. K. Armani, T. J. Kipp enb erg and K. J. Vahala, Nature 421, 925 (2003). [3] V.S. Ilchenko, A.A. Savchenkov, A.B. Matsko, and L. Maleki, Phys. Rev. Lett. 92, 043903 (2004). [4] В.М. Бабич, В.С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, М.: Наука, 1972.

[5] Г. Вальтер, УФН 36, 777 (1996). [6] . Зар, Теория углового момента, М., Мир, 1993. [7] H.M. Lai, P.T. Leung, K. Young, P.W. Barb er, and S.C. Hill, Phys. Rev. A 41, 5187 (1990). [8] B. R. Johnson, J. Opt. So c. Am. A 10, 343 (1993). [9] M. Sumetsky, Opt. Lett. 29, 8 (2004). [10] М. Абрамовиц и И. Стиган, Москва, 1979. [11] W. R. Hamilton, 1933, 1940. [12] P. Debye, Ann. Phys. 35, 277 (1911). [13] С.М.Рытов, ДАН СССР 18, 263 (1938).
Mathematical papers, Справочник по специальным функциям

с формулами, графиками и математическими таблицами,

Наука,

Cambridge Univ. Press, 2 vols.,

15


[14] R. K. Luneburg, Mathematical Theory of Optics, Berkley: Univ. of California Press, 1964. [15] Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов,
сред, М.: Наука, 1980. Геометрическая оптика неоднородных

[16] B. S. J.B. Keller, R.M. Lewis, Comm. Pure Appl. Math. 9, 207 (1956). [17] J.B. Keller, S.I. Rubinow, Ann. Phys. 9, 24 (1960). [18] В.П. Быков, Электроника больших мощностей 4, 66 (1965).

16