Фюъѓьхэђ тчџђ шч ъ§јр яюшёъютющ ьрјшэћ. Рф№хё ю№шушэрыќэюую фюъѓьхэђр : http://hea-www.harvard.edu/AstroStat/Stat310_fMMIV/yaming_19apr2005.pdf
Фрђр шчьхэхэшџ: Mon Jun 27 08:23:52 2005
Фрђр шэфхъёш№ютрэшџ: Tue Oct 2 05:58:56 2012
Ъюфш№ютър:
Яюшёъютћх ёыютр: mercury program

Statistical Modeling of Sunspot Cycles

Yaming Yu Department of Statistics, Harvard University

sunspot numbers

April 19, 2005

Sunspots
What are they?

sunspot numbers

Sunspots appear as dark spots on the surface of the Sun. Temperature lower than the surrounding photosphere.
Strong magnetic fields.

They typically last several days; some may live for weeks.
The longest directly observed index of solar activity

1610: Galileo first viewed sunspots with his new telescope. 1749: Daily observations were started at the Zurich Observatory. 1849: Continuous (daily) observations were obtained with the addition of
more observatories.

April 19, 2005

Sunspot Number (SSN) Data
Sunspots occur in groups. Sunspot No. = No. of individual spots + 10 Center in Belgium. No. of groups
Ё ЁЁ

sunspot numbers

The International Sunspot Number: compiled by the Sunspot Index Data The NOAA sunspot number: compiled by the US National Oceanic and
Atmospheric Administration.

Top: monthly averages of the International Sunspot Numbers. Middle: local smoother fit to sqrt(SSN). Bottom: residuals.

April 19, 2005

sunspot numbers
250

З З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

sunspot numbers

0

50

100

150

200

З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

sqrt sunspot numbers

6

0

5

10

15

residuals from local smoother

З З З З З З З З З З З З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З З З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З З З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З З З З З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

З

З

sunspot numbers

-4

-2

0

2

4

April 19, 2005

Sunspot Cycles
Features of the sunspot number data A lot of noise. Quasi-periodicity: average cycle length is 11 years (Wolf 1852). Asymmetry: rise to maximum is faster than fall to minimum (Waldmeier 1935, 1939). Waldmeier effect: stronger cycles tend to take less time to rise to maximum amplitude. Long-term (89 cycles) periodicity . . .

How to quantify the statistical significance?

sunspot numbers

April 19, 2005

Statistical Modeling of Sunspot Cycles
Physical models of the solar dynamo are unfortunately lacking/flawed. But we can build statistical models.

Cycle lengths vary; purely periodic models don't work. A Poisson model with a latent autoregressive process

sunspot numbers

Yt t
Є ЄЄ ИЂ ИИЂЂ

ind
І

Pois e0
Ї

1 t 2 cos 2t T t0
Ј ЈЈ Ј ЈЈ Љ

t

;

Ј ЈЈ

Ј ЈЈ

Ѕ ЅЅ

t
ИЂ

t

ЄЄ Є

N t
И ИИ

1

2

І ІІ

Ѕ Ѕ

Three posterior realizations

Left: data with fitted curve Right: residuals

Є ЄЄ

Є ЄЄ

Ѕ ЅЅ

April 19, 2005

250

З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

200

З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

sunspot numbers

200

150

100

residuals

50

250

0

-100

0

100

З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З З З З З З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

200

З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З З З З З З З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З З З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

sunspot numbers

200

150

100

residuals

50

250

0

З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

-100

0

100

З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З З З З ЗЗ З З З З З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

200

sunspot numbers

150

residuals

100

50

sunspot numbers

0

-50

0

50

100

150

200

З

April 19, 2005

Modeling Each Cycle by Simple Functions
PSfrag replacements Notation for cycle i

t0 : start of cycle i
Љ

i i

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

sunspot numbers

tmax : time at cycle maximum t0
Љ

i1

: end of cycle i

Ј ЈЈ Љ

t0

i

tmax
Љ

i

t0

i1

Ј ЈЈ Љ

2040

Љ ЉЉ

2042

2044 year

2046

2048

2050

April 19, 2005

Rt : "average solar activity level" at time t For the rising phase t tmax
Љ ЉЉ

sunspot numbers

i

For the declining phase t Rt
i1 i
Ј ЈЈ Љ

t0 ; cycle length = t0 i time to rise to maximum = t max amplitude = ci .
ЉЉ Љ ЉЉ

Rt

ci 1

i tmax i tmax
ЉЉ Љ

t
i t0
Љ ЉЉ

1

;

tmax ci 1
ЉЉ

i

i t tmax i1 i t0 tmax
Љ ЉЉ Ј Љ ЉЉ Љ

2

t0 ;
Љ

i

1 2
Є ЄЄ

1 : the same shape parameters for all cycles.

April 19, 2005

A Nonlinear Regression Model
Model sqrt of sunspot numbers to stablize the variance:

sunspot numbers

Yt

ind
І ІІ

N 0
И

1 t

Rt 2
Є ЄЄ

" ""

"

Cycle-specific parameters

!

Ѕ

T0 C

t0

i

i

01
Є ЄЄ Є ЄЄ

k;
Ѕ ЅЅ

Љ ЉЉ

Tmax

Total number of available cycles k

И И ИИ

tmax i
Љ ЉЉ

i

ЄЄ

Є ЄЄ

Є ЄЄ

0

k

1;
Ѕ ЅЅ

Є ЄЄ

Є ЄЄ

ci i
Є ЄЄ

И ИИ

0

k

1

Є

Є

Ѕ ЅЅ

24 .

April 19, 2005

Priors
flat on t0
i

i

1

k

1 and Tmax subject to t0
i

Љ

Є

sunspot numbers

Є

flat but with extra constraint on t0 standard prior on C
ЄЄ Є ЄЄ Ѕ ЅЅ И ИИ

Є ЄЄ

tmax
Љ

i

t0

i1

; 1 2 ;
ЄЄ Ѕ ЅЅ И ИИ

Ј ЈЈ Љ Љ

0 1 , and 2 .

Љ ЉЉ

0

t0 and
Љ ЉЉ

k

Љ

Є ЄЄ

April 19, 2005

Model-fitting Procedure
Gibbs sampler with MH steps. Lots of local modes in simulations.
Є Є ЄЄ Є ЄЄ И ИИ Ѕ

normal-inverse 2 . So
Є ЄЄ Є И ИИ

Note: Given T0 Tmax and , posterior of C 2 follows standard update T0 Tmax one coordinate at a time according to its conditional
ЅЅ Є ЄЄ

sunspot numbers

density, but with C 2 integrated out;
И ИИ Ѕ ЅЅ Є ЄЄ Є ЄЄ Є ЄЄ Є И Ѕ И ИИ Ѕ ЅЅ

draw C 2 given T0 Tmax using OLS routines.

April 19, 2005

ents
MCMC chain 1
start pt of cycle 1 start pt of cycle 1

all 3 chains

85

80

75

0

200

400 iteration

600

800

1000

75

80

85

0

200

400 iteration

600

800

1000

175

max pt of cycle 1

max pt of cycle 1

165

155

145

0

200

400 iteration

600

800

1000

145

155

165

175

0

200

400 iteration

600

800

1000

2.4

1

1
0 200 400 iteration 600 800 1000

2.0

1.6

1.2

1.2

1.6

2.0

2.4

0

200

400 iteration

600

800

1000

1.4

2

1.2

2
0 200 400 iteration 600 800 1000

1.0

1.0

1.2

1.4

0

200

400 iteration

600

800

1000

sunspot numbers

April 19, 2005

Posterior Inference
Fitted model and residuals

Top: sqrt(SSN) with fitted values.
Vertical lines represent one posterior draw of T0 Tmax .
Є И ЅЅ

sunspot numbers

Middle: residuals vs. time (year). Bottom: residuals vs. fitted values.

April 19, 2005

З З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

sqrt sunspot numbers

0

5

10

15

З З З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З З З З З З З З З З З З З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З З З З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗЗ ЗЗ З З З З З З З ЗЗ З З З З З З З З З З З З З З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З З З ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З З З З З З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З З З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З 1750 1800 1850 year 1900 1950 2000

residuals

-4

-2

0

2

4

З З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З З З З З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З З З З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З З З З З ЗЗ З З З З З З З З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З З З ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З З З З З ЗЗ З З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗ З З ЗЗ З З З З З З З З З ЗЗ З ЗЗ З З З З З 2 4 6 8 fitted values 10

4

abs(residuals)

3

З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З З З З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗ З З

ЗЗ З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ

З

2

З З ЗЗ З ЗЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З 14

0

1

12

sunspot numbers

April 19, 2005

It's a fairly good fit. Much better than the local smoother. The fit is better for recent data (year the past. The 45 degree streak is an artifact caused by zero SSN observations.

sunspot numbers

1850 ) than for the less reliable data in

April 19, 2005

Posterior Inference: Shape Parameters 1 2
# ##

mean

PSfrag replacements

s.e. 0.10 0.05

2.5% 1.29 1.18

97.5% 1.66 1.36

1 2 Pr 2
И ИИ

1.46 1.28

1

0Y
Ђ ЂЂ

0 94

0 100

1.2

1.4

1

1.6

1.8

0

200 400 600

300

300

2

100

1.30

1.15

1.25

2

1.35

1.15

0

sunspot numbers

Ѕ ЅЅ

shape parameters

-0.6

-0.4

2

-0.2

1

0.0

0.2

З ЗЗЗ З З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗ З З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ З З З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗ З З ЗЗЗ ЗЗ З ЗЗ З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗ З З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З З ЗЗ З ЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗ З З З З З ЗЗ З З З ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗ З ЗЗ З ЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З ЗЗ ЗЗ ЗЗ З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ З З ЗЗ З З З ЗЗ З З З З ЗЗЗЗ З З ЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗЗЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З З ЗЗ ЗЗЗ ЗЗ ЗЗЗЗ ЗЗЗЗ З З З ЗЗЗЗ ЗЗ ЗЗ З З З З 1.2 1.4

1

1.6

З ЗЗЗ 1.8

April 19, 2005

Cycle Length Patterns
cycle length

years

9 10

12

0

5

10 cycle #

15

20

time to fall - time to rise
2468 -2

years

0

5

10 cycle #

15

20

sunspot numbers

April 19, 2005

Average cycle length is around 11 years ( 's mark posterior means) Error bars are small (Vertical bars represent the 50% marginal credible intervals) The cycle length has no apparent upward or downward trend. With few exceptions, cycles take more time to decline than to rise. Only about half of Cycle # 0 is observed, hence the large error bars.
Ё

sunspot numbers

April 19, 2005

Cycle Amplitude Patterns
cycle amplitude
10 12 6
З З З З ЗЗ З 0 5 З 10 cycle # 15 20 З З З З З З З З З З З З З З ЗЗ

amplitude

8

6

0

2

4

-0.1

0.0

0.1 slope

0.2

0.3

0.4

amplitude of current cycle

10 12

З З З 6 З З

З З ЗЗ З ЗЗ З З З З 8 10 З

З З З З

6

8

12

0.0

1.0

2.0

З

0.0

0.5 slope

1.0

amplitude of previous cycle

sunspot numbers

April 19, 2005

Evaluating Statistical Significance
Wrong procedure: simple linear regression using the posterior mean as the true amplitudes. Ideally we should fit a hierarchical model. A two-stage simulation procedure:

sunspot numbers

Draw posterior samples of the cycle amplitudes (done). For each sample, fit the regression model of amplitude vs. cycle #,
and then draw from the posterior of the regression coefficient. Because error bars are small, results (histogram) are nearly identical to those of simple linear regression (solid curve).

April 19, 2005

Relationship Between Cycle Length and Amplitude
a posterior sample
1.2
З З

12

1.0

З З З

12

З З З

З З З

З

З З З З З З З З З З З З З З З З

0.8

10

amplitude

8

З З З

З З З

0.6

З

amplitude 6 8

З

З

З З

З

З

З З 9 10 11 cycle length 12 13

0.2

6

0.4

З

10

З

0.0

З -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 slope -0.5 0.0 0.5 9 10 11 cycle length 12 13

a posterior sample
1.5
З З

12

З З З З З З

12

З З

З

З З З

З З З З З З З З З З З З З ЗЗ З

10

1.0

amplitude

З

8

З З З З З

З З

amplitude 0.5 6 8

З ЗЗ

З

6

З

10

З

0.0

З 2 3 4 time to rise 5 6

З -2.0 -1.5 -1.0 slope -0.5 0.0 2 3 4 5 6 7

time to rise

sunspot numbers

April 19, 2005

Row 1: amplitude vs. cycle length

sunspot numbers

Left: Scatterplot of the posterior means.
Vertical (horizontal) bars are 50% credible intervals for cycle amplitude (length).

Middle: Statistical significance of the regression slope.
Little difference between simple linear regression and two-stage simulation.

Right: A posterior sample and its regression line.
Row 2: amplitude vs. time to rise to cycle maximum

Middle: the error bars are large enough to make a (very small) difference.

April 19, 2005

Forecasting Problems
Predict the rest of a partially observed cycle Predict the length and amplitude of an unobserved future cycle

The amplitude-length (amplitude-period) relations: Length of the previous cycle is a fairly good predictor of the amplitude of the current cycle. Amplitude of the previous cycle has little correlation with the length of the current cycle.

sunspot numbers

April 19, 2005

prediction
amplitude of current cycle 10 12
З З ЗЗ З ЗЗ З З З З ЗЗ З З З З З 9 10 11 12 13 З З З З З З З З З З З З 11 12 13 З

2

4

residuals

0

8

З З З

З

З ЗЗ З

ЗЗ З

6

-2

З

З

9

10

length of previous cycle

length of previous cycle

prediction
length of current cycle
З З З З З З З ЗЗ ЗЗ З З З З З З З 6 8 10 12 З З З З З З З

З З З

residuals

12

9 10

З 6 8 10 12

amplitude of previous cycle

-2

З ЗЗ ЗЗ

З

З

З

З З З

З

З З З

0

1

З

З

2

amplitude of previous cycle

sunspot numbers

April 19, 2005

Work in Progress
Data quality problems. Incorporating additional information, e.g., spatial location of sunspots, magnetic polarity information; joint modeling with 10.7cm flux, etc. A more elaborate model to link cycle length, time to rise, and amplitude through hyperparameters. Allowing the start of cycle i

sunspot numbers

1 to be slightly different from the end of cycle i .

Comparison with similar models in the literature. Better algorithms. More efficient computer code.

" ""

$ $$ $ $$ $ %$$

April 19, 2005