Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2015/Prikladnyje-2015.pdf Дата изменения: Wed Feb 11 13:17:11 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:37:38 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 87

Программа курса "Прикладные проблемы геометрии"
лектор Мищенко А.С. весенний семестр, 2015 г., 5-й курс

1. Исчисление на гладких многообразиях. (a) Конфигурационное пространство. Примеры нетривиальных конфигурационных пространств: плоский маятник, пространственный маятник, двузвенный плоский маятник, твердое тело с закрепленной точкой. (b) Фазовое пространство, примеры. (c) Касательное расслоение. (d) Векторные поля и их обобщения - распределения плоскостей. (e) Коммутирующие векторные поля и группы диффеоморфизмов (f ) Градиентные векторные поля. (g) Кокасательное расслоение. (h) Дифференциальные формы. (i) Определение симплектического пространства M , dim M = 2n. (j) Симплектическая форма на симплектическом пространстве, ее свойства. (k) Функция Гамильтона, система уравнений Гамильтона. (l) Косой градиент функции, скобка Пуассона 2. Теория индекса эллиптических операторов. (a) Понятие дифференциального оператора на многообразии, главный символ оператора (b) Псевдодифференциальные операторы (ПДО) на многообразиях (c) Соболевские нормы и ограниченность ПДО в соболевских пространствах (d) Теорема вложения Соболева (о компактности вложения соболевских пространств) (e) Компактные и фредгольмовы операторы (f ) Индекс фредгольмова оператора и его свойства (g) Альтернатива Фредгольма 1


3. Теория индекса в терминах векторных расслоений и характеристических классов (a) Обобщение эллиптической задачи на случай векторных расслоений (b) Трактовка эллиптичности в терминах векторных расслоений (c) Гомологическая формула Атья-Зингера для вычисления индекса эллиптического оператора (d) Локально тривиальные расслоения (e) Функции склейки, структурная группа (f ) Главные расслоения (g) Классифицирующие пространства (h) Характеристические классы Чженя, Понтрягина (i) Ковариантный градиент, алгеброиды Ли (j) Формулы Чженя-Вейля

Список литературы
[1] В.И. Арнольд, В.В. Козлов, and А.И. Нейштадт. Математические аспекты классической и небесной механики. In , number 3 in Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Динамические системы, pages 9 43. ВИНИТИ, 1985.

Итоги науки и техники

[2] В.В. Трофимов and А.Т. Фоменко. 1995.

Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Факториал, М., Тр. ММО Мищенко. Векторные расслоения и их приложения. Расслоенные пространства и их приложения

[3] Б. В. Федосов. Аналитические формулы индекса эллиптических операторов. , 30:159241, 1974. [4] А. С. 1984. Наука, М.,

[5] Р. Том. Некоторые свойства "в целом"дифференцируемых многообразий. In , pages 293 351. ИЛ, М., 1958. [6] Р. Пале. 1970.

Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. Дифференциальная топология

"Мир Москва,

[7] М. Хирш.

. Мир, М., 1979.

[8] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators: I. , 87(3):484530, 1968.

of Mathematics, Second Series, of Mathematics, Second Series,

Annals Annals

[9] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators: II. , 87(3):531545, 1968. 2


[10] M. F. Atiyah and I. M. Singer. The index of elliptic operators: III. , 87(3):546604, 1968.

of Mathematics, Second Series,

Annals

[11] M.F. Atiyah.

Global theory of elliptic operators. Intern. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokyo 1969). Tokyo, Univ. Tokyo Press, pages 2130, 1970.

[12] Luke, G. and Mishchenko, A. S., Vector Bundles and Their Applications, [13] [14]

Kluwer Academic Publishers, Dordrrecht, Boston, London, 1998 Hatcher, A., Vector bundles and K-theory, http://www.math.cornel l.edu/ hatcher/#VBKT, 2009 Милнор, Дж., Сташеф, Дж.Д., Характеристические классы, Мир, 1979

3