Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/mypapers/novikov60ru.pdf Дата изменения: Sat Jan 14 11:58:45 2006 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:02:51 2016 Кодировка: Поисковые слова: m 13

.

.

,

.

.

,

. . , .

.

, , . , , -

Rn ,
(

n). , ,

Rn .
(. , (m + n), , 1.3).

.

, ,

nn

.

,

Z
m ? n.
( . 6, 9]).

P

Pn m T
k

. . .

, .

,

,

T
,

m,

Z

P

,

Tm

Z
,

P

ZP =T

k

ZP

ZP ,

,

-

;

T n,
( 96-01-01404).

(

)

-

P,

P n.

1


m ? n, Pn m ? n,

(

,

)

, ..

Z
Pn
(

P

ZP .
\toric manifolds")

T m?n T m
. 7], 2.7) , , , -

,

Pn
.

2] (C )m .

.

.

. ,

,

D R
(C )m ,

(C )m , (R+ )m?n -

C m.

U

(P n ) ,

U (P n ) C m ( . U (P n )
. ,

(C )m?n , ,

U (P n ) Tm
7], ,

P n. Tm
1.6). 2.4)

U (P n )

(.

ZP = T
.

,

C m.
P n=
,

m

Cm ( .
P n.
,

ie
,
m

ZP ! U (P n ) ! U (P n )=R Z
(Rk )m ( , . ).
P

R ' (R+ )m?n

(Rk )m .

m,

C m ' (R2 )
U
(P n ) (R+ )m ,

,

, (Rk )m (Rk )m

Pn

2.7).

U O

(P n )=R (k)m (

(R+ )m?n

R+

Rk .

m
-

O(k)m n-

Pn k=1
,

(Rk )m . S O(2)m

m

U (P n ) (k ? 1)m + n. O
(2)m .

R (R+ )m ,

k=2
| ).

P n, P
n.

P

n.

Z

n

k=1

Tm |
(Z=2)m, ( , (Z=2)n -

2n

.

, 2

| ,

Mn Pn

k = 1,


k = 4,

H.

R

4

7]. . ( ,

k = 2,

),

)

.

k v1 ; : : : ; vm ] ki (k (P )) = dimk Tor?i k v1 ;::: ;vm ] (k (P ); k )

(

{ ,

(. 16].

).

k(P ) (

k|

i > 0.
, .

,

1.1). ? Tork iv ;::: ;vm ] (k(P ); k),
1

-

Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k)
1

k-

,

ZP
( ., , , 15]). Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k),
1

ZP .
{ .

E
2

2

E2 .

, , { ).

E

(.

ZP
,

4.6).

,

Pn P. P

-

Z

P

P n.
( . -

-

ZP
.

f,
n.

P

, . , "

C m,

U

(P n ),

ZP ' U (P n )
. ,

10, . III] . .

\

,

4].

3


1.
1.1. .

P h-

n|

f?1 = 1. (h0 ; : : : ; hn ), hi h0 tn + : : : + hn?1 t + hn = (t ? 1)n + f0 (t ? 1)n?1 + : : : + fn?1: , hk =
k X

fi | (f0 ; : : : ; fn?1 ) f-

P f-

n

P n.

(i + 1), 0 6 i 6 n ? 1.

(1) (2) . ,

( F = (F1 ; : : : ; Fm ) | k v1 ; : : : ; vm ], vi

Pn
{

?i (?1)k?i n ? i fi?1 : k i=0 k,
). , , Pn | , m = f0 .

,
-

k v1 ; : : : ; vm ]=I ,

1.1.

Fi .

k(P ) I = (vi : : : vis j i1 < i2 < : : : < is ; Fi \ Fi \
1 1 2

P

\ Fis = ?) :
-

( .,

, 16])

fv1 ; : : : ; vm g.
-

.

K|

k v1 ; : : : ; vm ]=I , I = (vi : : : vis j i1 < i2 < : : : < is ; fvi ; : : : ; vis g , vi k v1 ; : : : ; vm ]
1 1

1.2.

.

k v1 ; : : : ; vm ], K(

vi k(K ))

-

.

;

K) : k(P ) k(K )
(

)

1.3.

(P n ) (P n ) =

fx0 2 (Rn ) : hx0 ; xi 6 1
(P n ) 4

(Rn )

P n Rn x 2 Rn g:
(P n ) (n ? 1)-

Pn

-

,

Pn | (P n ) i + 1.

( . 3]),

i

,

,

.


S n?1 ,

,

KP . : k(P ) = k(KP ). k|
Krull R). ,R| ,
i+1

1.1 . .

1.2

, ,

R(
i+1

k

n|

( 1; : : : ; k)

(
1

;::: ; k

,

( 1; : : : ; k ) ,

,

R R=( 1 ; : : : ; i ) R=( 1 ; : : : ; i ) ). k 1 ; : : : ; k ]. R R
,

R
,

-

i

-

R
,

, 12, 15]).

n = Krull R (

{

R

( 1; : : : ; n) Krull (R=( 1 ; : : : ; n )) = 0. { . ( . 16]). ,

,

R

( 1; : : : ; n) ). ,

k

( ., -

( 1; : : : ; n)

k 1 ; : : : ; n ].

R R

1.4.
.

{

Pn
, ,

k(P n )
, .

-

( (n ? 1)-

)

n, .

,

Rn ,
Pn
(

-

.

S n?1 .

,

i

KP , KP

Pn

KP i + 1).

1.5.
Rn = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn j xi > 0g; +
n
, . , (n ? 1)n?1 .

. . | ,\

-

nn-

,

(n ? 1)| 5


(n ? 1)-

K0 ( 1 ; 2 ; : : : ; k ), i 2 K , , K 0, F (k ? 1), K. PK
, .

n ? 1 K0 |
1 2

".

7].
k.

:::

K, K0 K n?1 ,
=
0

K0 k.
)
1

.

K|

2K

Pn (

, "

F| " fF g 2K

: : : k. PK | P n.
-

1.2. .

,

,

)

7],
1

P( : : : S 1 | mTik ;:::i
1

K n?1).

Tm = S Pn

(

.

,

Z

P

BT P .

, -

, F = (F1 ; : : : ; Fm ) |

P

n

Z,
1

Zm ( . .

1.6.
m
1

,

k

Tm ZP ,

Zm fe1 ; : : : ; em g Zm.
P n,
1

ei ; : : : ; eik ).
,
;::: ;ik

ZP = (T

P Fi ; : : : ; F T
m

n )= ik |

? j (g1 ; p) (g2 ; q) , p = q; g1 g2 1 2 Tik

; Tm

ZP .
n.

, dim ZP = m + n; ,

, .

p 2 P n: Tm Pn

1) 2)

1.7.

T

m

Pn |

Z

P

Z

P

Tm k k.

-

P n,
,

. 1.8.

.

, -

P

n|

ZP .
T
m-

T m-

BT P BT P = E T m T m ZP :
6

ZP ,

BT

m=(

.

C

P 1 )m .

ET m |

. (3)


, BT P |

BT P
1.3.

Tm

ZP .
P
n

ZP ,
P n.
.

,

-

Pn

, , (

( ). .

1.7). ,

) .

Tm

ZP (
, 6, 9].

,

,

)

M,

1.9.
,

n).

(C )n

( , (C )n

M(

M
,

-

,

-

Zn,
, . , . ( . (C )n . ( , )

Zn Rn .
M 2n Pn
,

,

( .,

, 9]) 2n, (Zn) . ). :

Pn
, , ,

-

,

T

n

P x2M
|
2n

n

Tk
n-

,

M 2n Tm
.2 ) 1.7 (

Pn |
).

M 2n ! Rn (
.

(T n ,

T

Tn Cn U M 2n ,
, ),

Tn

M 2n
:

, , (. -

V

C n.

T n-

P n,
.

M 2n ,

ZP ).

T n P n=
7

(C )n ,


1.10.
T n,
1.7).

Pn P
").
n

(
2n

2n-

)

M =T
, 7] ( . (

n(

Tn

C n,

M 2n

-

.2

-

| , ( . 6]). | , M 2n |
?1 (intF n?1 )

,

7].

, ,

)

\ ,

-

, .

x2 Pn

.

v2

x

F n?1 |

Zn.
M 2n.
,

GF 2 T n

Pn

Pn
.

7]. : M 2n ! P n .

1.11.
m = #F = f
, : F ! Zn,
0

Zn.
,

F

: F ! Zn,

Zm |

Z, ,

P

n

(Fi ); : : : ; (Fin ) , , M 2n
1

:

Fi ; : : : ; Fin | Zn.
1

,

F.

: Zm ! Zn, , -

M 2n ( )
, (
n Ck

.

,

. -

k>

2n .

)

.

,

ZP ,
P
n

:

E T n T n M 2n . , BT P : BT P = E T n T n M 2n : T m-

ZP BT P .

M 2n

M

2n

T n-

Pn

,

Pn
(4)

M 2n ?! P n |

ZP ! M 2n ?! P n ,
, 8

ZP ! M 2n |
T
m

M

2n

P

n

M 2n .

,

,

Pn ZP ! P n T m?nT m?n,


ZP

.

,

ZP ,
.
m) =

1.7, . (3) (

, . -

)m ZP .
|

P|

p : BT P ! B T m k.
,

1.12.
.

H (B T

Pn | M 2n .
2

p : H (B T m ) ! H (BT P ) k v1 ; : : : ; vm ] , H (BT P ) = k(P ). M 2n | . k| , km ! kn . (4) p0 : H (B T n ) ! H (BT P )

k v1 ; : : : ; vm ] ! k(P ),

k(P ) Pn
-

p0 : BT P ! B T n

H (B T ! H (BT P )
n)

H (BT P; k) = k(P )
.

,

1.13. 2

H (B T n; k) = k t1 ; : : : ; tn ] n
) . , . , :

p0 : : Zn ! Zm. i = p (ti ) 2 k(P )
-

(

, .

P n Rn ,
, ,

F n?1 2 F
.

)
2.

(

-

ZP

BT P
.

2.1.

Pn |

n.
: | ; . ,

2.1.
1) 2)

q9

I q = f(x1 ; : : : ; xq ) 2 Rq j 0 6 xi 6 1g.


2.2.
n.
,

P n r = fn? I
m.

1

C m.

I m,
).

Cr

m=f

0

-

C
Pn (

.
Pn F1k k, 0 6 k 6 n.
,

C.

S Sv

1 + f0 + f1 + : : : + fn? n

P

1

,

?n
k n Iv ,

-

2n
n Iv Pn k +i

v. F2l ? l?k
i

).

,

v(
,

S| S
v

v

v
.

F

C
,

(l ? k),

2l?k

v 2 F1k k+i
1 2

F2l , 0 6 k = dim F k 6 l = dim F l 6 n. , v 2 F1k F k+i F2l , 0 6 i 6 l ? k.

lk IF?;F

n Iv .

Sv S .
(

,

-

nnp p nn , Iv \ Iv0 = IF ?;P n | m. C ,! I

nn Iv Iv0 .

I

m,

S,

S.
ik

0

. | .

Fin?1 ,
1

n n Iv Iv0 F1n?1 ; : : :

,

v v0
.

2.1. ,

Fp

).

p2S Im Pn

, , ,

I m,

F n?k k. : F n?k = Fin?1 \ : : : \ Fin?1 . k
: (1; : : : ; 1).

p

n ; Fm?1 . (1; : : : ; 0; : : : ; 1)

C, . .

S, S

Im Pn

i1 ; : : : ; ik Pn

-

I m.

C, Sv ,
,

P n, v
n Iv . Pn

K

K K

v

K Kv |
n

S
,

. ,

:

(n ? 1)-

P

n;

K n?1,

-

K n?1 .
).

P ,! I
).

m(

S ,! I

m

n = 2, m = 3 (

-

10


v|

.

P n. nP n ,! I m k P n, I m,

v

n m?n
.

:

Fin?1 ; : : : ; Fin? n
1

1

n Iv P n xj = 1, j 2 fi1; : : : ; in g =

(5)

2.3.

ck ck =
n?k X

(

)

C,

Pn ( .
2.2.

? fn?i?1 n k i = fn?1 n + fn?2 n ? 1 + : : : + fk?1 ; k k i=0 (f0 ; : : : ; fn?1 ) | f P n , f?1 = 1. , k. F1i F2i+k
2.2).
Cm

C

ZP
.

C m: (D2 )m = f(z1 ; : : : ; zm) 2 C m : jzi j 6 1g:
(D2 )m

(D2 )m

C

m I m.

T m. m
. ,

Z

P

2.4.
2 )m

Pn | Tm

ie : ZP ,! (D

C

m.

T m-

m + n,

.

-

11


n,

I

.n

?1 (I n ) = (D2 )n T m?n,

.

,

2.2

,

ZP

(D2 )n |

ZP Cn

P

n.

Pn

,

: ZP ! P n | n

Pn

Bv = (D2 )n T m?n , D2 T1 Bv i, 1 6 i 6 m ( Bv D2 Bv Bv ,! (D2 )m
. ). ,

n F1n?1 ; : : : ; Fm?1 .

T m. ZP ,! (D2 )m . v v, n P
(D
2 )m

.

(D ,
n

2 )n

T n. m?n , T ZP
, ,(D2 )m -

I

,

P n.

Z

P
1

D
. ,

2

(D2 )m

T

1

D

2

(D2 )

Bv m

Z

P

T D2
,

2.5.

2.2.

ie : ZP ,! (D2 )m (D2 )m

ZP ,! (D2 )m . C m,

iP : P n ,! I m ,
:

2.4

-

?ie ! ZP ? ?? (D2 )

xj = 1, T m?n

.
ie : ZP ,! (D
, (5)
2 )m

,

P n ? ?? ?iP ! Im (D2

? ? y

I m:
)m ZP ,

? ? y

m

I n,

iP : P n ,! I m . C m,
2]. .
.

m?n (D2 )n T m?n. Bv = (D2 )n
. .

Z

P

C

m

Pn |

, ,

z1 ; : : : ; zm, Pn Fi \ : : : \ Fip = ?,
1

m

,

P
1

,

2.6.

k, 0 6 k < p, KP .
,

P = fFi ; : : : ; Fip g F
1

k-

-

fvi ; : : : ; vip g P

KP ,

P n, k, 0 6 k < p,

P = fvi ; : : : ; vip g
1

k-

,

-

12


A(P A(P

)

P = fFi ; : : : ; Fip g |
1

(m ? p) C zi = : : : = zip = 0:
m,
1

P n.
(6) ,

)

2.7.

.

A(P
U U (P
,

n) =

P

A(P );
P n.
m

A(P

n)

C

m

,

(P n ) = C m n A(P n ): n)
1

C fFi ; : : : ; Fip g,
.

(6), 2.4)

U (P n ) C m ,

A(P

(5)

n ),

,

,

, ie (ZP ) U (P n ).

Z

P

, (C )m C m . ie : ZP ! C m ( .

,

( 1 x1 ; : : : ; m xm )). , Rm , (m ? n) (m ? n)

R

m

Rm = f( 1 ; : : : ; m ) 2 Rn j i > 0g: + ( ( 1; : : : ; m) 2 R exp : Rm ! Rm +
.

m
+

P n. m?n Rm R+ m ? n. + wi = w1i e1 + : : : + wmi em 2 Rm , 1 6 i 6 m ? n, m . , R + ?n (m ? n) awi : R+ ! Rm ; t ! (tw i ; : : : ; twmi ): +
1

(x1 ; : : : ; xm ) 2 Rm e1 ; : : : ; em -

m (m ? n)-

0w ::: w 1 11 1;m?n @ ::: ::: ::: A;
m R+ ?n .

wm1 : : : wm;m?n
: (7), , 13

(7) , , (8)

R

m?n +,

.


(

m R+ ?n Rm ) m (m ? n)-

.
+

.
-

2.8.
.

U

Rm?n R n )+ C m ( (P ie

m, +

.

2.7).

(8),

ZP ! U (P n ) ! U (P n )=R
.

m?n

R+ ?n
(.. , ,

.m

C

m

U (P n )
).
m R+ ?n ,

,

(8),

. ,

fi1; : : : ; in g | p 2 U (P n ),
(8).

P n,

,

, 2.4 ,

m R+ ?n U (P n )

.

ei ; : : : ; ein . m , R+ ?n,
1

w1 ; : : : ; wm?n

.

n.

, ,

I m,

(8).

. ie : ZP ! (D2 )m C m iP : P n ! I m Rm 2.2. m R+ ?n U (P n ) ie (ZP ) ie , (m ? n)w1 ; : : : ; wm?n , Pn iP ( . (5)). . ,

Z

P

-

2.9.
m U (P n )=R+ ?n

,

^ ZP
.

U (P n )

Cm ^P ! U (P n ) ! Z
ie (ZP ) (m ? n) .
, 1.6).

ZP .

w1 ; : : : ; wm?n ,

.

m R+ ?n

Rm | +

w1 ; : : : ; wm?n .

(8). ,

, (m ? n) ).

,

C

m

n+1 .

= n + 1, U (P n ) = C n+1 , (8) (7),

2.10.

P n = n ( . nm n f0g R+ ?n 2n+1 ( ZP = S

R

+

P n,

Rn .

(8), 14

P n.
,

Pn


i 6 m,
.

vi

(Rn ) | (7).

Rm .

( ( 1 ; : : : ; m ), , , ,

x 2 Rn ,

1 v1 + : : : + m vm = 0, wi = (w1i ; : : : ; wmi ), 1 6 i 6 m ? n,

)( )

m

, ai 2 R | (m ? n)(8). . ,

hvi ; xi 6 ai , 1 6
, ,

,

v = Fi \ : : : \ Fi
1

n

,

v 2 P n. vi ; : : : ; vin Pn ,
1

i1; : : : ; in ,

M 2n ( . 9]). U (P n )
,

P
1

n

Pn

Rn .

Z
M 2n Pn

n

Rn .
-

-

vi . v = Fi \: : : \Fi

n

M 2n M 2n

vi ; : : : ; vin m R+ ?n Rm , + D = (C )m?n (C U
1

Zn.

,

)m , (C )m?n . n )=D ( . 2]). (P

vi

,

(C )m?n

Rm?n U (P n ) ? ?? ZP ? ?! ?
+

M 2n
(8), U (P n ) ,
2.3.

? y

M 2n :
,

?T y

m?n

,

ZP R

m?n +.

m R+ ?n,

U (P n ).
.

ZP ,

-

Z

P

BT P

.

P1n

1

P2n .
2

2.11.

.

ZP = Z
m

Pn

P

1

ZP .
2

: Pn =

ZP :
P n )= = ((T m P1n
. 15
1 1

ZP = (T

P n )= ) ((T m
1

2

P n )= ) = ZP
2

1

ZP :
2

2.12.

Pn |

Z
).

P

Z

P

Pn ( BT P

P1n ,

1

Pn

ZP .

1


B T m = (C P 1 )m

2.13.

C (B T

m) =

H (B T P|
.

m) =

k v1 ; : : : ; vm ]. BT P i : BT P ,! B T m P. Km K
,
,

).

(..

CP1

C (B T m ) m
1

= (i1 ; : : : ; ik ) C (BT P ) = H (BT P ) = k(P ), k v1 ; : : : ; vm ] ! k(P ) = C (BT P ).

BT m,

B Tik ;::: ;ik KP . C (B T m) = K
-

-

.

,

P

K. P| K. i : BT P ! B T m = (C P 1 )m . k v1 ]
dim K = 0 dim K = k ? 1.
1

. dim K = 0, BT P |

k vm ].
.

>2

v1 ; : : : ; vm m CP1 C (BT P ) k, >1 , C (BT P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I , I| , i| . , P 0 , . . i C (B T m ) = C (BT . K0 0 BT m BT P , C (BT P 0 B Tik1 ;:::
k

i : BT P ,! B T m m

K k(K 0 ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I 0 . (k ? 1)k?1 vi ; : : : ; vik B Tik ;::: ;ik = B Ti1 : : : B Ti1k B T m. 0 k?1 ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I , k(K I I 0 I 0 =I = (vi vi : : : vi k m| B Ti ;::: ;ik ,! B T , i| , , KP = m?1 ( P= BT P BT P ZP . Pn m q, (q ? 1)(q ? 1)(m ? 1)(
1 1 1 2 1

(k ? 2)-

K0 P 0) =
)= -

).

Rm ) +
,

-

, .

;ik i : BT P 0

BT P = B T m.
n KP ? Pn
1

11) 1 2) 2 3) q 4)

2.14.

. (BT P ) = 0; m 2 (BT P ) = Z ; (BT P ) q > 3; q,

).

,

q

(ZP ) = 1 (ZP ) = 0; (ZP ) = q

:

Pn m

Pn

,

i (ZP ) = 0

1.1; q + 1).

P

i < 2q + 1, vi

1

2q+1 ( P viq+1

Z )| 2I ( .

-

16


BT P ,

.

,

1

(BT P ) = 0 .
2

2

(BT P ) = Zm,
2

0 = 3 (B T m ) ! 2 (ZP ) ! 2.13
q (B T Pn

(BT P ) ?!

k Zm

p

P 2P p : BT P ! B T m (B T m) ! 1 (ZP ) ! 1 (BT P ) = 0
1

(Z )

(Z ),

Z:

?!

k Zm

,

p

,

, 1 (ZP ) = 2 (ZP ) = 0.

q+1 (B T m ) ! q (ZP ) ! q (BT P ) m ) = q+1 (B T m ) = 0 q > 3. ,

! q (B T m);
BT P
(2q + 1),

BT m.

, , k (BT P ) = k (B T m)

q-

, ,

ZP

(2q + 1)k < 2q + 1. 2.13. ZP BT P , ,

BT P

, -

,,

BT P , . . ZP = BT P j3 .
-

(3):

Z

P

ET m BT K (Zm; 2)
m=

2

, ZP E T m (BT P ) = Zm,

BT P

m ?E T ????! ? y

ET m

? ?? B T m: ?p !
,

? ? y

(9)

BT P .
3.

BT P .

Z

, ZP

P

ET m

ZP .

,

-

{

8] |
0

15]. = (E0 ; p0 ; B0 ; F ) | .

.

,

0

B F

f :B!B

0

?! E ? ?? E
p

? ? y ? ? y

F

? ? y ?0 ?p y
(10)
0

B ? ?? B0 ; ?f !
17


= (E ; p; B ; F ) |

. { ).
-

3.1 (

1) Er ) H (E ) ( ); 2) E2 = TorH (B ) (H (B ); H (E0 )).
0

fEr ; dr g,

E
{ ),

B= | B.

,

(

3.2.

E=F | F ,! E ! B |

dr

(r; 1 ? r).

,

fEr ; dr g,

1) Er ) H (E ); 2) E2 = TorH (B) (H (E ); k).

(

k(P ),

1.13 1.13, i = i1 v1 + i2 v2 + : : : + im vm | 2 k(P ) k(P ) | k 1 ; : : : ; n ]. J k v1 ; : : : ; vm ] , = i1 v1 + : : : + im vm , i k v1 ; : : : ; vm ]. J.

k(P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I ,

,

J

7] k(P )

M 2n

{ ).
i|

J = ( 1 ; : : : ; n ),

I,

Pn

-

M 2n .

-

3.3.
:

M 2n

-

.

H (M 2n ) = k(P )=J = k v1 ; : : : ; vm ] = I +J:
{

M 2n ?! BT P

#

#p ?! B T n
0

0

1.13
p H (B T n ) = k t1 ; : : : ; tn ] ?! H (BT P ) = k(P ); ti ?! i ;

18


. . Im p0 = k 1 ; : : : ; n ]

k(P ).

E

2
1

{ (\ , ") -

H (B T n )-

Tor. (\ ") , ; (deg i = 2). k(P ) | k 1 ; : : : ; n ], Tork; ;::: ; n ] (k(P ); k) = Tor0; ;::: ; n] (k(P ); k) = k(P ) k ;::: ; n ] k = k(P )=J: k
1 1 1

E2 ; = TorH; (BT n ) (H (BT P ); k) = Tork; ;::: ; n ] (k(P ); k): k( . 13, 15]). H (BT P ) H (B T n )-

k(P )=J .

0 p; , E2 ; = k(P )=J E2 = 0

p 6= 0.

,

E2 = E1 H (M 2n ) =

3.4. H (M
4.

2n

) = Tork ;::: ; n ] (k(P ); k).
1

Z
Z
.
P

P

,

k(P )
,
P

{

P k|

.
.

4.1.

{

Z
,

,

p : BT P ! B T m H (ZP ),

,

Z

P

ZP .

fF ?p H (ZP )g, p > 0,

? E1p;n+p = F ?p H n (ZP )=F ?p+1 H n (ZP ): 4.1. F 0H (ZP ) = H 0(ZP ) = k ( ).

H (E0 ) ! H (E )g. p : BT P ! B T m
(.
1

{

.

15,

(10) F 0 H (E ) = ImfH (B ) F 0 H (ZP ) = ImfH (BT P ) ! H (ZP )g. ,

4.2],

1.12).

ZP

p : H (B T m) ! H (BT P )
{
+1 1

-

E2 = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k).

k(P )
0

p : BT P ! B T m k v1 ; : : : ; vm ]-

: (11)

?h d?h d? d 0 ?! R?h ?! R?h+1 d?! : : : ?! R?1 ?! R0 ?! k(P ) ?! 0:

19


k(P ), hdk v ;::: ;vm ] (k(P )) 6 m.
1

h,

,
1

Ri

hdk v ;::: ;vm ] (k(P )). k (P )
1

(11), { ,

, . . h > 0. , 14, . IV], ) k(P ).

n|
( . 1]).

n = dim P .

(

hdk v ;::: ;vm ](k(P )) = m ? n; (11), .

J (N ) = I (A) N .
(11) ,

N; N 0 | A. f : N ! N0
, Ker di . ,

di

A P| I (A) = q>0 Aq = fa 2 Aj deg a 6= 0g , Ker f J (N ). A.

R

i

di ,

:

k1 | x1 ; : : : ; xp .
,

x1 ; : : : ; xp . R = R1 , k, R 6= R1 , c2 c R = R1 R1 . R1 R2 = (x1 ; : : : ; xp ). R = R2 ,
2

A AR. R . (R)k R1 = (x1 ; : : : ; xp ) R |

R

i+1

R0 ; R?1 ; : : : ; R?h

. -

1

R

,

.
1

xk
1

A-

,

,

xp

+1

; : : : ; xp R.

2

xk =

R P
.

ai xi ,
0

ai 2 A, deg ai 6= 0. R? K,
1

: .

-

vi ; : : : ; vik , fvi ; : : : ; vik g
1 1

,

fvi ; : : : ; vik g
1

(11) | (11): h = m ? n, R 0.

k(P ) k v1 ; : : : ; vm ]k v1 ; : : : ; vm ]2.6 ( ,

vi :::ik
1

2k , , vi

-

K.

0.

k v1 ; : : : ; vm ](11)
1 (

k
,
)

K n?1, di
1

@ P ). k v1 ; : : : ; vm ] ! k, vi !
(12)

? m?n 0 ?! R?(m?n) k v ;::: ;vm ] k d ?! : : : ?! R? . Ri k v ;::: ;vm ] k Ri
1 1

k v1 ;::: ;vm ]

d? k ?! R0 k v ;::: ;vm ] k ?! 0
1 1

k v1 ; : : : ; vm ]:
1

k,

dimk Ri k v ;::: ;vm ] k = dimk v ;::: ;vm ] Ri :

20


, (11)
1

: dimk Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k) =
m?n X i=0
1

(12) dimk v ;::: ;vm ] R?i :

(13)

4.2.
1

ZP .
k:

(

).

.
ZP .

H (ZP ) = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k) k, H (Z ) fF ?pH (Z )g, F ?p H (Z )=F ?p+1 H (Z ) = Tor?p ;::: ;vm ] (k(P ); k): kv
1

k-

, dimk H (Z ) > dimk Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k): {
1

(14)

0 Z : H (Z ) = E2 ; .

E

2

p : BT P ! B T m

Ri

1.12

H (Z ), H (Z ).
,

k v1 ; : : : ; vm ]Ri
{

-

k(P ) = H (BT P ):

E1

;p ; E1 = 0; p > 0; E10 = k(P ):

21


, . ).

(11) , ..

; d0 : R0 = k v1 ; : : : ; vm ] = E2 ;0 ! E10 = k(P )

xi

I,

I( x| : x = dk y

k v1 ; : : : ; vm ]).
(..

yP i li ai li;0 mi 2 Ek .
l
i

k, dk?1 . 0 E2 , li 2 E2 ; , ai 2 E2 ;0 = k v1 ; : : : ; vm ]. mi
y

y

(x1 ; : : : ; xp ) | . , I,

-

, . , -

y

, ..

HHH d j
p

m

i

a

i

ZZ ZZ d ZZ ~
k

di ,P E2 x = dk y = i mi ai , mi 2 I , (x1 ; : : : ; xp ).
,

i < k dk (li ) = mi , I. , .. ,

li

-

p ,
x

I E
1 2

,

, p dp (y) = mi ai + : : : 6= 0 | ( ) , ..

dp (li ) = mi 6= 0.

mi

. -

Ker d?1

.

E2 = H (Z ) k v1 ; : : : ; vm ], k v1 ; : : : ; vm ], d?1 : R?1 ! R0 = k v1 ; : : : ; vm ] . , Ker d?

li(1) 2 H (Z ). E
2

li(1) .
,

R?

1

2
,

R?

1

E2 BT m

(14), ,

4.3.
.

(2) (2) , l1 ; : : : ; lq . k v1 ; : : : ; vm ], l(2) , Pm?nidim ?2 E2 , . . , ..R k v ;::: ;vm ] R?i i=0 E2 . (13) (14). { p : BT P ! ZP . : E2 = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k), Er ) H (Z ). E2 = E1 , . { fF ?p H (Z )g H (Z ). F ?1 H (Z ) . , . H (ZP ), fF ?1 H (ZP )g, . , , 1 1

,

.
Tor?
1
1

4.1 F 0 H (Z ) = H 0 (Z ) = k. k v ;::: ;vm ] (k (P ); k ),

F ?1 H (Z )=F 0 H (Z ) = Tor?11 ;::: ;vm ] (k(P ); k): kv vi :::i
1

4.2

,

,

p

2p

,

4.2,

22


vi ; : : : ; vi
1

,

,

p
1

KP vi ; : : : ; vip )
). ,

KP ( . .
,
1 1

,

.

fFi ; : : : ; Fip g
1

H (Z ), @ p?1
?1 ( p?1 ) = (T p S 2p?1 ,! Z ,
4.2.

2p ? 1. vi :::ip 2 Tor?1 ;::: ;vm ] (k(P ); k) kv cr \ : : : \ Fip (Fir Fi \ : : : \ Fi p?1 P , @P ( . P : Z = (T m P n )= ! Pn ; p?1 )= ) T m?p = S 2p?1 T m?p . H (Z ), vi :::ip .
1 1 1

fFi ; : : : ; Fip g

P Fi \
1

.

\ Fip = ?,
1

vi :::i
,

p

, (..

-

); 2.2). , -

H (ZP ). k(P ), k v1 ; : : : ; vm ]k. H (ZP ). k
:

Z
Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k)
1

P

.

k v1 ; : : : ; vm ].
Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k)
1

-

k-

,

k.

|

() ? = k y1 ; : : : ; yn ], deg yi = 2, |

H (ZP ) k,
: = 0; = yi 1:

k-

-

u1 ; : : : ; un . u1 ; : : : ; un ];

u1 ; : : : ; un ]

E =?

,

k(

4.4. .

d k.

bideg(yi 1) = (0; 2); d(yi 1) bideg(1 ui ) = (?1; 2); d(1 ui ) (1; 0), E. ?), ? = k y1 ; : : : ; yn] A | Tor? (A; k) = H A u1; : : : ; un]; d(a ui ) = (yi a) 1 a 2 A. ??

E

?i;

?,

( . 13]).

-

?-

d];

E =?

u1; : : : ; un ]

Tor? (A; k) = H A

?

u1 ; : : : ; un ]; d] = H A
23

u1 ; : : : ; un ]; d]:


T m.

E T m ! BT P , p : BT P ! B T m ( . (9)).
P

Z

-

Z

P

E T ! BT P
.

4.5. m

( E3s

)

.

: ( E3s) = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k):
1

{

fEr(s) ; dr g
{

ui P d2 PP
1

q Pv

i

H (T m) = u1 ; : : : ; um ], H (BT P ) = k(P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I . ( E2s) = k(P ) u1 ; : : : ; um]: (s) , d2 (s) d2 (1 ui ) = vi 1; d(s) (vi 1) = 0: 2 ( ( E3s) = H E2s) ; d(s) ], 2 ? = k v1 ; : : : ; vm ], A = k(P ) 4.4. H (ZP ) bideg vi d(1
= H k(P ) u1 ; : : : ; um ]; d]; = (0; 2); bideg ui = (?1; 2); ui ) = vi 1; d(vi 1) = 0: { T m:

( E2s)

, : ,

4.6.

ZP .

,

.
C (BT P )

E3 .
: C (B T

Z
3.4]

P

E T m ! BT P C (B T m )
, 2.13

m) =

p : BT P ! B T m ZP . k v1 ; : : : ; vm ] C (BT P ) = k(P ),
. 15,

: TorC (BT m ) (C (BT P ); k) ! H (ZP ): 4.4 , TorC (BT m ) (C (BT P ); k) = H k(P ) u1 ; : : : ; um ]; d]
4.3. .

:

Z
. , ,
2n

P

,

Pn
4.6.

Z
M 2n Pn

P

-

T

m?n -

ZP ! M .

,

f : M 2n ! B T m?n.
24

T m?n-


4.7. n

P.

M 2n |

{

-

ZP E T #
BT P
.

m

?! E T # p ?! B T

m m

ZP ?! E T m?n # # f 2n ?! B T m?n M
. , {

.
, g2 f :H ( H (B T m?n) = k w1 ; : : B T m ), J| k v1 ; : : : ; vm ] = I +J . ,

Z

P

ET

m

15, 8],

fEr ; dr g | , fEr ; dr g |

|

: E2 ! E2 | . B T m?n ) ! H (M 2n ) . : ; wm?n ] k v1 ; : : : ; vm ]=J ( B T m?n , J = ( 1 ; : : : ; n ). 3.3 H (M 2n ) m?n ) = k v1 ; : : : ; vm ]=J ! k v1 ; : : : ; vm ] = I +J = H (M f : H (B T ,

B T m?n ! B T m , E T m?n ! E T m, M 2n ! BT P ZP ! g : fEr ; dr g ! fEr ; dr g. ,!
2n

-

E2 = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k) E2 = Tork w ;::: ;w
1

-

.

= )

4.8.

.

1

m?n ]

(k(P )=J; k).
. ,

| ?-

A|

?|

fEr ; dr g,

-

,

,

|

= ==?.

.
J A|
.

p;q Er ) Tor (A; C ); E2 = Torp (A; Torq (C; k)): ?

. 5, .349].

4.9.
,

15].

f : k v1 ; : : : ; vm ] ! A |
Tork v ;::: ;vm ] (A; k) = Tork w ;::: ;wm?n ] (A=J; k): J = ( 1 ; : : : ; n ), deg i = 2, f 1 ; : : : ; n g |
1 1

n

, deg vi = 2,

A

. 2, . . ^i = i1 v1 + : : : + im vm , rk( ij ) = n.

.

i

w1 ; : : : ; wm?n

^i 2 k v1 ; : : : ; vm ]

, ,

k v1 ; : : : ; vm ] = k ^1 ; : : : ; ^n ; w1 ; : : : ; wm?n ]; ? = k ^1 ; : : : ; ^n ]. k v1 ; : : : ; vm ] |
4.8

?,

Er ) Tork v ;::: ;vm ] (A; k); E2 = Tor (Tor? (A; k); k);
1

25


,

= k v1 ; : : : ; vm ]==? = k w1 ; : : : ; wm?n ]. , A| 1; : : : ; n | Tor? (A; k) = A ? k = A=J Torq (A; k) = 0 q 6= 0; ? p;q = 0 ) E2 q 6= 0; ) Tork v ;::: ;vm ] (A; k) = Tork w ;::: ;wm?n] (A=J; k): A = k (P ) 4.9, , g2 : E2 ! E2 , E2
1 1

?.

.

.

M 2n

4.10. .
4.7. ).

4.7. H (ZP ) = Tork w ;::: ;wm?n ] (H (M 2n ); k) P n. 4.6 H (ZP ) = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k).
1

E2 ,

( . 13, XI,

1.1]).

g,

-

E

1

2

, 4.5 (

-

M.
:

2n

T m?n-

ZP ! M
,
{

2n

4.11.

ZP ! M

2n

( E3s) | H (M 2n ) k w1 ; : : : ; wm?n ] = k v1 ; : : : ; vm ]=J ! k v1 ; : : : ; vm ]=I +J = 4.12. M 2n | { T m?nZP ! M 2n E3 = E1 . H (ZP ) = H (k(P )=J ) u1 ; : : : ; um?n]; d]; bideg a = (0; deg a); bideg ui = (?1; 2); d(1 ui ) = wi 1; d(a 1) = 0; a 2 k(P )=J = k w1 ; : : : ; wm?n ]=I , u1; : : : ; um?n] | . H (k(P )=J ) u1 ; : : : ; um?n ] E3 { ZP !

( E3s) = Tork w ;::: ;w E3
1

m?n ]

(H (M 2n ); k) = Tork w ;::: ;wm?n] (k(P )=J ; k); { , k w1 ; : : : ; wm?n ]1

H (M 2n ): P n.

E3 , . .

-

. ; d]

4.10

4.4

E3 .

{

H (ZP ),
26

Tork w ;::: ;w H (ZP ). ,
1

M 2n .
m?n ]

(H (M 2n ); k).

-


u1 ; : : : ; um ]
. ,

(k(P )=J )

u1 ; : : : ; um?n ]
4.6,

4.12

,

Z

P

k(P )

-

H,
.

T m,
, , , .

Pn T m?n,
, -

Z
.

P

M 2n ,

ZP .
P n, m ? n,
-

i = 1; m ? k ,

Z-

(m k)-

H ' Tk S = (sij ), s
: (Zm) ,

ZP .

Y(k) = ZP =H
4.2.

Zm. ! (Zk) .

H sj = (s1j ; : : : ; smj ), j = ti = (ti1 ; : : : ;

ZP =H

,

Tm 1; k, tim ),

3.4

-

4.13.
H (Y(k) ) ' Tork k t1 ; : : : ; tm?k ] k(P ) = k v1 ; : : : ; k t1 ; : : : ; tm?k ] ! ti ! h : BT ! p
k t1 ;::: ;tm?k ] (k (P ); k );

vm ]=I k v1 ; : : : ; vm ]; ti1 v1 + : : : + tim vm :

(15) -

.

BT m. : BT P

H ' Tk ! Tm BT P ( .

! BT

m

. 1)

ZP .

,

,

Y(k) (

, ,

Y

(k)

E T k ).

-

Y(k) ?! BT P # # B T k ?! B T m : Y
1

E2 :

{

si1 w1 + : : : + sik wk .

E2 = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k w1 ; : : : ; wk ]); k v1 ; : : : ; vm ] k w1 ; : : : ; w k ] E2
4.6,
1

15,

,

3.4]

,

s , . . vi !
-

H (Y(k) ) = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k w1 ; : : : ; wk ]):
27

(16)


C = k(P ). E A
2

4.8

= k v1 ; : : : ; vm ], ? = k t1 ; : : : ; tm?k ], A = k w1 ; : : : ; wk ], ?, = ==? = k w1 ; : : : ; wk ] fEr ; dr g, Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k w1 ; : : : ; wk ]),
1 1 1

p;q E2 = Torp w ;::: ;wk ] (A; Torq t ;::: ;tm?k ] (k(P ); k)): k k k w1 ; : : : ; wk ]1, p;q 0 E2 = 0 p 6= 0; E2 ;q = Torq t ;::: ;tm?k ] (k(P ); k): k E2 Tork v ;::: ;vm ](k(P ); k w1 ; : : : ; wk ]) ' Tork t ;::: ;tm?k ] (k(P ); k);
1 1 1

(16)

.

ZP .
T k ! T m. Si ;::: ;in
1

H T m, Pn H' S i1 ; : : : ; in .
(m v = Fi \
1

k): : : \ Fi Tm
1

4.14.
n

S,

(m k)S, v = Fi \ \ Fin (m ? n) k, r = fn?1 (m ? n) k. H ZP . ZP H T m,
1

Pn

ZP Z
Zm
n
,
P

.
. ,

Si ;::: ;i
1

n

,

Z
1 1

k

Zm?

n

.

,

1.6 ,

,

v = Fi \ : : : \ Fin Tin;::: ;in T m.
,

P n. H S
n

-

Tin;::: ;in

Z

k +n

, m (k + n)(0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0)> , 1 ( .

ij , j = 1; n, H Tin;::: ;i
1

T m ). m ? n,

4.15.

m (m ? n)v = Fi \ : : : \ Fin i1 ; : : : ; in ,
1

S,
1.

Z

P

H

Tm S,

m ? n,

Pn U (P n )
28 "

,

H ' T m?n,

m R+ ?n

\

Rm +

C m.

2.8, .

4.15,

2.8


, 1.11.

4.15
m?n ,

s

H 'T
4.14 .

H ' T 1, S

,

Z

Pn
P

,

: Zm?n .

! Z

Zm,
P

, ,

Zm ! Zn, ,

m
1 1

T

1

T m.

Y(1) = ZP =H

4.14

, 4.13 (17)

k t1 ; : : : ; tm?1 ] T 10.

4.16.
1

ZP ! Y(1) c : Y(1) ! B T 1 = C P 1 . c (v) 2 H 2 (Y(1) ).
P
n

H (Y(1) ) ' Tork t ;::: ;tm? ] (k(P ); k); k(P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I k t1 ; : : : ; tm?1 ] ! k v1 ; : : : ; vm ]; ti ! vi ? vm :

H (C P 1 ) = k v], v

T 1-

2 H 2 (C P 1 ),
,

q-

(c (v))q 6=

.

k(P ) k t ;::: ;tm
,

?1 ]

.

k=
-

Tor0

k (P )

c k v] k t ;::: ;tm? ] (k (P ); k ) k(P )=fv1 = : : : = vm g. Pn q1 1

CP1 Y(1) ( . (17)).
q + 1. E T k = (Y(k) T E T m ! BT P .
{

,

I

H ' T k. ? BT P = ZP T m E T m = (ZP =T k ) T , T m?k T
m?k

,
m?k

Z
m?k

P

E T m?k

E3 , . . E3 = E1 . H (Y(k) ) = H k(P ) u1; : : : ; um?k ]; d]; d(1 ui ) = (ti1 v1 + : : : + tim vm ) 1; d(a 1) = 0; bideg a = (0; deg a); bideg ui = (?1; 2); a 2 k(P ) = k v1 ; : : : ; vn ]=I , u1; : : : ; um?k ] | . . 4.5 , E3
4.13

4.17.

Y

E T m?k ) E T k :

(k)

Y

(k )

E T m ! BT P

-

E3 = H k(P )
3.4

4.6

u1; : : : ; um?k ]; d] = Tork t ;::: ;t , H (Y(k) ).
1

m?k ]

(k(P ); k):

k = 0 k = m ? n.

29


4.4. .

Z
,
2 1

P

1.

, P i Pn = i

:::

Pi = i R 0 , R ?1 |

, . . m = n + k.

ik ,

i | i-

. (11)
1

, 2.11
0

,

Pi k

,
k = n.

d? d 0 ?! R?1 ?! R0 ?! k(Pi ) ?! 0; k v1 ; : : : ; vi+1 ]d?1 |
1 +1

k(Pi )

ZP = Z

P

i1

:

n+k : : : Z ik .

:

v1 : : : vi+1 .

2. . .n

,
m?
2

Tork v ;::: ;vi ] (k(Pi ); k) = a]; bideg a = (?1; 2i + 2); a] | k. 4.6 H (Z i ) = a]; deg a = 2i + 1; , ZP = Z i : : : Z ik H (ZP ) = a1 ; : : : ; ak ]; deg al = 2il + 1: , 2.10, ZP = S 2i +1 : : : S 2ik +1 . . 2. n , P m= 2. ZP m + 2. . E2 { p : Z ! M4 m?2 4 2( T M P , ). 3.3 H 2 (M 4 ) m?2 w1 ; : : : ; wm?2 , H (M 4 ) . H (T m?2) | u1 ; : : : ; um?2 d2 (ui ) = wi ( ~ d2 (ui 1) = 1 wi ). , p : H (M 4 ) PPPP PPPP ~ (Z ) q q H . , f : H (B T m?2 ) ! H (M 4 ) (. 4.7), ::::::::::::::::::::::::
1 1

,

,

!
-

ui
0

1
0

Pd PP PdPPq Pq P PPPP PPPP qwi q
0; 2 2 2
;

M 4 ? ?? B T m?2 : ?f !
4

? p? y

ZP ? ?? E T ?!

? ? y

m?2 p
0

2

E1 )

,

,

4.12 (

d2; 2

d0; 2

E3 =

.

30


bi (Z ):

4.12

(18) : m = 3 : b0 (Z 5 ) = b5 (Z 5 ) = 1 0 m = 4 : b0 (Z 6 ) = b6 (Z 6 ) = 1; b3 (Z 6 ) = 2 0 , m=4 P 2 = 1 1. , m = 5 : b0 (Z 7 ) = b7 (Z 7 ) = 1; b3(Z 7 ) = b4 (Z 7 ) = 5; 0 m = 6 : b0 (Z 8 ) = b8 (Z 8 ) = 1; b3(Z 8 ) = b5 (Z 8 ) = 9; b4 (Z 8 ) .. ,

b0 (Z ) = bm+2 (Z ) = 1; b1 (Z ) = b2 (Z ) =?bm(Z ) = bm+1 (Z? = 0; ? ?? )? ? ? bk (Z ) = (m ? 2) m?22 ? m?12 ? m?32 = m?32 m(km?k) ; 3 6 k 6 m ? 1: k k k k ?1
, .

(18)

m=3 P 2 = 2, 5 = S 5, Z 6 = S 3 S 3 . Z
= 16; 0 , 4.6 ,

,

I

m = 3,

H k (P

( )

m ZP +2 ) = Tork

= k v1 ; v2 ; v3 ]=v1 v2 v3 , vi vj , i 6= j 1 ( (ZP )

v1 ;::: ;vm ] (k (P 2 ); k ) =

H k(P 2 ) m > 3,

H 3 (ZP ) H4 vi ui+2 vj vj uj+2 uj+3 ] (
,
7 H (ZP )

,

,

uj+2 uj

+3

m = 5. , vi ui+2 , i = 1; 5, k (P 2 ) u1 ; : : : ; um ]; vj uj+2 uj+3 , j = 1; 5. H 7 (ZP ) fi; i + 2; j; j + 2; j + 3g . vi ui+2 ]
), .

u1 ; : : : ; um]; d]: (19) k(P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I , vm+i = vi vi?m = vi ).

, .

v1 v2 u3u4 u5 ).

ZP (

.

-

5.

Z
. 4.6 . , .

P

-

Z
k (P )
31

P

Z

P

4.6

5.1.

u1; : : : ; um]; d]


1) ,

v 2 P n fi1 ; : : : ; in ; j1 ; : : : ; jm?n g = f1; : : : ; mg. vi : : : vip uj : : : ujr vk : : : vks ul : : : ult 2) H (ZP ) , p + s = n, r + t = m ? n, (i1 ; : : : ; ip ; k1 ; : : : ; ks ) , v 2 P n fi1; : : : ; ip ; j1 ; : : : ; jr ; k1 ; : : : ; ks ; l1 ; : : : ; ltg = f1; : : : ; mg.
1 1 1 1 1 1

vi : : : vin uj : : : uj

m?n

, j1 < : : : < jm?n ,

(i1 ; : : : ; in ) |

Z

P

-

.

4.6). Tor?i;2j
k v1 ;::: ;vm ] (k (P ); k )

,

.2

.1 ? )2 Tor?(m;:::n;v;mm(k(P ); k), kv ] ,
1

,

m H m+n(ZP +n ) ( . i v1 ;::: ;vm ] (k (P ); k ), ZP

-

.
1

T i = Tor? k

T

i;2j =

.

-

,

j b?i;2j (ZP ) = dimk Tor?i;2;::: ;vm ] (k(P ); k): kv P 4.2 , bk (ZP ) = 2j?i=k b?i;2j (ZP ). b?i;2j (ZP ) = b?(m?n?i);2(m?j) (ZP ) Pm i; j . F (T i ; t) = r=0 b?i;2r t2r T i: ? F (T i ; t) = t2m F T m?n?i ; 1 : t

(20) 5.1 (21) -

( . 16]). S n ?1 , k(P n )

P n. K

.

,

K n?1,
,

( . 16, . II, x1]) F (k(K ); t)
n?1 X

(n ? 1)-

F (k(K ); t) = 1 +
(f0 ; : : : ; fn?1 ) | f -

fi t2(i+1) ; 2 i+1 i=0 (1 ? t ) h(h0 ; : : : ; hn ): (22) , deg vi = 2,

K.
2n t2 + : F (k(K ); t) = h0 + h1(1 ? t2:):n+ hn t : k v1 ; : : : ; vm ]k(P ) ( k(K )) k(P ).

, ( .,

5.2.

, 16]).

M|

M:
+1

k v1 ; : : : ; vm ]d d ?! R?1 ?! R0 ?! M ?! 0:
0

?h d?h 0 ?! R?h ?! R?h+1 d?!

?1

32


dimk v1 ;::: ;vm ] R?i .

k v1 ; : : : ; vm ]-

P?h i d i : dqii F (M ; t) = i=0 (?1)(1(t? t2+m : : + t ) : ) (11) k(P ) = k v1 ; : : : ; vm ]=I .
1

M

R ?i

:

d1i ; : : : ; dqi i ,

qi =

(12),

, (23)

m?n X F (k(P ); t) = (1 ? t2 )?m (?1)i F (T i ; t): i=0

(21)
i=0

:

m?n X F (k(P ); t) = (1 ? t2 )?m (?1)i t2m F (T m?n?i ; 1 ) = t

= (1 ? ( 1 )2 )?m (?1)m t

m?n X j =0

(?1)m?n?j F (T j ; 1 ) = (?1)n F (k(P ); 1 ): t t (22),

F (k(P ); t) F (k(P ); 1 ) t hi = hn?i :
. (24). ,
i=0

(24) , { -

{ , , (21) (22) (23)
m?n X

Z

P

(?1)i F (T i ; t) = (1 ? t2 )m?n h(t2 );

(25) 4.6
1

P h(t) = n=0 hi ti . i
A, A
,

k(P )
.

u1 ; : : : ; um ]; d]
1 1

k(P ) u1; : : : KP fi1; : : :
,

; um] vi : : : vip uj : : : uj ; ip g \ fj1; : : : ; jq g = ?. d k(P )
,A

.

q

1 uj : : : ujk , , d(A) k(P ) u1; : : : ; (1; 0).

A

um]

fvi ; : : : ; vip g A
1

k-

5.3.

u1; : : : ; um ]; d] A; d] kH A; d] = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k):
1

.

33


|

u1 ; : : : ; um ], fi1 ; : : : ; ip g \ fj1 ; : : : ; jq g,
k

.

> 1, vi : : : vip
1

.

,

,

uj : : : ujq 2 A,
1

,

p+q 2r (

k(P ) ik 2 d! vi : : : vikk +1 : : : vipp uj : : : uik : : : ujq , . . d! 6= 0 b fi1; : : : ; ip g \ fj1 ; : : : ; jq g = ?. ! k ?1 : : : v p ui uj : : : uj . d! = 0, ! = d vi : : : vik q k ip , k(P ) KP . A ;2r A, r = 0; : : : ; m, vi : : : vip = r. , A ;2r | A, .. ! 2 A ;2r P2m A ;2r =bideg ! = ( ; 2r); ). , A. d r=0

A,

,

1 1

.

! = vi : : : vi
1 1

,

p p

uj : : : uj
1

q

1

1 1

1

1

c

T

i;2r , r := (

,

A

;2r

| (?1)q dimk A?q;2r = (t) =
m X r=0 r t2r m X q=0

A.

b?i;2r (ZP ).

A

;2r ) =

m X q=0

(?1)q b?q;2r (ZP ) (26)

:

PP (t) = m m (?1)q dimk r=0 q=0 P =
T
q;2r =

5.3

H ?q;2r k(P )

u1 ; : : : ; u

m (?1)q Pm dim H ?q A ;2r ]t2r = k q=0 r=0 m (?1)q Pm dim T q;2r t2r = Pm (?1)q F (T q ; t); k q=0 r=0 q=0 ?q;2r m ]; d] = Tork v1 ;::: ;vm ] (k (P ); k ).

A

?q;2r t2r =

P

(25) , (27) (28)

(t) = (1 ? t2 )m?n h(t2 ): ,
r.

( (

P t) =

j k =0 m 2r r=0 r t =

?

dimk A?q;2r = fr?q?1 m ?qr + q ;

r=

m X

? (?1)r?j fj?1 m? jj ; r j =0

Pm Pm t2j t r=0 j =0
,

k < 0).

2(r?j )

,

(1)

?? P (?1)r?j fj?1 m?jj = m fj?1 t2j (1 ? t2 )m?j = j =0 r 2 )m Pn f (t?2 ? 1)?j : = (1 ? t j =0 j ?1
i=0

(29)

n X tn h(t?1 ) = (t ? 1)n fi?1 (t ? 1)?i :

34


t?2

t,
(t)

(29)
?2n h t2 2 = (tt?2 ?(1)) = (1h(tt2))n ; n (1 ? t2 )m ?

(27). (27)

5.4. .

b?q;2r (ZP )

ZP . P dim A? F (A ; ; ; t) = r;q k
j

h-

Pn
q;2r ?q t2r

-

2 m?j X F (A ; ; ; t) = fj?1 1 + t t2j :

A

;

P

(28)

?q;2r ?q t2r = r;q dimk A

Pf r;q

? r?q?1 m?qr+q ?q t2r =
b?i;2j (ZP )
,

= j j? . 4.3

P f ?m?j r;j j ?1 r?j P f 1+ t
1

2

?(r?j) t2r = m?j 2j

t:

4.6

-

V = fv1 ; : : : ; vm g, k(K ) |

5.5 (

K n?1 ,
, . 16, 11]).
WV

@ P n.

K|

X ~ F (T i ; t) = (dimk HjW j?i?1 (KW ))t2jW j ;
,

T i = Tor? k

i v1 ;::: ;vm ] (k (K ); k ).

KW |
,

K,
, 10], 2.2). (U (P n )),

W. K.
, 2.2) , , -

H

H (ZP ) ( P

U (P n ) ( .

5.6.
5.5.

.

r Tor?q;2;::: ;vm ] (k(P ); k) = 0 kv
1

0 < r 6 q: (11),

5.7.

1) H 1 (Z ) = H 2 (Z ) = 0.

35


2)

m|

K f1 |

K

Z( ..
n?1 ,

.
5.5

4.2 5.6 , ?1;4 H 3 (Z ) = Tork v ;::: ;vm ] (k(P ); k) = T 1;4 : , X ~ b?1;4 (ZP ) = dimk T 1;4 = dimk H0 (KW ):
1

b3 (ZP ) = m(m2? 1) ? f1:

,

.

, b3 (Z ))

,

f0 =

W V ;jW j=2

~ dimk H0 (KW ) = 1,

.

4.2, 5.5

KW

, 5.6

b4 (Z ) = dimk T 2;6 =
{ (27)

W V ;jW j=3

~ dimk H0 (KW ) = 0, KW . , X ~ dimk H0 (KW ):

K,

(24) ( . 3]) . ,

ZP .

, (30)

ZP .
: h1 6 h 5.7
2

n > 3. ? fb3 (ZP ) = m ? f1 . 2

P n? : f1 > mn ? n+1 . 2
:

b3 (ZP ) 6 m ? n 2

n > 3: h-

:

hi 6 m ? n i+ i ? 1 :
1 ? t2 (31) 1
m?n

(31)

=

1 X m ? n + i ? 1 2i t; i
i=0

(27)

(t) 6 1: (30) (32). 36

(32)


1] J.F. Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Annals of Mathematics, 72 (1960), 1, 20-104. 2] V.V. Batyrev, Quantum Cohomology Rings of Toric Manifolds, Asterisque 218 (1993), 9{34. 3] . , , " ", , 1988. 4] . . , .. , , , . 53:3 (1998), 195{196. 5] H. Cartan, S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1956. 6] . . , , . 33:2 (1978), 85{134. 7] M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Mathematical Journal 62, No.2 (1991), 417-451. 8] S. Eilenberg, J.C. Moore, Homology and brations. I, Comment. Math. Helv. 40 (1966), 199-236. 9] W. Fulton, Introduction to Toric Varieties, Princeton Univ. Press, 1993. . , , " ", , 1991. 10] . ,. 11] M. Hochster, Cohen{Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, in Ring Theory II (Proc. Second Oklahoma Conference) (B.R.McDonald and R.Morris, ed.), Dekker, New York, 1977, pp.171-223. 12] P.S. Landweber, Homological properties of comodules over M U (M U ) and B P (B P ), American Journal of Mathematics, 98 (1976), 591-610. 13] . , , " ", , 1966. 14] J.-P. Serre, Algebre locale-multiplicities, Lecture Notes in Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag Berlin, 1965. 15] L. Smith, Homological Algebra and the Eilenberg{Moore Spectral Sequence, Transactions of American Math. Soc. 129 (1967), 58-93. 16] R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Progress in Mathematics 41, Birkhauser, Boston, 1983.
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:

buchstab@mech.math.msu.su

tpanov@mech.math.msu.su

37