ii)
m

AxAx3 Ax2

bgb g bg d
1 2 K m

И

ПОСТУЛАТ

x! x2

b2mg bm!g !i
2

БЕРТРАНА

9



!

2

=

bg b g

=

2 3 5 K 2m + 1

b2m + 1g

b

g

Задачи 1. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k 1. Указание. Рассмотрите выражение



2

2m

2m + 1



2

x -2

x +1

.

4 3 7 11 19 K 4k - 1

d

b

gi

2

- 1.

Применяя неравенство i), находим
Ax =

b g Ax b g AAxx2g Abbx 2gg Abbx 4gg 4 Ax8 b
6
2

K
6 .
x x

xxx + + +K 248

Отсюда следуют оценки:

стые сомножители числа A Следовательно,

2

e xj

.

A

e xj


6

2x

; Ax3

b g e 6j
3

.

2. Докажите, что не существует многочлена, принимающего только простые значения при всех целых значениях аргумента. 3. Докажите, что если 2n 1 простое, то n простое. 4. Докажите, что если 2n + 1 простое, то n = 2m . 5. Докажите, что между n и 2n найдется не менее 10 простых чисел, если n > 100. Указание. Докажите, что
Ax

Ax Ax2 A

bg b g

2

e xj

,

Теперь, применяя последнюю оценку, из неравенства ii) получаем

b g Abx 2g

> x10 A

2

e xj

при х > 4000.

Ax

что противоречит неравенству ( ). Будем предполагать, что x 2000 (при меньших значениях х проверка постулата Бертрана не представляет сложности). Заменив в тождестве Чебышева х на х/2 и проведя несложные преобразования, получим основную формулу:

Ax2

bgb


bg

gb g , F 2 I 1 11 GH 6 JK 4b x + 1g 4b x + 1g
x x 3

2 x +1 A x 3

x -2

6. Обозначим через x количество простых чисел, не превосходящих х. Докажите, что справедливы неравенства
x
1 x 2

bg

bg

Ax x

.

6x x x 2 log 2 x log 2 x , x 2 .

bg

bg

x

b g;

d

x!

x2!
=

i Ab x g Ab x 2g Ab x 3 g Ab x 4 gK = A b x g A b x 4 g A b x 6 gK Ab x g Ab x 3g Ab x 5gK = Ab x 2g Ab x 4 g Ab x 6 gK
2 2 2 2

=

Таким образом, для доказательства ( ), а значит, и постулата Бертрана, нам осталось проверить, что при целых x 2000 справедливо неравенство

7. Пусть B(x) = x A x . Докажите, что тогда
C x = B x B x 2 K B x x = x

bg

bg bg b g

d

i

x

.

8. Рассмотрев выражение
C x C x 30

11 > 4 x + 1 6 ,

x

b

g

2x

.

()

C x 2 C x 3 C x 5

.

Заметим, что А(х) при увеличении х не убывает, поэтому из основной формулы следуют оценки:
Ax

При х = 2000 это неравенство выполняется, в чем можно убедиться непосредственно вычислением. Заметим, что при увеличении натурального x 2000 на единицу левая часть неравенства () увеличивается в 1,1 раза, а правая менее чем в 1,05 раза, так как

докажите, что при достаточно больших х
, , B x > 25x ; B x B x 6 < 2,6 x ; B x < 31x . 9. Докажите, что при целых n 2 меж-

bg b g bgbgbg bg b g

,

bg

bg

ду n и 1,5n найдется простое число. 10. Докажите, что при любом положительном найдется бесконечно много пар последовательных простых чисел, для которых pn +1 < 1 + pn . Указание. Обобщите утверждение задачи 5.
Литература 1. М.И.Башмаков. О постулате Бертрана. ('Квант' ?5 за 1971 г.) 2. В.Боро, Д.Цагир, Ю .Рольфс, Х.Крафт, Е.Янцен. Живые числа. 3. И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 4. А.И.Галочкин, Ю .В.Нестеренко, А.Б.Шидловский. Введение в теорию чисел. 5. Л.Г.Лиманов. О числе е и n!. ('Квант' ?5 за 1972 г.) 6. Д.Пойа . Математика и правдоподобные рассуждения. 7. Э.Трост . Простые числа. 8. К.Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел. 9. П.Л.Чебышев. Избранные труды. 10. А.М.Яглом, И.М.Яглом. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.

bg

x+2 x +1

6

2

e

x +1 - x

j

< 1

Ax2

bg b gd bg

x!

x2!

i

2



A x A x 3

bg b g Ab x 2g

.

< 1+

FG H

2000

IJ K

6

1

2000

< 1,05 .

Пусть [x/2] = m, т.е. m x/2 < i)

Ax

Ax2

=2

m

b g d x 2 !i 3 5 K b2m + 1g
1 2 K m

x!

2



b

2m + 1 !

bm !g
m

2

g

=

2 3

m

6

x2

.

Следовательно, неравенство ( ) останется справедливым при всех целых x 2000, что и требовалось доказать. Итак, постулат Бертрана доказан при всех натуральных n 1000. При меньших значениях n постулат Бертрана проверяется непосредственно, например с помощью таблиц простых чисел.4
4 Другие варианты доказательства постулата Бертрана можно найти в [1, 5, 8, 9].

Аналогично, вследствие неравенства 2k + 1 2k,
3 Квант ? 4