Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/06/kv0698ol_mat.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:01 2012 Кодировка: Windows-1251

ОЛИМПИАДЫ

41

Межобластная заочная математическая олимпиада школьников
Всероссийская школа математики и физики 'АВАНГАРД' совместно с Министерством общего и профессионального образования РФ и при участии журнала 'Квант' проводит Межобластную заочную математическую олимпиаду для школьников 610 классов. Срок присылки решений до 30 января 1999 года. Чтобы принять участие в олимпиаде, нужно решить предлагаемые ниже задачи, аккуратно оформить решения (каждую задачу на отдельном листочке) и отослать их по почте в обычном конверте в Оргкомитет олимпиады по адресу: 115551 Москва, Ореховый б-р, д.11, корп. 3, ВШМФ 'АВАНГАРД', Оргкомитет олимпиады. Для переписки и сообщения Вам результатов проверки в письмо обязательно вложите: пустой конверт с маркой с заполненным домашним адресом; дополнительную почтовую марку (марки) достоинством в 1 руб.; краткую анкету: возраст, класс и номер школы, фамилия учителя математики. Не забудьте сделать пометку, что информацию об олимпиаде Вы узнали из журнала 'Квант'. Заметим, что для участия в олимпиаде необязательно решить все задачи достаточно хотя бы одной. Победители олимпиады получат призы, среди которых несколько бесплатных подписок на журнал 'Квант'. Оргкомитет приложит все усилия к тому, чтобы поощрения и дипломы получили все приславшие хотя бы одно правильное решение. Списки победителей будут опубликованы в журнале 'Квант'. Победители, приславшие наиболее интересные решения, будут приглашены к участию в традиционной очередной Всероссийской конференции одаренных школьников, которая состоится в Москве, и, возможно, войдут в команду для участия в международных встречах. Все учащиеся, приславшие свои работы в Оргкомитет олимпиады, независимо от результатов их проверки, получат приглашение учиться на заочном отделении Всероссийской школы математики и физики 'АВАНГАРД' в 1999/2000 учебном году на льготных условиях. ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ 610 КЛАССОВ! ПРИГЛАСИТЕ К УЧАСТИЮ В ОЛИМПИАДЕ СВОИХ УЧЕНИКОВ! Сколько автомобилей можно зарегистрировать в Авангардии? 6. Куб распилили на две части. Какие многоугольники могут быть на срезе? 7. Луч прожектора представляет собой конус с углом раствора 60њ (рис.1). Можно ли с помощью восьми таких прожекторов осветить все пространство?

7 класс
1. Восстановите пропущенные цифры: Ч 941 *** **6* **** 5**3** 2. Выразите s из соотношения 2 2 9s - p . 3s + p = r + 3s 3. Изобразите на координатной плоскости Оху множество точек, координаты х и у которых удовлетворяют неравенству 11 . xy 4. Докажите, что уравнение

abcd - dcba = 1999 ,
где abcd четырехзначное число, записанное цифрами a, b, c, d, не имеет решений. 5. На планете Авангард суша занимает 4/7 поверхности планеты, а остальное океан. Докажите, что авангардцы могут прорыть прямой тоннель через центр планеты, выходящий в обе стороны на сушу. 6. Мышь грызет куб сыра размером 3 Ч 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышь съест какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли она съесть весь куб, кроме центрального кубика? 7. См. задачу 7 для 6 класса.

Задачи олимпиады 6 класс
1. Восстановите пропущенные цифры:
Ч 159 ***

4. Последовательностью цифр 14012006140120101201 зашифровано слово следующим образом: каждой букве поставлено в соответствие двузначное число. Расшифруйте. 5. Автомобильный номер в стране Авангардии состоит из двух букв русского алфавита и пяти четных цифр.

*** *** 3** ***29 2. Определите пропущенные числа и найдите сумму: 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 342. 3. Замостите плоскость одинаковыми прямоугольными треугольниками.

$o
Рис. 1

8 класс
1. Что больше: 4 или 5 ? 2. Замостите плоскость одинаковы500 400


42
ми прямоугольными треугольниками. 3. Решите систему уравнений 1999 x + y + z = 2000,

КВАНТ

1998

/?

6

2000 y + 2 z = 4000. 4. Существует ли 1999 идущих подряд составных чисел? 5. Решите в целых числах уравнение
3 2 x - x = 3 y + 1.

R |x + 1999 | S |2000 x + | T

y + z = 2000,

4. Какова может быть наименьшая степень многочлена, график которого показан на рисунке 2? 5. Найдите наибольшее натуральное n такое, что произведение всех натуральных чисел от 1 до 1999 делится на n 12 . 6. См. задачу 7 для 6 класса. 7. Изобразите на координатной плоскости Оab множество точек (a, b) таких, для которых уравнение

Рис. 2

6. См. задачу 7 для 6 класса. 7. Куб распилили на две части. Какие многоугольники могут быть на срезе? Какие из них могут быть правильными?

ab + 1 x + a + b x + 1 = 0 относительно переменной х имеет неотрицательные корни.

b

g

2

b

g

10 класс
1. Решите неравенство
x + x + 1 1.
Рис. 3

9 класс
1. Докажите тождество
2 -1 2 +1 =
3

10 - 7 2 10 + 7 2
2

2. Решите систему уравнений 2 xy + y + x = 5 y, .

2. Решите систему уравнений

3. Решите в целых числа уравнение
tg x + tg y = 2 sin x + y ,

R | S | T

3. Решите в целых числах уравнение

R | S | T

x + xy = 6 y.
2 2

2

x y + y x = 180, x + y = 189.
3 3

2

e xy j - e yxj

= 1999 ,

b

g

где х и у выражены в радианах.

где xy двузначное число, записанное цифрами х и у. 4. Изобразите на координатной плоскости Оху множество точек, координаты х и у которых удовлетворяют нера2 2 венству sin x + sin y 0 .

5. Каковы могут быть наименьшие степени многочленов, графики которых показаны на рисунках 2 и 3? 6. См. задачу 7 для 6 класса. 7. Стороны равностороннего единичного треугольника разделены на три равные части. На каждой из средних частей, как на сторонах, построены равносторонние треугольники с вершинами вне первоначального. С каждой из сторон получившегося многоугольника проведена такая же операция, и так далее до бесконечности. Найдите площадь получившейся фигуры.

-