Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/06/27.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:53 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:03 2012 Кодировка: Windows-1251

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА
гается заряд CU1 :

Аналогии в задачах по физике
А.ОВЧИННИКОВ, В.ПЛИС

CU1 = C + C0 U2 ,

c

h

и так далее. Наконец, n-й акт описывается соотношением

CU

n -1

= C + C0 Un .

c

h

Перемножив соответствующим образом эти равенства друг на друга, получим

Д

задачи обнаруживается, что она аналогична какой-то другой, уже решенной, причем степени близости задач могут быть весьма разнообразными. Заметив аналогию новой и старой задач, мы получаем дополнительный шанс на успех в поисках решения новой. В этом смысле 'рассуждение по аналогии' является одним из методов решения задач (наряду с такими, как соображения симметрии или размерностей, преобразования системы отсчета, использование графиков или векторных диаграмм и т.п.). В качестве примеров рассмотрим несколько конкретных задач. Задача 1. Поршневым воздушным насосом откачивают воздух из сосуда объемом V. Рабочий объем камеры насоса V0 . Во сколько раз уменьшится давление в сосуде после n ходов поршня? Переход воздуха из сосуда в камеру насоса считайте изотермическим процессом. В каждом цикле работы насоса будем различать два процесса: один это изотермическое расширение воздуха от объема V до объема V + V0 , другой освобождение камеры насоса от воздуха, оказавшегося в ней в конце первого процесса. В соответствии с уравнением МенделееваКлапейрона, число молей воздуха, производящего в объеме V давление р при температуре Т, равно

ОВОЛЬНО часто при решении

духа:

C U = C + C0 Un ,
p1V = p2 V + V0 ,

n

c

h

c

h

n

или (после простых преобразований)

затем третье, четвертое... и, наконец, n-е расширение воздуха:

U U
n

= 1+

FG H

C0 C

IJ K

n

.

pn -1V = pn V + V0 .
Перемножив соответственно левые и правые части этих n уравнений, получим

c

h

pV = pn V + V0

n

c

h

n

.

Отсюда после простых преобразований окончательно находим ответ на вопрос задачи:

p pn

= 1+

FG H

V0 V

IJ K

n

.

=

pV RT

,

Задача 2. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения U и отсоединен от источника. К этому конденсатору подключают незаряженный конденсатор емкостью C0 . Когда заканчивается перераспределение зарядов, зарядившийся второй конденсатор (емкостью C0 ) отсоединяют от первого конденсатора (емкостью С). Затем к первому конденсатору присоединяют следующий незаряженный конденсатор емкостью C0 и т.д. Во сколько раз уменьшится напряжение на конденсаторе емкостью С после n подключений конденсаторов емкостью C0 ? Эта задача аналогична предыдущей, и ответ, по-видимому, тоже аналогичен предыдущему:

Таким образом, сравнивая эти две задачи, можно заключить, что похожие процессы, хотя и имеют различную физическую природу, описываются сходной математикой и имеют ответы на аналогичные вопросы в виде совпадающих математических конструкций. Более того, аналогичными оказываются отношения p pn и U Un , а также V0 V и C0 C . Задача 3. Тонкий обруч массой m и радиусом R вращается равномерно вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, с частотой n. Найдите величину силы натяжения, возникающей в обруче. При раскручивании обруча до частоты n он слегка деформируется (увеличивается его длина), и возникает сила натяжения. На рисунке 1 выделен малый участок кольца, на концы которого действуют две силы натяжения, величиной Т каждая. Длина участка равна R 2 . При достаточно малом угле участок можно считать материальной точкой массой m R 2 2 R , движущейся по окружности с линейной скоростью 2 Rn и центростреми2 тельным ускорением а = 2 Rn R под действием радиальных составляю-

b

gb g g

b

где R универсальная газовая постоянная. В первом акте расширения воздуха условие сохранения количества молей воздуха с учетом постоянства температуры можно описать уравнением

U U
n

= 1+

FG H

C0 C

IJ K

n

.

pV = p1 V + V0 .
После удаления воздуха из камеры насоса и возврата поршня в исходное положение произойдет второе расширение оставшегося в сосуде воз7*

c

h

Проверим это, проведя подробное решение. В первом акте происходит 'расселение' исходного заряда по двум параллельно соединенным конденсаторам. При этом заряд сохраняется, поэтому можно записать

R T
Рис. 1

CU = C + C0 U1 .
Во втором акте 'расселению' подвер-

c

h

a

T