Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/06/29.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:03 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

29
Очевидно, что рисунок, который следовало бы сделать к этой задаче, полностью совпал бы с рисунком 5, только стержень пришлось бы заменить блоком, диаметр которого равен длине стержня. Весь текст решения задачи 9 тоже может быть использован и в этой задаче. Совпадают, конечно же, и ответы. Единственное и принципиально важное отличие состоит в том, что полученные ответы в задаче 9 применимы только к первому моменту, а в задаче 10 ко всему времени движения тел. Таким образом, задачи 9 и 10 демонстрируют весьма своеобразное родство.
Упражнения 1. Тонкое кольцо радиусом R однородно заряжено с положительной линейной плотностью заряда . В центре кольца покоится большой точечный положительный заряд q. Найдите величину силы натяжения кольца, вызванной взаимодействием заряженного кольца с точечным зарядом. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона считать равным k. 2. На мыльной пленке плавает петля из нити. Часть пленки, находившуюся внутри нити, осторожно прокалывают, и нить принимает форму окружности радиусом R. Найдите величину силы натяжения нити, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора равен . 3. К заряженному конденсатору, обладающему энергией W0 , присоединяют такой же, но незаряженный конденсатор. На сколько изменится энергия системы конденсаторов? 4. В одно из двух колен U-образной трубки налита жидкость. Вначале колена не сообщаются друг с другом, и энергия жидкости в поле тяжести равна W0 . На сколько изменится энергия жидкости, когда сообщение колен установится и уровень жидкости в них станет одним и тем же? 5. Шарик, имевший кинетическую энергию W0 , сталкивается вдоль линии центров абсолютно неупруго с другим таким же, но покоившимся шариком. На сколько изменится кинетическая энергия системы шариков в результате удара?

где v скорость образовавшегося тела, и закон сохранения энергии:
+ Q. 2 2 2 Перейдя от векторных уравнений к скалярным, после простых преобразований находим выделившееся количество теплоты: m1v1
2



+

m2 v2

2

=

c

m1 + m2 v

h

2

Q=

1 m1m

2

2 m1 + m2

c

v1 - v2

h

2

.

Задача 8. Два небольших проводящих шарика радиусами R1 и R2 , заряженные до потенциалов 1 и 2 соответственно, находятся далеко друг от друга. Сколько тепла выделится через достаточно большое время после соединения шариков друг с другом длинной проволокой? Будем считать известным, что потенциал заряженного шарика связан с его зарядом q формулой q = 4 0 R , где 0 электрическая постоянная. Закон сохранения заряда для рассматриваемого процесса соединения шариков запишем в виде

тальной оси, проходящей через его середину. К концам стержня прикреплены небольшие тела массами m1 и m2 . Стержень удерживают в горизонтальном положении. Какие ускорения возникнут у каждого из тел сразу (в первый момент) после того, как стержень отпустят и у него появится возможность вращаться вокруг оси? Найдите также величину силы давления оси на стержень в этот момент времени. На рисунке 5 показаны силы, действующие на стержень и на каждое из

F

F

F

F X
Рис. 5



F

mg

mg

прикрепленных к нему тел в интересующий нас момент времени. Запишем уравнения движения для тел массами m1 и m2 в проекции на ось Х:

4 0 R11 + 4 0 R2 2 =
= 4 0 R1 + 4 0 R2 , где окончательный потенциал шариков и соединяющей их проволоки. Рассматривая шарик как конденсатор (второй обкладкой служит концентрическая с шариком сфера бесконечного радиуса) емкостью 4 0 R , можно подсчитать энергию шарика, заряженного до потенциала , по формуле C2 2 (потенциал в бесконечности принят за ноль). С учетом этих соображений, закон сохранения энергии перепишем так:
2 4 0 R11 4 0 R22 2 + = 2 2 2 4 0 R1 4 0 R22 = + + Q. 2 2 Отсюда и из закона сохранения заряда после простых преобразований находим выделившееся количество теплоты: 1 R1 R2 2 1 - 2 . Q = 4 0 2 R1 + R2

m1a1 x = m1 g - F1 , m2 a2 x = m2 g - F2 .
Уравнение моментов для стержня, с учетом равенства расстояний от каждого из тел до оси вращения и невесомости стержня, приводит к равенству

F = F2 . 1
Равноудаленность тел от оси вращения и недеформируемость стержня делают справедливым соотношение

a1x = -a2 x .
Второй закон Ньютона, примененный к легкому стержню, дает равенство

F = F + F2 . 1
Решая систему записанных пяти уравнений, находим все искомые величины: m - m2 a1x = -a2 x = 1 g, m1 + m2
F= 4 mm2 g 1 m1 + m2 .

c

h

Математическая структура окончательных формул в задачах 7 и 8 одна и та же, и это связано, видимо, с аналогией использованных при решении двух законов сохранения заряда и импульса. Задача 9. Легкий стержень может вращаться без трения вокруг горизон8 Квант ? 6

Задача 10. На концах легкой нити, переброшенной через легкий блок, который может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, прикреплены тела массам и m1 и m2 . Найдите ускорения каждого из тел, а также величину силы давления оси на блок.