Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/03/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:36 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

59

Учитывая симметрию задачи, будем искать решение, удовлетворяющее l! s1 условию a b c . Пусть а = 1, тогда (b 3)(c 1) = 13, отl s3 куда b = 4, c = 16. A Пусть а = 2, тогда l" (b 2)(c 2) = 12 и s4 либо b = 3, с = 14, либо b = 4, с = 8, либо b = 5, D с = 6. Пусть а = 3, тогда (b 1)(c 1) = 13, что Рис. 3 невозможно. Пусть а = 4, тогда bc = 16, откуда b = c = 4. При a 5 решений нет: (а 2)(b 2) + (b 2)(c 2) + +(c 2)(a 2) 3 3 + 3 3 + 3 3 = 27 > 12.
2

B

s

l

C

A

B

C

D

C A B D A C

D B

D C A B

Рис. 4

Остальные решения получаются перестановкой переменных a, b и с. b +1 ; 15. Положим a1 = а, a2 = b, тогда a3 = a b +1 +1 a + b +1 ; = a4 = a b ab a + b +1 +1 a +1 ab ; = a5 = b +1 b a a +1 +1 a +1 = b. = a ; a7 = a6 = b a +1 a + b +1 b ab Отсюда следует, что последовательность an периодическая: ее значения повторяются через 5 номеров. Следовательно, a1997 = a2 = 1828.

большая парусность, чем у спутника. Вот почему аэродинамический парадокс выражен более ярко для ракеты, нежели для спутника, который падает на Землю в разреженной атмосфере медленнее и по более пологой траектории. Таким образом, спутник заметно отстает от ракеты, хотя последняя испытывает большее торможение в разреженной атмосфере, чем спутник. 2. Движение спутника по эллиптической орбите, пересекающей верхние разреженные слои атмосферы, имеет интересную особенность. В перигее спутник, испытывая максимальное сопротивление, теряет в скорости на каждом витке, и, тем самым, его апогей уменьшается. В апогее торможение спутника меньше, чем в перигее, особенно если орбита заметно вытянута. Поэтому перигей не снижается так сильно, как апогей, т.е. орбита действительно стремится к круговой. (Точное решение задачи о движении спутника достаточно сложное, так как требуется учитывать еще изменение скорости спутника на каждом витке вследствие его падения в поле тяжести Земли.) 3. Указание. Воспользуйтесь уравнением моментов (7). 4. Допустим, что сила притяжения спутника к планете определяется выражением F = A R n , где А постоянная. Из уравнения mv 2 R = A R n найдем выражение для кинетической энергии спутника: 2 mv A = Wк = n -1 . 2 2R Для заданного поля сил потенциальная энергия спутника равна A n -1 Wп = - , n -1 R а полная энергия составляет A Wпол = 3 - 2 n = Wк 3 - 2 n . n -1 2R Баланс полной энергии спутника в начале и в конце витка с учетом работы силы сопротивления Fсопр приводит к такому выражению для тангенциального ускорения пролетающего в разреженной атмосфере спутника: Fсопр aт = . m 2n - 3

b

g

b

g

b

g

lq

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС СПУТНИКА
1. Такое явление наблюдается, когда на орбитальное движение тела влияет сопротивление разреженного атмосферного воздуха. Суть дела в том, что, двигаясь в разреженном газе, компактный спутник, укомплектованный научными приборами или другим оборудованием, испытывает меньшее сопротивление, чем сравнительно большая по размерам пустотелая ракета с отработанными двигателями. У ракеты больший баллистический коэффициент С, или, как иногда говорят,

Отсюда очевидно, что при n > 1,5 можно говорить об аналоге аэродинамического парадокса спутника в гравитационном поле. 5. Так как орбитальная скорость спутника во много раз превышает среднюю тепловую скорость молекул, находящихся в верхних слоях атмосферы, при расчетах сил торможения спутника мы не учитывали собственное движение частиц среды. Казалось бы, торможение спутника на больших высотах не должно зависеть от температуры воздуха Т. Однако это не так. Дело в том, что при изменении температуры изменяется плотность газа с ростом температуры плотность возрастает. Увеличивается также характерная толщина атмосферы h RT g , на которой давление газа изменяется в е раз (здесь R универсальная газовая постоянная, М молярная масса воздуха, g ускорение свободного падения). Вариации плотности газа из-за изменения температуры сказываются на торможении спутника. 6. Мы знаем, что если бы на Земле не было гор и впадин, а вода всего мирового океана равномерно покрывала земной шар, то глубина этого океана была бы около 2 км. Давление на дне достигало бы величины 200 атм. Чтобы при таком давлении превратить воду в пар, требуется ее нагреть до температуры чуть больше 600 К именно такой должна быть минимальная температура атмосферы Земли, чтобы вся свободная вода на Земле существовала в виде пара. В этом слу-

b

g

bg