Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/13.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:18 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:35 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Струна рояля и солнечный свет
А.СТАСЕНКО
Доколе свет с вами, веруйте в свет, да будете сынами света. Евангелие от Иоанна 12:36

13

струменты издают так называемые музыкальные звуки, а не беспорядочный шум, как, например, кастрюля, по которой колотят ложкой? Это связано с тем, что инструмент порождает (генерирует) звуки не любых, а определенных частот так н азываемые монохроматические ('одноцветные') тоны. Если частота звука , то его длина волны в воздухе будет = v , где v скорость звука в воздухе. Длина струны рояля или гитары, так же, как и длина трубки оргбна, определенно связаны с длиной волны звука , который они предназначены издавать. Например, для струны эту мысль поясняет рисунок 1. На нем изобраi= `l
Рис.1

П

ОЧЕМУ МУЗЫКАЛЬНЫЕ ИН-

ство полуволн:

i=2

l
i

сложить:

cos + sin = 1 =
(2)

2

2



2 2

вдоль оси Х (i = 1, 2, ...),
j=2 l
j

4l

e

i +j .

2

2

j

вдоль оси Y (j = 1, 2, ...). Причем речь тут идет не обязательно о независимых волнах, распространяющихся каждая вдоль своей оси.
l ` l `
Рис.2

Сразу видно, что этому соотношению удовлетворяет не единственный набор чисел i и j. Например, на рисунке 3 штриховыми линиями показана еще одна волна, для которой имеет место то же самое равенство

i +j =4

2

2

Y

Но ведь это уравнение окружности радиусом R в плоскости i, j (рис.4). Правда, абсцисса и ордината здесь
X

FG l IJ H K

2

=R.

2

(3)

l

j Smin j i

l

i=

i=!

l

Ведь отрезки i и j могут принадлежать и одной и той же волне , бегущей, например, под углом к оси X (рис.3; сплошные наклонные линии). Тогда

жены три случая изгиба струны (три моды), но в любом из них на длине струны l укладывается целое число полуволн: l = i i , i = 1, 2, 3, ... (1) 2 Видно, что самая большая длина волны с номером i = 1 равна 2l, а все остальные (соответствующие бульшим значениям i) будут меньше. Сам же номер i показывает, сколько полуволн i 2 умещается на длине струны. А если это не струна, а квадратная пластинка площадью l Ч l (рис.2)? Тогда вдоль каждой из осей Х и Y может уместиться следующее количе4 Квант ? 4

i =

cos

=

2l i

, j =

sin

=

2l j

.
Рис.4

А как только появляются синус и косинус, возникает непреодолимое желание возвести их в квадрат и

Рис.3

принимают только целочисленные значения, а площадь 'зерниста': существует наименьшее значение Smin = i j = 1 (закрашенный квадратик). И радиус окружности измеряется не в метрах он принадлежит пространству безразмерных чисел. Сколько же таких квадратиков, или пар чисел i, j, помещается внутри четверти этой окружности? (Почему четверти? Потому что числа i и j положительны.) Эта четверть круга называется по-научному первым квадрантом. Ясно, что нужно эту