Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:19 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:16 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'
2 2r p1 1 2r ps s

>РN PH (N = PH1 I CD ). 1 поэтому SKPL = PH1 KL > 2 согласно а), SKPL = S APB , т.е. S чие, значит, PA = PB = PC = доказать.

Кроме того, CD < KL, 1 PH CD = SCPD . Но, 2 > SCPD противореAPD PD, что и требовалось И.Анно

тогда n =

K

, поэтому k =

dn

М1671. На соревновании выступили а участников, их

оценивали b судей, где b нечетное число, не меньшее 3. За выступление участника каждый судья ставил оценку 'плюс' или 'минус'. Число k таково, что для любых двух судей имеется не более k участников, получивших у них одинаковые оценки. Докажите неравенство

как числитель этой дроби d n = 2 r1 + 1 K 2 rs + 1 нечетное число. Значит, k = 2m + 1. Индукцией по m докажем, что для 2 dn , т.е. каждого нечетного k найдется n такое, что k = dn 2r1 + 1 K 2rs + 1 k= . ( ) r1 + 1 K rs + 1

ej c
2

ej d b ng
2

21
нечетно, так

hc

h

c

c

hc hc

База индукции: m = 1. 2 m + 1 = 3 =

h b2

h

ej bg

4 +1 22 +1

k b -1 . 2b a
Назовем тройкой двух судей и одного участника, если оценки, выставленные ему этими судьями, совпадают. Пусть l количество различных троек. Оценим l. С одной стороны, по условию, для любых двух судей существует не более k троек, включающие этих судей, поэтому

(

b b -1

2 С другой стороны, если b1 количество судей, поставивших некоторому определенному участнику оценку 'удовлетворительно', b2 'неудовлетворительно', то этот
b1 b1 - 1 2 2 b = b1 + b2 нечетное число, поэтому b1 - b2 1 и, значит,

bg

k

b b -1 2

bg

l

Индукционный переход: пусть для всех m < M каждое число 2 m + 1 представимо в виде дроби ( ). Докажем, что число k = 2M + 1 также представимо. k +1 k +1 l Пусть k + 1 = 2 t , где t нечетно, тогда t = l < 2 2 < k, так как l 1 и k > 1. Рассмотрим числа r1 , ..., rl вида 1 l 0 0 1 l +1 r1 = 2 t 2 t 2 , r2 = 2 t 2 t 2 , ..., rl = l -1 l + l -1 l -1 r r =2 t 2 t 2 , тогда для n1 = p11 K pl l

gb g b4 + 1g b2 + 1g

.

(1)

количество неупорядоченных пар судей).

k1 =

d n1

=

участник входит в состав

c

h

+

b2 b2 - 1

c

h

e

ej dc n h e2
2 1 l +1 l

=
t - 2 t - 2 + 1 K 2
0 0 1 1

2 t - 2 t - 2 +

троек. Но

=

2 t - 2 t - 2 t - 2 t -
l 0

2l

l

b1 b1 - 1 2

c

h

+

b2 b2 - 1 2

c

h=c

b1 + b2 4


h

2

+
2

c

b1 - b2 4
1 4

h

2

j e t - 2 t - 1j K e2 t - 2 t - 2 + 1 e2 - 1je2 t - 1j = 2 +1 e2 - 1jt
l +l l l + l -1 l l -1 l l 0 l

2 +1 2
l -1

l

j
t

+1
l

j

=

=

2 t -1

.

=



b1 + b2 2

b

4

+



b 2

b

b -1 4

g

2

.

Суммируя эти неравенства по всем а участникам, получаем

По предположению индукции, так как t < k, найдется число n2 = q1 1 K qs s такое, что t представимо в виде 2 d n2 . Выбрав различные простые числа p1 , ..., pl , t= d n2 q1 , ..., qs , мы получаем, что для n = n1 n2

ej ch

l a

bb - 1g
4
2

2

dn

.

(2)

ej db n g
2

=

d n1

Из неравенств (1) и (2) следует
a 2 4 что и требовалось доказать. k b b -1

Переход выполнен.

e j d en j dc n h dc n h
2 2 2 2 1

= k1 t = 2 t - 1 = k . В.Дремов, Н.Дуров

l

b

g

bb - 1g



k a



b -1 2b

,

Д.Шаповалов

М1672. Пусть d(n) количество всевозможных натуральных делителей числа n, включая 1 и само n. Найди2 dn = k при те все натуральные числа k такие, что dn каком-либо n.

ej bg

ОТВЕТ: в указанном виде представимы все нечетные числа и только они. Докажем вначале, что k нечетно. Действительно, если 2 n = 1, то d n = d n = 1 k = 1. Если n > 1, то n = = p11 K p ss (разложение n по степеням простых чисел),
6 Квант ? 4
r r

М1673*. Точка равностороннего треугольника соединена отрезками с его вершинами, а также из нее опущены перпендикуляры на его стороны (рис. 1). Названные отрезки разрезали равносторонний треугольник на шесть прямоугольных треугольников красные и синие через один. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.
Доказательство опирается на два вспомогательРис. 1 ных утверждения.

bg

ej