Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

45
нение для нового заряда этой сферы:
0= 1 4
0

расстоянии друг от друга. Первая сфера заряжена зарядом q, вторая не заряжена. Сферы соединяют длинной тонкой проволокой. Какие заряды окажутся на сферах после этого? Какое количество теплоты выделится в процессе перезарядки? Зарядом на проволоке пренебречь. После соединения система двух сфер вместе с проволокой будет представлять собой единый проводник. Значит, в результате перезарядки потенциалы сфер сравняются: 1 q1 1 q2 = , 4 0 R1 4 0 R2

R R


q1 R1

+

1 4
0

q2 R2

,

откуда найдем

q1 = - q2

R1 R2

.

С помощью формулы (4) найдем теперь новый потенциал внешней сферы:
Рис. 3

R2 =
1

ch

1 4
0

q1 + q2 R2
=

=
1 q2 R2 - R1
0 2 R2

где q1 и q2 новые заряды сфер (рис.2). Полный заряд системы в реR


q

R

q

Рис. 2

зультате перезарядки не меняется, т.е.

q = q1 + q2 .
Из этих уравнений можно вычислить заряды q1 и q2 :

ней сфере, если ее заземлить (рис.3)? Как изменится при этом энергия системы? Потенциал любой точки пространства можно найти по принципу суперпозиции как сумму потенциала 1 r , создаваемого зарядами первой сферы, и потенциала 2 r , создаваемого второй сферой. Для каждой точки во внешней области (r R2 ) оба слагаемых надо вычислять по формуле (1) получится потенциал поля точечного заряда. Значит, потенциал внешней сферы (r = R2 ) равен

4

c

h

.

bg

bg

Поскольку потенциал внутренней сферы теперь равен нулю, энергия системы в конечном состоянии равна

W =

1 2

q2 R2 =

ch

1 8
0

q2 R2 - R1
2 R2

2

c

h

.

R2 =

ch

1 4
0

q1 + q R2

2

.

(4)

q1 =

R1 R1 + R2

q , q2 =

R2 R1 + R2

q.

Чтобы найти выделившееся количество теплоты, запишем закон сохранения энергии: Wнач = Wкон + Q , подставим сюда выражения для начальной и конечной энергий: Wнач =

В пространстве между сферами ( R1 < < r < R2 ) вклад внутренней сферы надо вычислять по формуле (1), а вклад внешней сферы по формуле (2): 1 q1 1 q2 r = + . 4 0 r 4 0 R2

bg

Видно, что конечная энергия системы меньше начальной. Это и понятно. Уменьшение электростатической энергии системы равно тому количеству теплоты, которое выделилось при перезарядке. Задача 4. Три концентрические проводящие сферы имеют радиусы R, 2R и 3R. Внутренняя и внешняя сферы не заряжены, заряд средней сферы равен q. В некоторый момент внутреннюю и внешнюю сферы соединяют проволокой (рис. 4). Какой заряд пройдет по

q

2

8 0 R1

,

Положив в этой формуле r = R2 , мы опять получим потенциал внешней сферы, а положив r = R1 , получим ответ для потенциала внутренней сферы:
R1 =

!R R R q

Wкон =

q1

2

8 0 R1
+

+
q2
2

ch

1 4
0

q1 R1

+

1 4
0

q2 R2

. (5)

8 0 R2

=

8 q
2

0

c

q

2

R1 + R2 R2

h
.

Такой же потенциал будет у всех точек при r < R1 . Энергия этой системы зарядов равна

и получим искомую величину: Q = Wнач - Wкон =
8

W=

1 2

q1 R1 +
=

ch

1 2

q2 R2 =

0

В этой задаче при вычислении потенциалов и энергий можно было рассматривать каждую сферу как изолированную. Другая ситуация возникает в случае вложенных друг в друга концентрических сфер. Задача 3. Две тонкие концентрические проводящие сферы радиусами R1 и R2 ( R1 < R2 ) несут на себе заряды q1 и q2 соответственно. Вычислите потенциалы сфер и энергию системы. Какой заряд останется на внутрен-

c

R1 + R2 R1

h

1 8
0

F GG H

ch
+

Рис. 4
2

q1

2

2q1q R2

R1

+

q2

2

R2

I JJ K

.

Первый и третий члены представляют собой собственные энергии сфер, а второй член энергию их взаимодействия. После заземления внутренней сферы ее потенциал станет равным нулю. Применяя формулу (5), получим урав1 Заземляющая проволока проходит через маленькое отверстие во внешней сфере без контакта с ней.

этой проволоке, и какое при этом выделится количество теплоты? Обозначим конечный заряд внешней сферы q , тогда заряд внутренней сферы будет - q . Применяя метод суперпозиции аналогично тому, как мы это делали в задаче 3, вычислим конечные потенциалы внутренней и внешней сфер и приравняем их друг другу. Потенциал внутренней сферы равен 1 q q q R = - + + 4 0 R 2R 3 R

bg

(для вклада от всех трех сфер можно

F GH

I JK